趙素倩,張卓琳,魏祥林

(河北科技大學(xué)理學(xué)院,河北石家莊 050018)

1 預(yù)備知識(shí)及引理

本文中,系數(shù)群是模2整數(shù)加群Z2,2N中的N是充分大的正整數(shù),ω表示全Stiefel-Whitney類,ωi表示第i個(gè)Stiefel-Whitney類,σi(x)表示第i個(gè)基本對(duì)稱函數(shù)∑x1x2…xi,[M]表示流形M的基本同調(diào)類。

設(shè)(Mr,T)是一個(gè)帶有光滑對(duì)合T的r維光滑閉流形,T在Mr上的不動(dòng)點(diǎn)集為F=∪Fr-k,其中Fr-k是不動(dòng)點(diǎn)集F的(r-k)維分支的并;設(shè)λk是Fr-k在Mr中的法叢。由文獻(xiàn)[20]可知,帶有對(duì)合的流形(Mr,T)的協(xié)邊類由其不動(dòng)點(diǎn)集(Fr-k,λk)的法叢的協(xié)邊類決定。

引理1(Kosniowski-Stong定理)[21]設(shè)f(x1,x2,…,xr)是Z2上的任意對(duì)稱多項(xiàng)式,它的次數(shù)deg(f(x))≤r,則有示性數(shù)公式

(1)

其中表達(dá)式中的對(duì)稱多項(xiàng)式可用基本對(duì)稱多項(xiàng)式σi(x),σi(y),σi(z)表示,分別用Mr,λk,Fr-k的第i個(gè)Stiefel-Whitney類ωi(Mr),ωi(λk),ωi(Fr-k)代替σi(x),σi(y),σi(z)后,式(1)兩邊得到的是上同調(diào)類分別在基本同調(diào)類上作用的值。

引理2[21]設(shè)σi(x1,…,xk,xk+1,…,xr)是r個(gè)變?cè)牡趇個(gè)基本對(duì)稱多項(xiàng)式,則

引理3[21]設(shè){(Fr-k,λk)}(0≤k≤r)是流形上的一組向量叢,則其為某個(gè)對(duì)合(Mr,T)的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)據(jù)的充要條件是對(duì)于所有次數(shù)小于r的對(duì)稱多項(xiàng)式f,都有

令P(m,n)表示Dold流形,則它的模2上同調(diào)環(huán)為

H*(P(m,n);Z2)=Z2[a,b]/(am+1=bn+1=0),

其中a∈H1(P(m,n);Z2),b∈H2(P(m,n);Z2)是生成元,它的全Stiefel-Whitney類是ω(P(m,n))=(1+a)m(1+a+b)n+1。

引理4[22]設(shè)P(m,n)是一個(gè)(m+2n)維Dold流形,則在P(m,n)上存在向量叢,其Stiefel-Whitney類為

1)1+a+b+a2,m=2,n≥1;

2)(1+a+b+a2)2,m=4,5,n≥2;

3)(1+a+b+a2)2(1+a+b)+a6,m=6,n≥1;

4)1+a2b3,m=2,n=3。

這樣P(m,n)上的任意向量叢的全Stiefel-Whitney示性類都可表示為這些類與若干個(gè)類(1+a)和(1+a+b)之積。其中a∈H1(P(m,n);Z2)和b∈H2(P(m,n);Z2)是生成元。

若(M32+k,T)(k>0)是一個(gè)光滑閉流形,T是M32+k上的光滑對(duì)合,則對(duì)合的不動(dòng)點(diǎn)集為F=P(2,15)。令λ→F是F在M32+k中的法叢。設(shè)a∈H1(P(2,15);Z2)和b∈H2(P(2,15);Z2)是生成元,P(2,15)的全Stiefel-Whitney類為ω(P(2,15))=(1+a)2(1+a+b)16。由引理4可知,λ的全Stiefel-Whitney示性類的形式為ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d,c,d為非負(fù)整數(shù),或ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q,m,q為非負(fù)整數(shù),則a2b15[P(2,15)]=1。

由于(1+a)4=0,(1+a+b)16=0,如果c≡c′(mod 4),則(1+a)c=(1+a)c′,故假設(shè)c<4,如果d≡d′(mod 16),則(1+a+b)d=(1+a+b)d′,故假設(shè)d<16。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(M32+k,T)是帶有光滑對(duì)合T的32+k(k>0)維光滑閉流形。T的不動(dòng)點(diǎn)集為F=P(2,15),則(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

對(duì)ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d和ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q2種形式分別進(jìn)行證明。

2.1 ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d的情況

根據(jù)c和d的奇偶性,分以下幾種情況進(jìn)行討論。

命題1若d為奇數(shù),對(duì)合(M32+k,T)不存在。

證明當(dāng)d與c均是奇數(shù)時(shí),假設(shè)對(duì)合(M32+k,T)存在,此時(shí)c+2d≥3,所以k≥3。

取

因?yàn)閐eg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但根據(jù)引理1,有

從而推出矛盾,所以對(duì)合(M32+k,T)不存在。

取

因?yàn)閐eg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但由引理1可知:

