左大杰，劉 璐，駱泳吉，王子康

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031)

隨著我國高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)運營里程的不斷增加,鐵路運力供不應(yīng)求的現(xiàn)象得以緩解,尤其在客流淡季,運力供給大于運輸需求的問題尤為突出。在此背景下,探索多樣化的票制不僅可以提高鐵路客運市場競爭力,還能有效刺激旅客出行需求,改善鐵路企業(yè)效益。長期以來,我國鐵路車票主要以指定車次、指定席別、固定費率和票價遞遠遞減的方式出售,這種票制相比民航業(yè)及歐洲鐵路運輸行業(yè)的票制較為單一,也不夠靈活。民航業(yè)早在本世紀初就提出了靈活產(chǎn)品(Flexible Products)[1],這種產(chǎn)品以較低的價格售出,但其航班號不能由旅客自主選擇,而是由航空公司在多個航班中靈活分配。歐洲鐵路運輸行業(yè)也有各種形式的靈活產(chǎn)品,英國國鐵集團(Great Britain Railway,GBR)推出的隨時車票(Anytime Tickets)[2]取消了往返行程的時間限制,德國聯(lián)邦鐵路(Deutsche Bahn)推出的靈活車票(Flex Fare DB Tickets)允許旅客選擇一天內(nèi)的任意車次出行,甚至還有區(qū)域票(L?nder-Ticket)供團體旅客在相同州內(nèi)一定時間范圍旅行。最近,閆振英等[3]提出以折扣價格出售的鐵路靈活車次產(chǎn)品,這種產(chǎn)品在售出時不明確指定開行車次,具體車次在一段時間后兌現(xiàn)。上述靈活產(chǎn)品無疑為我國鐵路客運產(chǎn)品體系的進一步豐富和完善提供了有益參考。

鐵路客運產(chǎn)品的核心利益是旅客位移服務(wù),產(chǎn)品的具體形式則取決于車次、發(fā)車日期、席別等屬性。如果產(chǎn)品的各個屬性在售出時已被明確指定,則該產(chǎn)品屬于常規(guī)產(chǎn)品;若產(chǎn)品的某些屬性在售出時未被明確指定,則該產(chǎn)品可視為靈活產(chǎn)品,幾種典型鐵路客運產(chǎn)品形式見表1。其中,靈活產(chǎn)品可以有多種具體形式,最為常見的是靈活車次產(chǎn)品,該產(chǎn)品是在售出時不指定車次屬性,在一段時間后提供,以價格折扣的方式補償旅客購票時損失的這部分信息(民航的靈活產(chǎn)品、德國聯(lián)邦鐵路的靈活車票、文獻[3]中的靈活車次均屬此類)。此外,也可同時靈活產(chǎn)品的多個屬性,例如只指定席別,而旅客出行時間和車次則靈活為某個范圍(英國國鐵的隨時車票、德國聯(lián)邦鐵路的區(qū)域票均屬此類)。

表1 幾種典型鐵路客運產(chǎn)品形式

然而,既有關(guān)于靈活產(chǎn)品的研究和應(yīng)用還未能解決鐵路領(lǐng)域加入靈活產(chǎn)品后的需求建模與預(yù)測問題,即使是靈活車次這一最為典型的形式。在民航領(lǐng)域的靈活產(chǎn)品需求建模預(yù)測方面,文獻[1,4]建立了只考慮票價影響的消費者選擇模型來刻畫需求;文獻[5]通過多項Logit模型刻畫旅客選擇行為,但本質(zhì)上仍然只考慮了機票的價格因素。上述文獻的需求模型無法直接應(yīng)用于鐵路運輸領(lǐng)域,主要原因是鐵路有相比于航空更加密集的開行頻率,不能在旅客選擇過程中忽略開行時間等因素的影響。當鐵路運輸企業(yè)同時為旅客提供指定車次和靈活車次兩種車票時,對旅客的需求建模預(yù)測會因其購票選擇行為變得復(fù)雜。盡管已有文獻對鐵路旅客選擇行為展開研究,但大多建立在單一票種的多項Logit模型基礎(chǔ)上。文獻[6]將多項Logit成功應(yīng)用于鐵路旅客選擇行為估計;文獻[7]區(qū)別于以往的SP(Stated Preference,SP)調(diào)查,采用“受限”客票銷售數(shù)據(jù)估計旅客選擇偏好;文獻[8]將旅客出發(fā)時段偏好效用量化,應(yīng)用多項Logit模型估計京滬旅客出行選擇概率;文獻[9]將個體選擇偏好納入旅客乘車選擇,評價旅客的不同特性對出行選擇的影響程度。旅客對混合票制產(chǎn)品的選擇具有層次結(jié)構(gòu),而多項Logit模型將所有產(chǎn)品視為相似程度一致的產(chǎn)品,故上述研究難以刻畫混合票制下的旅客選擇行為。

