余臻秀（福建省寧德市壽寧縣鰲陽(yáng)中學(xué)）

一元一次方程是七年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)之一。解一元一次方程是在有理數(shù)和整式計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。一元一次方程的引入是為了方便人們?nèi)ソ鉀Q多種復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。例如，行程問(wèn)題、年齡問(wèn)題、配套問(wèn)題、工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題、積分問(wèn)題和分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題等。行程問(wèn)題是實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程中最經(jīng)典的問(wèn)題。

一、一元一次方程之行程問(wèn)題的教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

（一）三維目標(biāo)

一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的重點(diǎn)知識(shí)，其承擔(dān)著幫助學(xué)生掌握方程概念、了解基本算法的重要任務(wù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一元一次方程之行程問(wèn)題的三維教學(xué)目標(biāo)分別是：能夠運(yùn)用一元一次方程解決行程問(wèn)題，應(yīng)用一元一次方程知識(shí)、利用數(shù)量關(guān)系來(lái)推導(dǎo)數(shù)學(xué)算法；通過(guò)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情景引導(dǎo)學(xué)生積極探索，經(jīng)歷抽象為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。在數(shù)學(xué)解題中，通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)掌握方程的算法、核心計(jì)算要求；通過(guò)探究活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生與他人交流的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)一元一次方程的應(yīng)用價(jià)值，驅(qū)動(dòng)小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的深度發(fā)展。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

一元一次方程中的行程問(wèn)題包含了速度、時(shí)間與路程三大要素。通過(guò)深度解讀數(shù)學(xué)知識(shí)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，從而整合數(shù)學(xué)概念。本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是：列方程解決行程問(wèn)題，難點(diǎn)是尋找等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知、分析、應(yīng)用來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生掌握數(shù)字與數(shù)學(xué)算法之間的關(guān)系，促使學(xué)生形成分析問(wèn)題、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基本能力。

教師需要分析一元一次方程的基本結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)對(duì)一元一次方程結(jié)構(gòu)的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)數(shù)學(xué)算法；借助對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系的推導(dǎo)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。在一元一次方程行程問(wèn)題上，教學(xué)難點(diǎn)表現(xiàn)在“如何應(yīng)用方程”這一關(guān)鍵角度上，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于方程知識(shí)的獨(dú)立整合、開(kāi)發(fā)，以此來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生形成良好的自主學(xué)習(xí)興趣。從數(shù)字關(guān)系角度掌握一元一次方程的特點(diǎn)，運(yùn)算方法角度幫助學(xué)生整合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而逐步創(chuàng)新一元一次方程教學(xué)模式，加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，掌握行程問(wèn)題的解題策略。

二、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程

一元一次方程教學(xué)中，基于行程問(wèn)題的教學(xué)與方程解答之間存在著密切的聯(lián)系性關(guān)系。通過(guò)對(duì)方程問(wèn)題的分析、解讀，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用方程知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)活動(dòng)包含了設(shè)計(jì)方程、解決問(wèn)題、檢驗(yàn)結(jié)果等多個(gè)環(huán)節(jié)，列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程如下：

審題：分析題意，找出圖中的數(shù)量及其關(guān)系。根據(jù)問(wèn)題中給出的數(shù)字與數(shù)學(xué)關(guān)系展開(kāi)數(shù)學(xué)教學(xué)工作，促使學(xué)生主動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用。

設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示，依靠未知數(shù)與已知數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生掌握相關(guān)數(shù)學(xué)概念。

列方程：根據(jù)找出的相等關(guān)系列出方程，分析一元一次方程中的數(shù)量關(guān)系，形成明確的數(shù)學(xué)解題任務(wù)。

解方程：求出未知數(shù)的值。檢驗(yàn)：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形。答：寫出答案。在能夠熟練解一元一次方程的基礎(chǔ)上，解題過(guò)程中對(duì)于學(xué)生難度最大的是如何找等量關(guān)系和設(shè)未知量。

