黃海燕

【摘要】在高中數(shù)學(xué)課程中，教師要優(yōu)化和解決各類教育教學(xué)問(wèn)題，要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，要促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在高中課堂的教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)就尤為重要.本文通過(guò)梳理高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的意義及其實(shí)施策略，以“幾何體體積”的教學(xué)片段為例，進(jìn)行基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實(shí)踐探究.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；深度學(xué)習(xí)；祖暅原理

“雙新”視域下，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，面臨“在高中數(shù)學(xué)課堂中如何更有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果？”“怎樣才能做到讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展？”“怎樣才能提高學(xué)生的實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力？”等教育教學(xué)問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地中，教師通過(guò)課堂教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生處理問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，從而發(fā)展其高階思維的能力，有助于數(shù)學(xué)教育對(duì)人的發(fā)展價(jià)值的實(shí)現(xiàn).

1 高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的意義

深度學(xué)習(xí)是指在教師的主導(dǎo)下，激發(fā)學(xué)生自發(fā)的、自主性的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，學(xué)生從自身現(xiàn)有水平出發(fā)，通過(guò)挖掘自己學(xué)習(xí)知識(shí)的潛能，積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)、感受學(xué)習(xí)的成功、提升思想水平和精神境界的學(xué)習(xí)過(guò)程，是一種長(zhǎng)期的積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)、持久的學(xué)習(xí)力.

對(duì)于高中學(xué)生而言，深度學(xué)習(xí)是學(xué)生作為主體主動(dòng)展開的學(xué)習(xí)活動(dòng)，能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，是學(xué)生對(duì)問(wèn)題和知識(shí)的深入理解，是學(xué)生從特殊到一般、具體到抽象、運(yùn)算與推理、直觀想象、分析與綜合等思維不斷深入強(qiáng)化的過(guò)程，能觸及學(xué)生的心靈深處.

對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師而言，深度學(xué)習(xí)是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的活動(dòng)，教師在教學(xué)活動(dòng)中重視揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征以及內(nèi)在聯(lián)系，要讓學(xué)生主動(dòng)地建構(gòu)從了解到理解、掌握到綜合運(yùn)用的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)過(guò)程，讓知識(shí)具有整體性和系統(tǒng)性，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法［1］.

2 高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)施策略

2.1 教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)與定位

對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)與教材，對(duì)滬教版選擇性必修三第11章簡(jiǎn)單幾何體中有關(guān)幾何體體積的教學(xué)內(nèi)容“11.1.2柱體的體積”、11.2.2錐體的體積“11.4.3球的體積”進(jìn)行從重、難點(diǎn)到發(fā)展點(diǎn)的重構(gòu).

具體內(nèi)容為 了解一些簡(jiǎn)單幾何體體積的計(jì)算方法；知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

重構(gòu)內(nèi)容的要點(diǎn) 直觀地理解祖暅原理，再現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過(guò)程；不同方式推導(dǎo)公式，多角度了解公式的來(lái)龍去脈，為形成嚴(yán)密而精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)思維提供更大的可能；掌握從特殊到一般、具體到抽象等數(shù)學(xué)思想方法；通過(guò)思維導(dǎo)圖、表格等工具，引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系；提供更貼近生活的材料，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)關(guān)鍵能力的提升，幫助學(xué)生優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)［2］.

2.2 學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)立與解析

學(xué)習(xí)目標(biāo) 經(jīng)歷利用已知的長(zhǎng)方體的體積公式以及祖暅原理，探究并推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式的過(guò)程；經(jīng)歷利用祖暅原理、構(gòu)造一個(gè)與半球體積相等的幾何體推導(dǎo)得到球的體積計(jì)算公式的過(guò)程.

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法 在祖暅原理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，從二維平面升到三維空間，體會(huì)類比推理論證的數(shù)學(xué)思想方法；在推導(dǎo)證明棱柱、圓柱的體積公式的過(guò)程中，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法；經(jīng)歷借助棱錐與棱柱的聯(lián)系推導(dǎo)得到錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式的過(guò)程，體會(huì)割補(bǔ)法和化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用；經(jīng)歷借助特殊的模型，根據(jù)圓柱、圓錐的體積公式和祖暅原理推導(dǎo)出球的體積計(jì)算公式，進(jìn)而類比探究推導(dǎo)幾個(gè)簡(jiǎn)單的曲面幾何體的體積計(jì)算公式，體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

重點(diǎn)提升的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 提升直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)［3］.

