趙鈞銳

(河南省民權(quán)縣高級(jí)中學(xué)高二29班 476800)

有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題在高考試題中屢見(jiàn)不鮮,而問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是求球半徑R或確定球心O的位置問(wèn)題.本文通過(guò)近年來(lái)積累的部分試題中外接球的問(wèn)題,談外接球求解的一招二式.

一、一招——嵌于長(zhǎng)方體

二、二式之一——小圓法

眾所周知，圓有垂徑定理，而球亦有類似性質(zhì)，如圖，利用球心O與截面圓圓心O′的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì),確定球心位置.此法是運(yùn)用OO′⊥⊙O′,而⊙O′是球的小圓，所以稱此法為小圓法.

故選D．

評(píng)注利用解小圓法求幾何體外接球的半徑，是一種明了、行之有效的方法，解題的第一件事就是要找到球心O的位置.要找球心O的位置，沒(méi)有固定的規(guī)律，要結(jié)合幾何體的特征，發(fā)揮自己的空間想象力分析.找到球心O的位置后，再確定底面圓的圓心D位置，如何表示出球心O到截面圓圓心D的距離，這個(gè)是難點(diǎn)，要結(jié)合幾何圖形分析.

三、二式之二——坐標(biāo)法

對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為O(x,y,z) ，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng). 坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從煩瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度.

例3 如圖小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線及粗虛線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為( ).

解由三視圖可知，該幾何體為如圖4所示的四棱錐S-ABCD，其中四邊形ABCD為矩形.

如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,2,1),B(0,2,1),S(0,0,2).設(shè)球心O的坐標(biāo)為(x,y,z)，則OS=OA,OS=OB,OS=OC,得到方程組

故選C．

評(píng)注由這個(gè)例子可以看出，對(duì)于規(guī)則和不規(guī)則的幾何體外接球問(wèn)題，通過(guò)設(shè)球心坐標(biāo)解方程組的方法，不僅可以確定球心位置，也可以確定球半徑，大大降低了思維難度，提高了做題的準(zhǔn)確性.