為克服上述問題,考慮引入巢式Logit模型,該模型是GEV(Generalized Extreme Value)模型的一種,是更為一般的Logit形式,通過將不同類似程度的產(chǎn)品劃分到不同巢中,反映產(chǎn)品之間的相似程度差異。巢式Logit在交通出行中應(yīng)用較廣:文獻[10]構(gòu)建基于出行時段和出行方式的聯(lián)合巢式Logit模型,驗證對于有層次結(jié)構(gòu)的選擇行為采用巢式Logit模型較多項Logit模型有更好的統(tǒng)計學特征;文獻[11]通過多層次復(fù)雜巢式Logit模型構(gòu)建居民出行鏈的選擇行為,證明了巢式Logit是更為一般形式的Logit模型;文獻[12]通過對路徑選擇和出行方式的巢式Logit模型構(gòu)建,驗證單枝層次的可行性。上述文獻在具有層次的選擇行為結(jié)構(gòu)中應(yīng)用了巢式Logit模型,但與鐵路產(chǎn)品中存在外部選項進行需求轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象又有所不同。

鑒于民航靈活產(chǎn)品需求模型無法直接應(yīng)用于鐵路,并且既有文獻還未對鐵路混合票制下的需求問題展開研究,本文探索加入靈活車次后的混合票制下的需求建模預(yù)測問題。首先,分析旅客選擇行為特征,基于巢式Logit模型構(gòu)建選擇行為模型,并引入外部選項以刻畫部分需求轉(zhuǎn)移旅客。在此基礎(chǔ)上進行參數(shù)估計,以極大似然估計思想,將選擇概率函數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)似然函數(shù),并用多元牛頓迭代法(Newton-Raphson,NR)使對數(shù)似然函數(shù)極大值化,綜合同時估計和分階段估計,求取參數(shù)。最后以京滬高鐵為實例,開展出行意愿調(diào)查,先對混合票制下選擇行為進行參數(shù)估計,再結(jié)合對比模型進行模型驗證,最后分析不同折扣率下各產(chǎn)品的分擔率,驗證模型及參數(shù)的有效性。

1 選擇行為模型構(gòu)建

通過分析混合票制下旅客選擇行為特征,建立考慮外部選項的巢式Logit選擇行為模型。

1.1 混合票制下旅客選擇行為特征

混合票制下旅客購票決策過程見圖1。首先,旅客在準備購票時,將接收有指定車次和靈活車次兩類票可售的信息,旅客將選擇其中一種票種的出行方案,如所選票種無余票時,旅客將放棄出行或者轉(zhuǎn)移到外部出行選項(除開鐵路運輸企業(yè)提供的產(chǎn)品,在選擇結(jié)構(gòu)中還應(yīng)包含旅客放棄出行或選擇其他出行方式的選項,這部分選項設(shè)為“外部選項”)中致使購票失敗。然后,當旅客接受靈活車次車票并支付票價后即購票成功,對于選擇指定車次車票的旅客則還需要選擇具體車次,當所選車次無余票或是票價超出旅客出行心理預(yù)期,同樣會導致旅客放棄出行或者更換交通工具出行,而旅客完成所有選擇條件即購票成功。