2.3 學(xué)習(xí)內(nèi)容的多角度呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)內(nèi)容情境化 情境的信息要與學(xué)生的特點(diǎn)、經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平結(jié)合，教師充分研讀教材和課標(biāo)，聯(lián)系生活，合理運(yùn)用、構(gòu)建各種源于現(xiàn)實(shí)生活、貼近學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)情境.

學(xué)習(xí)內(nèi)容問(wèn)題化 教師根據(jù)教材內(nèi)容、結(jié)合課標(biāo)和教參，針對(duì)學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn)，預(yù)先設(shè)置知識(shí)層次和思維層次兩方面的高質(zhì)量的問(wèn)題鏈，在課堂有限的時(shí)間內(nèi)，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有深度、有廣度、有價(jià)值的思考，讓學(xué)生深化認(rèn)識(shí)，全面把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系和聯(lián)系，從而獲得思維的提升.

學(xué)習(xí)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化 立體幾何的教學(xué)重點(diǎn)是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，教學(xué)中可以使用各類積木狀教具、可拼裝拆卸的框架模型等各類立體幾何教具，也可以利用GeoGebra等動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件多角度呈現(xiàn)空間幾何體，有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，為利用祖暅原理進(jìn)一步探究各類幾何體的幾何性質(zhì)打好基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)內(nèi)容活動(dòng)化 課堂教學(xué)活動(dòng)不是越多越好，教學(xué)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)點(diǎn)也不是越難越雜越好，而是在了解每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和認(rèn)知能力，關(guān)注每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)需求后，以最合理的方式建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提煉網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)行更精煉、細(xì)致的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容通過(guò)小組活動(dòng)、生生互動(dòng)的方式呈現(xiàn).

2.4 重點(diǎn)活動(dòng)的遞進(jìn)與舉隅

活動(dòng)舉隅1 在學(xué)習(xí)祖暅原理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)柱體體積計(jì)算公式

情境 祖暅原理，“夫疊棊成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，東西方各國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)幾何體體積的研究歷程，引入起源、引入文化（圖1）.

問(wèn)題1 請(qǐng)?jiān)倭信e出一些實(shí)物模型，直觀地解釋祖暅原理．

問(wèn)題2 兩個(gè)幾何體體積相等的條件是什么？

問(wèn)題3 如何運(yùn)用祖暅原理，求出底面積為S，高為h的斜四棱柱的體積？

問(wèn)題4 如何運(yùn)用祖暅原理，推導(dǎo)棱柱的體積計(jì)算公式？

問(wèn)題5 如何運(yùn)用祖暅原理，推導(dǎo)圓柱的體積計(jì)算公式？

HPM融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)文化能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)歷史中，尋找數(shù)學(xué)概念的起因；根據(jù)生活中的實(shí)際情境初步認(rèn)識(shí)幾何體，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行遷移和應(yīng)用，解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

活動(dòng)舉隅2 基于球體體積計(jì)算公式的推導(dǎo)，探究推導(dǎo)特殊曲面幾何體體積，體驗(yàn)過(guò)程中用到的方法、涉及的數(shù)學(xué)思想.

情境2 奇特的牟和方蓋玩具，能在平面上平滑地滾動(dòng)，觀察發(fā)現(xiàn)其滾動(dòng)的姿態(tài)是蛇形走位的姿勢(shì)前進(jìn)的.直觀上看，該玩具像是兩個(gè)反向的錐體，通過(guò)一個(gè)45度側(cè)方的正方形繞著中心軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體（圖2）.

問(wèn)題1 如何計(jì)算牟和方蓋的體積呢？

問(wèn)題2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體等幾個(gè)簡(jiǎn)單曲面立體的體積是怎樣推導(dǎo)的？

問(wèn)題3 已知的幾個(gè)曲面幾何體體積推導(dǎo)過(guò)程中用到了哪些方法、涉及了哪些數(shù)學(xué)思想？

活動(dòng) 結(jié)合球體體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，分組合作探究牟和方蓋體積的求解.