從而推出矛盾,因此對(duì)合(M32+k,T)不存在。

當(dāng)d為奇數(shù)、c為偶數(shù)時(shí),假設(shè)對(duì)合(M32+k,T)存在,此時(shí)c+2d≥2,所以k≥2。由引理2得

取

因?yàn)閐eg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但依據(jù)引理1有

從而推出矛盾,所以對(duì)合(M32+k,T)不存在。

綜合以上討論,命題1成立。下面討論d為偶數(shù)的情況。

命題2若d為偶數(shù),則對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

證明因?yàn)閐是偶數(shù),ω(P(2,15))=(1+a)2,ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d,所以在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,于是對(duì)任何次數(shù)小于32+k的對(duì)稱多項(xiàng)式f(x),都有

所以對(duì)合(M32+k,T)存在。又由于對(duì)合(M32+k,T)法叢的所有Stiefel-Whitney示性數(shù)全為零,因此,對(duì)合(M32+k,T)協(xié)邊于零,故命題2得證。

綜合命題1和命題2,當(dāng)ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d時(shí),對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

2.2 ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q的情況

根據(jù)m和q的奇偶性,分以下幾種情況進(jìn)行討論。

命題3 若q為偶數(shù),則對(duì)合(M32+k,T)不存在。

證明 若q為偶數(shù)、m為偶數(shù),由引理2可得

取

其中deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0。但根據(jù)引理1有

從而推出矛盾,所以對(duì)合(M16+k,T)不存在。

若q為偶數(shù)、m為奇數(shù),由引理2得

取

其中deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但根據(jù)引理1,有

從而推出矛盾,因此對(duì)合(M32+k,T)不存在。

綜合以上討論,命題3成立。下面討論q為奇數(shù)的情況。

由于ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)q-1(q≥1),在下面的證明中,應(yīng)用ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)q-1。

命題4 若q為奇數(shù),則對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

證明 分以下2種情形說明。

1)當(dāng)q=1時(shí),有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,類似于命題2的證明,對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

2)當(dāng)q=5時(shí),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)4=(1+a)m(1+b4+a2b+a2b5+b2+b6)=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

3)當(dāng)q=9時(shí),有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

4)當(dāng)q=13時(shí),有

(1+b4+b8+b12+a2b+a2b5+a2b9+a2b13+b2+b6+b10+b14)=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

綜上所述,在這種情況下,對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零。

1)當(dāng)q=3時(shí),若m是奇數(shù),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)2=(1+a2b+b2)(1+a+b)2(1+a)m=

若m是偶數(shù),有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

2)當(dāng)q=7時(shí),若m是奇數(shù),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)6=

若m是偶數(shù),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)6=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

3)當(dāng)q=11時(shí),若m是奇數(shù),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)10=

若m是偶數(shù),有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)10=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計(jì)算示性類時(shí),所有項(xiàng)中都不會(huì)出現(xiàn)a2b15,所以對(duì)合存在且協(xié)邊于零。

4)當(dāng)q=15時(shí),若m是奇數(shù),有

取

其中deg(f(x))=4<32+k,故f(x)[M]=0,但根據(jù)引理1,有

從而推出矛盾,對(duì)合不存在。

若m是偶數(shù),有

取

其中deg(f(x))=4<32+k,故f(x)[M]=0,但根據(jù)引理1,有

從而推出矛盾,對(duì)合不存在。

綜上所述,在這種情況下,對(duì)合(M32+k,T)存在且協(xié)邊于零,命題4得證。

綜合命題1—命題4,定理1得證。

3 結(jié) 語

本文利用微分周期映射、示性類理論等,借助Kosniowski-Stong給出的M的示性數(shù)與不動(dòng)點(diǎn)集法叢(F,λ)示性數(shù)之間的關(guān)系,通過構(gòu)造合適的對(duì)稱多項(xiàng)式出現(xiàn)矛盾,否定對(duì)合流形的存在性,或者證明對(duì)任意對(duì)稱多項(xiàng)式都滿足Kosniowski-Stong定理,說明對(duì)合的存在性,證明了不動(dòng)點(diǎn)集F為Dold流形P(2,15)時(shí),帶有對(duì)合T的光滑閉流形(M,T)存在且協(xié)邊于零。研究結(jié)果豐富了不動(dòng)點(diǎn)集是Dold流形的對(duì)合的等變協(xié)邊分類問題,也為研究不動(dòng)點(diǎn)集其他特殊流形的對(duì)合提供了借鑒和參考。

本文研究的僅是不動(dòng)點(diǎn)集F為特殊維數(shù)的Dold流形對(duì)合的協(xié)邊分類,對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)集為F=P(2,2n+1)的情形還需要做進(jìn)一步研究。