三、一元一次方程之行程問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

行程問(wèn)題中涉及到航行問(wèn)題，相遇追擊問(wèn)題，過(guò)橋梁（隧道）問(wèn)題，環(huán)形跑道問(wèn)題等內(nèi)容。這里主要研究行程問(wèn)題中的航行問(wèn)題。航行問(wèn)題的本質(zhì)是順風(fēng)（水）逆風(fēng)（水）速度的表達(dá)，順風(fēng)時(shí)速度=無(wú)風(fēng)時(shí)速度＋風(fēng)速，逆風(fēng)時(shí)速度=無(wú)風(fēng)時(shí)速度－風(fēng)速。該類型題目常根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式找到等量關(guān)系。

教師可以嘗試?yán)没?dòng)情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如以情境模擬交通工具的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)關(guān)鍵性影響的因素進(jìn)行分析。展示問(wèn)題當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)概念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在一元一次方程教學(xué)中，需要結(jié)合的行程問(wèn)題中所包含的數(shù)學(xué)信息、數(shù)學(xué)概念設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的解題方案，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路。下面通過(guò)三個(gè)循序漸進(jìn)的行程問(wèn)題，展開(kāi)說(shuō)明如何找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)以及列方程。

（一）自主合作探究及解決問(wèn)題

基于一元一次方程的構(gòu)成設(shè)計(jì)行程問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，要對(duì)方程中的關(guān)鍵信息、數(shù)學(xué)概念進(jìn)行整合，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究的基本技能。從教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行分析，部分學(xué)生已經(jīng)在對(duì)方程概念進(jìn)行分析、解讀的過(guò)程中掌握了一元一次方程的基本特點(diǎn)，期望獨(dú)立開(kāi)展數(shù)學(xué)解題實(shí)踐活動(dòng)。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)對(duì)一元一次方程的解題方法進(jìn)行應(yīng)用，在糾錯(cuò)、分析的過(guò)程中主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，提升小學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

例1：一架飛機(jī)在兩城市之間飛行，風(fēng)速為24km/h，順風(fēng)飛行需要2h50min，逆風(fēng)飛行需要3h。求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度和兩城市間航程。

解析：該題目是行程問(wèn)題中的基礎(chǔ)問(wèn)題。設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為xkm/h，兩城市之間路程相等即題目中的等量關(guān)系。用兩種不同的形式來(lái)表達(dá)路程，順風(fēng)時(shí)路程和逆風(fēng)時(shí)路程。利用速度時(shí)間=路程的公式求得往返路程。通過(guò)觀察題目發(fā)現(xiàn)，順風(fēng)的飛行時(shí)間2h50min 需要先轉(zhuǎn)換為以小時(shí)為單位。

解：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為xkm/h，則順風(fēng)時(shí)的飛行速度為（x+24）km/h，逆風(fēng)時(shí)的飛行速度為（x-24）km/h。已知2h50min 為h，根據(jù)題意得（x+24）=3（x-24）

解得x=840

則3（x-24）=2448km。

答：無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的飛行速度為840km/h，兩城市之間的航程為2448km。

例2：某船從A 地順流而下到達(dá)B 地，然后逆流返回，到達(dá)A，B 兩地之間的C 地，一共航行了7h。已知此船在靜水中的速度為8km/h，水流速度為2km/h，A，C 兩地之間的距離為10km，求A，B 兩地之間的距離。

解析：在7h 的航程中，有順流速度和逆流速度兩種速度。設(shè)A，B 兩地之間的距離為xkm。順流路程為xkm，速度為（8+2）km/h。逆流的路程為B，C兩點(diǎn)間的距離，即（x-10）km，逆流速度為（8-2）km/h。根據(jù)時(shí)間=路程÷速度公式，求得往返路程花費(fèi)的時(shí)間，得到一元一次方程。

解：設(shè)A，B 兩地之間的距離為xkm，則B，C兩地之間的距離為（x-10）km。由題意，得

解得x=32.5

答：A，B 兩地之間的距離為32.5km/h。

例3：某船從A 地順流而下到達(dá)B 地，然后逆流返回，到達(dá)C 地，一共航行了7h。已知此船在靜水中的速度為8km/h，水流速度為2km/h，A，C 兩地之間的距離為10km，求A，B 兩地之間的距離。