圖1 混合票制下旅客購票決策過程

旅客在選擇指定車次和靈活車次兩類產(chǎn)品時,不同類別產(chǎn)品的購票決策過程存在差異,其產(chǎn)品屬性也存在差異,選擇靈活車次產(chǎn)品無需進一步選擇車次,因此該產(chǎn)品對出行時間等因素并不敏感,而選擇指定車次產(chǎn)品需要考慮出行時間以及列車的旅行時間,使得指定車次產(chǎn)品間以及指定車次與靈活車次產(chǎn)品間的相似程度不一致,指定車次與靈活車次產(chǎn)品間不滿足IIA(Independence from Irrelevant Alternatives)假設(shè),但兩者又具有一定的共性,靈活車次和指定車次兩類票種的銷售都受到票價影響,票價超出旅客心理預(yù)期,旅客即會放棄購票,這種相似程度又滿足IIN(Independence from Irrelevant Nests)假設(shè)。最后靈活車次和指定車次兩類車票均會受到票額容量的制約,當余票不足時,無論其效用多高,旅客均無法成功購票。針對指定車次各個產(chǎn)品之間滿足IIA假設(shè),指定車次產(chǎn)品與靈活車次產(chǎn)品之間滿足IIN假設(shè)的特點,本文應(yīng)用巢式Logit模型劃分兩個層次研究選擇行為。

1.2 基于巢式Logit的選擇行為模型

基于巢式Logit模型對混合票制下的旅行出行行為進行建模。由1.1節(jié)可知,混合票制下旅客備選集見圖2。

圖2 混合票制下旅客備選集

對于上述旅客購票決策過程,旅客n對任意層次j中方案k的選擇效用值Unk為

Unk=Ynj+Xnk+nk

(1)

式中:n∈N,N為產(chǎn)生高鐵出行意愿的旅客集;j為上層選擇方案,j∈J,J為上層選擇方案集,本文中分別是指定車次、靈活車次和外部選項3項;K為下層方案選擇集,即指定車次條件下具體車次k和外部選項的方案選擇,K={k|k=1,…,k′},k′為總車次數(shù);Ynj為受上層模型影響的固定效用,即票價;Xnk為受下層模型影響的固定效用,即票價、開行時間和旅行時間的組合;nk為無法觀測到的隨機效用,集合n服從累計分布,即

(2)

通常以線性組合的方式表示Ynj、Xnk,即

Ynj=α0+αTyj

(3)

Xnk=β0+βTxjk

(4)

式中:λj為層次j中其下包含的所有方案的不相關(guān)系數(shù)(Dissimilarity Parameters),在本模型中僅取上層和下層,故簡寫為λ1和λ2,取值在[0,1],靈活車次和外部選項只有一種方案,該值為1[13];α0、β0分別為選擇高鐵出行和指定車次票種出行的基礎(chǔ)效用;yj,xjk分別為上下層的已知屬性向量,如票價、旅行時間、開行時間等;θ為待估參數(shù),θ=(α0,α,β0,β)。

外部選項以角標o標記,表示選擇除鐵路運輸企業(yè)外其余選項的總和,并假設(shè)其確定性效用和Uo=0、Ujo=0。

根據(jù)巢式Logit模型推導概率公式[14],旅客選擇鐵路運輸產(chǎn)品概率為

(5)

(6)

上下兩層選擇外部選項的概率分別為

(7)

(8)

式中:Ij為包含價值(Inclusive Value),表示選擇層次j所獲得其所有方案效用和。

對于相對參數(shù)λ1和λ2,需要固定其中一項,本文固定λ1,令λ1=1,這樣能夠避免兩層的巢式Logit模型參數(shù)估計時因相對參數(shù)產(chǎn)生的分式求導,減少了算法中的不可行區(qū)域,而λ2需要落在[0,1]之間,才能保證備選集結(jié)構(gòu)合理。