學(xué)生能在相關(guān)聯(lián)的實(shí)際情境中，提取題目信息構(gòu)建相應(yīng)的立體幾何圖形，進(jìn)行推理與運(yùn)算、解決問(wèn)題.

資料學(xué)習(xí) 實(shí)際上，牟和方蓋是一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的公共部分的幾何體.《九章算術(shù)》中記載牟和方蓋是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)明并采用的一種用于計(jì)算球體體積的方法，采用的模型像一個(gè)牟和的方形盒子，故稱為牟和方蓋.［4］歷史上祖暅將牟和方蓋取其八分之一，再利用祖暅原理求解體積的過(guò)程.

活動(dòng)舉隅3 探究拓展，深度學(xué)以致用.

圖3是一個(gè)置于地面上的救生圈，它是繞一條垂直于地平面的直線l旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體

問(wèn)題1 如果用一個(gè)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸l的平面去截這個(gè)救生圈，得到的截面是什么圖形？

問(wèn)題2 如果用一個(gè)平行于地面的平面去截這個(gè)救生圈，得到的截面是什么圖形？

問(wèn)題3 請(qǐng)給定圖中合情的參數(shù)數(shù)據(jù)，求出該救生圈的體積.

變式課本問(wèn)題，形成探究性問(wèn)題，加深學(xué)生對(duì)平面幾何與立體幾何內(nèi)在聯(lián)系的理解.

2.5 持續(xù)性的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

教師運(yùn)用適合的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展?fàn)顩r，參考學(xué)生的原有認(rèn)知和新經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系、學(xué)生的作業(yè)測(cè)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)的問(wèn)題、學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中的態(tài)度表現(xiàn)、學(xué)生進(jìn)行深度加工的能力與意識(shí)等，并將評(píng)價(jià)結(jié)果用于教學(xué)改進(jìn)，使每個(gè)學(xué)生都能獲得成就感.

（1）在學(xué)習(xí)準(zhǔn)備階段，對(duì)預(yù)備知識(shí)和基本技能是否有清晰的理解和掌握，對(duì)課時(shí)內(nèi)容是否有一定了解.

（2）在學(xué)習(xí)過(guò)程中，順利完成的、基本完成的、未能完成的各項(xiàng)知識(shí)技能目標(biāo)或具體問(wèn)題；學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲及感悟，為什么學(xué)、學(xué)到什么、怎么學(xué)、學(xué)到什么程度等等.

（3）在課后學(xué)習(xí)階段，學(xué)生能進(jìn)行階段性的學(xué)習(xí)反思，把教學(xué)過(guò)程施行為數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，能對(duì)知識(shí)進(jìn)行過(guò)程性分析和總結(jié)，通過(guò)采用不同層次的反饋練習(xí)，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握程度，診斷學(xué)業(yè)水平現(xiàn)狀［5］.

3 結(jié)語(yǔ)

在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，利用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行教學(xué)，更能激發(fā)學(xué)生自己的學(xué)習(xí)愿望，主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值與文化價(jià)值.

設(shè)計(jì)高質(zhì)量的課堂任務(wù)單，能讓教師掌握學(xué)生的已有知識(shí)，避免課堂中教師花費(fèi)大量時(shí)間在重復(fù)鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)處于低階思維階段；能讓教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行細(xì)致的觀察與分析；能讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究未知的知識(shí)點(diǎn)，拓展延伸；能讓學(xué)生自我鞏固內(nèi)化知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)過(guò)程不斷深化，建構(gòu)更高的思維層次.

參考文獻(xiàn)：

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［3］陳春芳.讓學(xué)生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)、證明與應(yīng)用——“祖暅原理與幾何體的體積”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考［J］.江蘇教育，2021（Z3）：62-64+69.

［4］曾曉麗.關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)視域下數(shù)學(xué)文化的教學(xué)研究——以“祖暅原理與空間幾何體的體積”教學(xué)為例［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（13）：1-3+24.

［5］曹雅楠.指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂師生話語(yǔ)分析［D］.天津：天津師范大學(xué)，2022.