張廣海

【摘要】高中數(shù)學的立體幾何問題經常出現(xiàn)一類將空間幾何體和外接球結合在一起的問題，常見的空間幾何體有三棱錐、四棱錐、三棱柱等.解答這些常見幾何體的外接球半徑、表面積以及體積的相關問題，則要求同學們具備一定的空間想象能力和不同的解題思路與方法.本文從具體例題切入，主要從三個不同解題思路分析如何求解幾何體的外接球問題，以此給同學們提供更多思考與啟發(fā).

【關鍵詞】幾何體外接球問題；補形；球心

幾何體外接球問題在工程、科學和數(shù)學等領域具有廣泛的實際應用，如計算機輔助設計、機器人學、物體識別等.求解幾何體外接球問題是一個復雜的過程，尤其是在處理具有多種類型和復雜形狀的幾何體時，需要選擇合適的解決方法.本文提出了三種不同的思路來解決這一問題，分別是補形思路、確定球心思路和截面思路.

1 補形思路

根據(jù)已知幾何體的結構特點補充得到長方體、正方體或直棱柱這些比較熟悉的幾何體，求這些幾何體對應的外接球能使問題得到簡化，解題也會更加直接簡單.

例1 已知底面邊長等于1，側棱長等于2的正四棱柱的各個頂點全都在同一個球面上，則該球的體積等于（? ）

（A）32π3. （B）4π. （C）2π. （D）43π.

解析 對所給條件即底面邊長與側棱長的長度進行分析，可考慮將該空間幾何體補充成長方體，即問題等價于求解長方體的外接球體積.其次根據(jù)長方體外接球的半徑公式2R2=a2+b2+h2，代入相關值求得外接球半徑.最后根據(jù)球體體積公式，運算得到問題答案.

如圖1所示，假設該外接球的半徑等于R，根據(jù)公式可得2R2=22+12+12，

所以外接球半徑R=1，由球體的體積公式可知：V=43πR=43π，故正確答案為（D）選項.

2 確定球心思路

幾何體外接球的定義，即球心到每個頂點的距離都相等.根據(jù)這一定義可嘗試確定外接球的球心，從而確定半徑和表面積、體積，這種思路可稱為確定球心思路.

例2 在三棱錐A－BCD中，BC⊥CD，AB=AD=2，BC=1，CD=3，則三棱錐外接球O的半徑為.

解析 結合所給條件對問題相關的三棱錐空間結構特點進行分析，可得到AD⊥AB和BC⊥CD，由斜邊上的中點到頂點A，B，C，D的距離都相同，可確定球心的位置，求出BD的邊長即可得出外接球的半徑.

因為BC⊥CD，BC=1，CD=3，所以BD=2，

又因為AD2+AB2=22+22=4=BD2，所以AD⊥AB，

所以球O的球心在BD的中點，所以球O的半徑為1.

變式 在三棱錐P－ABC上，PA=PB=AC=BC=2，AB=23，PC=1，則三棱錐外接球的表面積為.

解析 首先確定球心的位置，三角形ABC的外接圓圓心一定和三棱錐外接球的球心在同一條垂線上，故可確定球心位置，其次根據(jù)定義，球心到每個頂點的距離都相同，可列出相關等式，運算并解答，即可得到三棱錐外接球的半徑和表面積大小.

作△ABC的外接圓，圓心為O，過圓心O作面ABC的垂線，三棱錐外接球的球心M在垂線上，

因為△ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=30°，外接圓的半徑r=22sin30°=2，

以外接圓的圓心O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則M0，0，z，C－2，0，0，P－32，0，32，

因為MP=MC，所以4+z2=94+32－z2，解得z=－33，

故三棱錐外接球的半徑R=MC=4+z2=133，三棱錐外接球的表面積S=4πR2=523π.

3 截面思路

經過外接球球心的平面是最大的圓，由幾何體的平面所截得的圓與面積最大的圓存在一定聯(lián)系，即根據(jù)截面圓半徑，外接球半徑和截面到中心圓的距離構造直角三角形，利用勾股定理解答問題求得半徑等其他值.

例3 已知正四棱錐P－ABCD的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高度等于4，底面邊長等于2，則該球的表面積為.

解析 對正四棱錐進行分析，可知該幾何體外接球的球心在底面中心E與頂點P的連線段上，且點E是正方形ABCD外接圓的圓心，此時可以構造直角三角形OAE.假設球的半徑為R，球心到截面圓圓心的距離為OE，球的半徑為OA，且AE的邊長可求得，根據(jù)勾股定理列出方程OA2=OE2+AE2，運算解答即可得到外接球的半徑，進一步根據(jù)表面積公式求出對應值.

將AC，BD連接交于點E，連接AO，PE，如圖3所示，假設球心為O，球O的半徑等于R，在直角△AOE中，由勾股定理得4－R2+22=R2，解得R=94，故外接球O的表面積等于4πR2=81π4.

4 結語

立體幾何的外接球問題在近幾年的高考數(shù)學試題中出現(xiàn)頻率較為頻繁，因此同學們一定要掌握解決外接球問題的有關方法和思路，可以對問題幾何體進行幾何體模型的補充，也可以利用球的幾何定義求解，還可以運用構造三角形思路進行解答.除了熟悉和掌握相關解題思路，還要熟練掌握一些基礎公式，才能保證解題的速率與效率.

參考文獻：

［1］楊彩云.截面法在求解空間幾何體外接球問題中的應用［J］.中學數(shù)學：高中版， 2019（5）：35-36；

［2］李甲銀.求幾何體外接球半徑的兩種思路［J］.語數(shù)外學習：數(shù)學教育， 2021， 000（002）：P.46-46.

［3］吳清清.幾何體的外接球問題［J］.福建中學數(shù)學， 2018（4）：6-7