2 參數(shù)估計

本節(jié)在第1節(jié)建立模型的基礎(chǔ)上解決了模型中參數(shù)估計問題,即通過對數(shù)似然函數(shù)的構(gòu)建,應(yīng)用分階段和同時估計法混合估計參數(shù)。

2.1 對數(shù)似然函數(shù)構(gòu)建

(9)

則其對數(shù)似然函數(shù)L為

(10)

2.2 分階段和同時估計法混合估計

巢式Logit模型參數(shù)估計有兩種方法,即分階段估計法和同時估計法。兩者各有優(yōu)劣,分階段估計是把似然函數(shù)上下層單獨分開,把下層參數(shù)先單獨提出來估計,再將所得估計值代入上層估計上層參數(shù),該方法能保證對數(shù)似然函數(shù)為凸[15],但是有效性較低。同時估計則關(guān)注式(5)本身,通過使L最大化確定各參數(shù)取值,同時估計所得參數(shù)具有無偏性、漸進正態(tài)性及有效性[14],但是同時估計中效用函數(shù)與參數(shù)估計之間并非像多項Logit那樣呈線性關(guān)系,雖然其非線性對極大似然估計無影響,但這會導致對數(shù)似然函數(shù)不是凸函數(shù),需要尋找多個初值,取其中最大初值作為結(jié)果。為了縮短對較優(yōu)初值的尋找,本研究結(jié)合分階段估計,采用同時估計來進行參數(shù)標定,即先用分階段估計計算參數(shù),得到一個范圍,在該范圍內(nèi)設(shè)置多個初值,應(yīng)用同時估計得到參數(shù)取值。

基于上述分析,對數(shù)似然函數(shù)L非線性,且結(jié)構(gòu)復(fù)雜難以直接求解,故本研究采用多元牛頓迭代法求取近似解。求解步驟如下:

Step1計算L的Jacobian矩陣J和Hessian矩陣H。

Step2初始化迭代次數(shù)i和局部最優(yōu)解迭代次數(shù)i′,根據(jù)分階段估計生成初值θ(i),以及初值對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)值L(θ(i)),并令之為L(θ)m。

Step3計算J(θ(i))和H(θ(i))。

Step4標記點集A(i),其坐標為(θ(i),J(θ(i))),則這些點切線方程為J(θ)-J(θ(i))-H(θ(i))·(θ-θ(i))=0,求切線與θ軸交點θ(i+1),即θ(i+1)=θ(i)-H(θ(i))-1·J(θ(i))。

Step6判斷i′>η是否成立,(η反映極值的迭代次數(shù),可根據(jù)精度要求設(shè)置),若成立,則輸出θ(i+1),計算結(jié)束,若不成立,則返回Step2重新尋找初值。

3 實例

對模型和參數(shù)估計進行實例驗證,輸入京滬高鐵出行意愿調(diào)查數(shù)據(jù),進行參數(shù)估計和模型驗證,并分析不同折扣率下旅客選擇概率情況。

3.1 數(shù)據(jù)輸入

表2 巢式Logit模型影響因素

選取京滬高鐵北京南至上海虹橋方向作為研究OD,圍繞表2的各項影響因素設(shè)計SP調(diào)查問卷,設(shè)置正交組合實驗[17],避免屬性之間出現(xiàn)多重線性問題產(chǎn)生較大的標定誤差,為研究指定車次與靈活車次兩大類產(chǎn)品間的選擇偏好,設(shè)置靈活車次9折、8折、7折3個折扣檔位分別與對應(yīng)折扣下指定車次選擇的選擇情形,即設(shè)置靈活車次、指定車次和放棄出行3種選項;為研究下層價格因素的選擇偏好,設(shè)置一等座二等座的選擇情形,即設(shè)置選擇一等座、二等座和放棄出行3種選項;為研究下層旅行時間與開行時段的影響,設(shè)置特征車次7趟的選擇情形,即G1、G3、G7、G145、G157、G133、G93和放棄出行8種選項,涵蓋所有開行時段,并設(shè)置不同的旅行時間。選擇情形涉及共計17種運輸產(chǎn)品,部分產(chǎn)品屬性及變量見表3。這里對旅行時間的處理是將旅行按照一天的上限取值為1,下限取值為0,即0時取值為0,24時取值為1,進行歸一化處理,例如取值0.218 75換算為時間為5 h 15 min。