解析：在7h 的航程中，有順流速度和逆流速度兩種速度。設(shè)A，B 兩地之間的距離為xkm。順流路程為xkm，速度為（8+2）km/h。逆流的路程為B，C兩點(diǎn)間的距離，即（x-10）km，逆流速度為（8-2）km/h。由于學(xué)生的思維定式，會(huì)認(rèn)為C 點(diǎn)介于A 點(diǎn)和B 點(diǎn)之間，但題目中并沒(méi)有對(duì)C 點(diǎn)有限制。所以逆流的路程有第二種，即逆流返回時(shí)已經(jīng)超過(guò)A 點(diǎn)，逆流行駛路程為（x+10）km。再根據(jù)時(shí)間=路程速度公式，求得往返路程花費(fèi)時(shí)間，得到一元一次方程。

解：設(shè)A，B 兩地之間的距離為xkm，則當(dāng)B，C 兩地之間的距離為（x-10）km 時(shí)。由題意，得

解得x=32.5

當(dāng)B，C 兩地之間的距離為（x+10）km 時(shí)。由題意，得

解得x=2

答：A，B 兩地之間的距離為32.5km/h 或2km/h。

（二）小結(jié)

不難發(fā)現(xiàn)，在行程問(wèn)題中順風(fēng)（水）逆風(fēng)（水）問(wèn)題，學(xué)生掌握的根本是理解順風(fēng)（水）逆風(fēng)（水）時(shí)的速度，對(duì)問(wèn)題當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，從而找到等量關(guān)系。根據(jù)速度時(shí)間=路程公式列一元一次方程，可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。在這類問(wèn)題教學(xué)中，我們應(yīng)該按照從易到難，由簡(jiǎn)到繁，循序漸進(jìn)的原則進(jìn)行，讓學(xué)生踮起腳尖摘蘋果。題目的設(shè)置上有拓展，有難度，有跨度。在解決一個(gè)個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，收獲解題的成就感。

（三）教學(xué)反思

教學(xué)過(guò)程是建模的過(guò)程，將實(shí)際問(wèn)題抽象為模型的過(guò)程。一元一次方程中的行程問(wèn)題，是對(duì)一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用。讓學(xué)生經(jīng)歷審題，列方程，解方程，求出未知數(shù)的值，檢驗(yàn)，答，這些解題步驟，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中感受到成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生主動(dòng)接納數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。

經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，但從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，關(guān)于一元一次方程中的行程問(wèn)題，學(xué)生還存在著一定的學(xué)習(xí)盲區(qū)。首先，基礎(chǔ)差的問(wèn)題沒(méi)有得到有效解決，學(xué)生只能通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容的模仿、分析來(lái)掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方向，在一元一次方程問(wèn)題中缺乏獨(dú)立的思考。針對(duì)學(xué)生身上存在的這一問(wèn)題，必須對(duì)行程的概念、行程問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行講解；其次，一元一次方程中的行程問(wèn)題以抽象化、生活化為特點(diǎn)，無(wú)論是“順風(fēng)”還是“逆水”等表述，學(xué)生并不陌生。但由于速度上產(chǎn)生了變化，必須要對(duì)學(xué)生的解題思路進(jìn)行優(yōu)化。由此，可以考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)模型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，通過(guò)直觀運(yùn)動(dòng)速度的變化，引導(dǎo)學(xué)生探究速度與行程、距離之間的關(guān)系。消除教學(xué)盲區(qū)，才能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

一元一次方程式體現(xiàn)著計(jì)算方法的進(jìn)步，但學(xué)生卻不能直觀地感受到這類算法帶來(lái)的便利性。這是需要引起教師重視且一定要解決的教學(xué)難點(diǎn)。一元一次方程能解決絕大多數(shù)的問(wèn)題，例如形成、分配、計(jì)費(fèi)、數(shù)學(xué)問(wèn)題等等，能為學(xué)生的學(xué)習(xí)與未來(lái)發(fā)展帶來(lái)不可替代的積極影響與作用。

在本次教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師將學(xué)生作為課堂中的主體，從學(xué)生的角度分析、制定教學(xué)方法，幫助學(xué)生完成數(shù)學(xué)思維的過(guò)渡和轉(zhuǎn)換。教師借助自主探究教學(xué)法展開(kāi)教學(xué)，將教學(xué)內(nèi)容的難度控制在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力范圍內(nèi)，學(xué)生借助難度遞增的數(shù)學(xué)題目，一點(diǎn)點(diǎn)感受到一元一次方程解題法在數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程中的便捷性與高效性，學(xué)會(huì)尋找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)以及列方程式。