表3 部分產(chǎn)品屬性及變量

根據(jù)上述選擇情形設(shè)計調(diào)查問卷,調(diào)查問卷采取網(wǎng)絡(luò)問卷的形式面向有出行需求的人群,于2022年3月15日至17日分3次收集有效出行意愿調(diào)查問卷共415份,統(tǒng)計并整理結(jié)果見圖3。

圖3 出行意愿調(diào)查結(jié)果

由圖3(a)可知,對靈活車次設(shè)置不同的價格折扣會對旅客的選擇產(chǎn)生影響,如靈活車次票價設(shè)置為9折、8折、7折,則選擇靈活車次的占比分別為52.48%、58.42%、72.28%。與此同時,選擇外部選項的人較少,始終不超過5%。總之,隨著靈活車次票價降低,選擇該車票的人數(shù)增加。而在指定車次旅客對一等座和二等座的選擇上,由圖3(b)可知,總體兩者的比值接近2.37,從這個角度可以反映下層模型中價格對旅客選擇的影響。同時,針對不同車次旅客間的選擇,整理結(jié)果見圖3(c),可知選擇G3的旅客最多,占比達28.13%,其次分別為G145和G7,反映了旅客對中午和下午較早時段的偏好。同時也能注意到旅行時間最長的G133盡管一部分時間處于下午時段,但是受到旅行時間的影響,仍鮮有旅客問津。而處于早上時段出發(fā)的G1,選擇概率較旅行時間較短但處于晚上時段開行的G93略高,反映了開行時間與旅行時間的耦合效果。

3.2 數(shù)值結(jié)果與分析

根據(jù)上述數(shù)據(jù),由Matlab 2020b在4核處理器Intel(R) Core(TM)i5-7300HQ 2.50 GHz,16 GB內(nèi)存的環(huán)境下求解,NR法部分迭代過程見表4。

表4 NR法部分迭代過程

NR法部分迭代過程見表4,由表4可以得到各參數(shù)估計結(jié)果,并由此對參數(shù)進行t檢驗,以驗證參數(shù)對旅客出行行為影響的合理性,結(jié)果見表5。

由表5可知,各層截距代表各個出行方案的隱含價值,其值為正數(shù),時間、價格影響因素均是越大,則對該出行方案的效用越不利,故其值應(yīng)為負,從各開行時間段來看,人們的出行傾向時間段集中在10:00—17:00,因而相應(yīng)時間段取值較早晚段大。而不相關(guān)系數(shù)取值為0.237 9,該值在(0,1)中,證明了選擇樹結(jié)構(gòu)的合理性。同時,各參數(shù)的t絕對值均大于2.576,說明在99%的可靠性水平上認為該參數(shù)對因變量對選擇概率產(chǎn)生影響,對于參數(shù)λ2,通過對兩側(cè)取值界限進行t檢驗,可認為只能在1%的顯著性水平上放棄假設(shè)H:λ2=0或λ2=1。

此外,還需要對模型整體的擬合優(yōu)度進行檢驗,擬合優(yōu)度反映了模型對數(shù)據(jù)的適應(yīng)程度可用其檢驗各個模型的優(yōu)劣程度。為了體現(xiàn)巢式Logit模型在刻畫混合票制下選擇行為的合理性,設(shè)置兩類多項Logit模型(為方便說明,分別以ML1、ML2表示,巢式Logit在下表以NL表示)進行對比分析。其中兩個ML模型均只有一層的選擇結(jié)構(gòu),即指定車次中的具體車次和靈活車次在同一個選擇枝中,ML1指的是靈活車次選項不包含開行時間影響因素,其余假設(shè)與巢式Logit一致,ML2指的是靈活車次選項包含開行時間影響因素,但4個時段權(quán)重均取0.25,其余假設(shè)也與巢式Logit一致,擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果見表6。

McFadden系數(shù)表示響應(yīng)旅客出行中選擇發(fā)生變化的能力,由于旅客的出行行為伴隨著很大的隨機性,且研究對于出行影響因素的認識并不完備,始終難以準確的預(yù)測模型,該值取值落在[0.2,0.4]間,可認為模型非常精確[18]。對于本模型該值為0.207 8,在出行預(yù)測類的模型中擬合效果較優(yōu),且均優(yōu)于兩類多項Logit模型,說明NL模型刻畫混合票制下旅客的選擇行為優(yōu)于鐵路出行選擇行為研究常用的多項Logit模型。同時,相對偏差刻畫的是所有運輸產(chǎn)品中,實際調(diào)查數(shù)據(jù)與模型預(yù)測數(shù)據(jù)間的加權(quán)相對差為6.11%,低于20%,說明估計參數(shù)能夠較好地擬合收集的出行意愿數(shù)據(jù)。

驗證模型和參數(shù)的正確性后,將該模型應(yīng)用于京滬高鐵某日實際開行25列車的選擇情形中,假定鐵路運營方在該線路上采用了混合票制,設(shè)置0.55至0.95共9種折扣率,分析在不同折扣下旅客對各個產(chǎn)品的選擇概率,見圖4和表7。

圖4 京滬高鐵部分OD靈活車次產(chǎn)品選擇概率

表7 北京南—上海虹橋OD指定車次產(chǎn)品選擇概率 %

圖4中,隨著靈活車次折扣率的降低,旅客更偏好選擇靈活車次產(chǎn)品,導致指定車次產(chǎn)品和外部選項的選擇概率下降,說明靈活車次產(chǎn)品能夠節(jié)省的票額支出越高,旅客越傾向于選擇該產(chǎn)品。此外,靈活車次產(chǎn)品在長程OD(如北京南—上海虹橋)中的表現(xiàn)較短程OD(如北京南—徐州東)更佳,這是在相同折扣下長程OD帶來的折扣收益更高和短程OD旅客更傾向于確定自己乘車信息出行導致的。可見靈活車次產(chǎn)品更適用于中長程OD場景。

表7中,由于折扣率的降低,確定性產(chǎn)品的總體選擇偏好處于下降態(tài)勢,反映了靈活車次產(chǎn)品對確定性產(chǎn)品的蠶食。同時,G5、G7、G15、G17、G19、G25次標桿車由于停站次數(shù)少,其旅行時間較短,選擇概率較高,最高的G15、G17、G19次均超過6%,而G5、G25次列車開行時段處于早上和晚上時段,旅客不傾向于該時段出行,因此選擇概率又相對較低,其他列車由于停站次數(shù)較多,選擇概率普遍較低,這些列車的選擇概率有高有低,集中在2%左右,是旅行時間與開行時段耦合作用的結(jié)果。總體而言,需求在平行車次間出現(xiàn)了較大的失衡現(xiàn)象,有待進一步地調(diào)整靈活車次產(chǎn)品。

4 結(jié)論

實施考慮靈活車次的混合票制不僅能夠刺激運輸需求、改善運輸企業(yè)效益,還能均衡車次間客流量,是推進鐵路運輸企業(yè)市場化發(fā)展的有效手段之一。本文研究混合票制下旅客選擇行為建模和估計方法,通過建立引入外部選項的雙層巢式Logit模型,并構(gòu)建對數(shù)似然函數(shù),應(yīng)用多元牛頓迭代法使對數(shù)似然函數(shù)極大值化,采用分階段估計和同時估計、混合估計的方法處理參數(shù)估計問題。實例表明,雙層巢式Logit模型可以有效估計混合票制下旅客對鐵路運輸產(chǎn)品的出行選擇偏好,為預(yù)售期前的票額分配的需求輸入以及預(yù)售期內(nèi)席位控制的調(diào)整策略提供依據(jù)。未來可進一步研究多種形式靈活產(chǎn)品的最優(yōu)組合問題以及混合票制下的席位控制問題。