楊建根, 唐 波,, 陳 偉, 俞金輝

(1.中國計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.寧波水表(集團(tuán))股份有限公司，浙江 寧波 315033)

1 引 言

近年來,隨著微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS, micro-electro-mechanical system)慣性傳感器的迅速發(fā)展,用于MEMS慣性傳感器校準(zhǔn)的激振器也受到了人們的關(guān)注,并對激振器的輸出性能提出了更高的要求[1～3]。傳統(tǒng)的傳感器校準(zhǔn)方法多用電磁式激振器[4],而相對于單軸振動激勵,線-角復(fù)合振動激勵更能真實(shí)地模擬實(shí)際的動力學(xué)環(huán)境[5],為了滿足復(fù)合振動傳感器校準(zhǔn)的需求,需要1種電磁式線-角振動激振器。由于激振器的承載范圍、工作頻段、激勵幅值、輸出波形等動力學(xué)性能直接影響傳感器的校準(zhǔn)精度,因此對激振器進(jìn)行動力學(xué)分析顯得尤為重要[6,7]。而動力學(xué)模型參數(shù)是準(zhǔn)確分析激振器振動系統(tǒng)動力學(xué)特性的基礎(chǔ),所以對電磁式線-角振動激振器進(jìn)行動力學(xué)參數(shù)辨識具有重要的科學(xué)價值和工程意義[8,9]。模態(tài)分析是對機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)辨識的1種重要方法,通過建立結(jié)構(gòu)的模態(tài)模型,結(jié)合實(shí)驗(yàn)可實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)的辨識[10]。溫青等[11]通過強(qiáng)迫振動實(shí)驗(yàn)對一座雙層曲線斜拉橋進(jìn)行了模態(tài)識別,根據(jù)不同激勵下的頻率響應(yīng)曲線計(jì)算模態(tài)參數(shù)。宋宏偉等[12]采用基于振動實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的模態(tài)參數(shù)辨識方法對振動實(shí)驗(yàn)中的集中質(zhì)量機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。但電磁式線-角振動激振器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,分析過程較為繁瑣。由于電磁式激振器具備力學(xué)和電學(xué)系統(tǒng),而機(jī)械系統(tǒng)和電學(xué)系統(tǒng)在本質(zhì)上具有相同的數(shù)學(xué)模型,利用機(jī)電類比理論對復(fù)雜的激振器振動系統(tǒng)進(jìn)行分析,可使分析過程大大簡化[13]。對于將機(jī)電類比應(yīng)用于參數(shù)辨識的研究,Saraswat A等[14]針對電磁振動篩系統(tǒng)中存在的非線性問題建立了集總參數(shù)模型,并基于機(jī)電類比建立了電磁振動篩的參數(shù)辨識模型。Tiwari N等[15]基于電磁式單軸振動臺的集總參數(shù)模型,在對其進(jìn)行模態(tài)分析的基礎(chǔ)上結(jié)合機(jī)電類比原理建立了振動臺關(guān)鍵參數(shù)的辨識模型。

傳統(tǒng)的參數(shù)辨識方法大多應(yīng)用于單軸振動系統(tǒng)研究,而復(fù)合式線-角振動激振器在輸出線-角復(fù)合振動激勵時會產(chǎn)生耦合振動,目前關(guān)于耦合振動參數(shù)的辨識問題研究較少。為此,本文提出了一種電磁式線-角振動激振器參數(shù)辨識的方法,可獲取該激振器單軸和耦合振動的動力學(xué)參數(shù)。首先,建立激振器單軸和耦合振動的運(yùn)動微分方程。其次,基于導(dǎo)納型機(jī)電類比原理建立含力學(xué)參數(shù)的單軸和耦合振動機(jī)電類比模型。最后,根據(jù)機(jī)電類比模型建立含動力學(xué)參數(shù)的阻抗公式,結(jié)合附加質(zhì)量法得到其動力學(xué)參數(shù)的辨識模型。

2 電磁式線-角振動激振器動力學(xué)建模

2.1 電磁式線-角振動激振器結(jié)構(gòu)組成及工作原理

電磁式線-角振動激振器的結(jié)構(gòu)如圖1所示,該激振器主要由運(yùn)動部件、磁路組件、線圈組件、復(fù)位組件和支撐組件5個部分構(gòu)成。其中運(yùn)動部件由工作臺、線圈骨架和線圈組件組成;磁路組件由外磁環(huán)、內(nèi)磁芯、第1永磁體和第2永磁體組成;線圈組件由圓周部線圈和軸向部線圈組成;復(fù)位組件由支架和彈性繩組成;支撐組件由底座和行程式直線軸承組成。

圖1 電磁式線-角振動激振器Fig.1 Diagram of electromagnetic linear-angle vibration exciter

磁路組件中內(nèi)磁芯位于外磁環(huán)內(nèi),與外磁環(huán)一起安裝在底座上;永磁體吸附在內(nèi)磁芯外部,其中第1永磁體和第2永磁體可獨(dú)立或一起安裝,當(dāng)?shù)?永磁體或第2永磁體獨(dú)立安裝時,永磁體可與內(nèi)外磁軛形成單軸向的線振動或角振動氣隙磁場;當(dāng)?shù)?永磁體和第2永磁體一起安裝時,可與內(nèi)外磁軛形成線-角復(fù)合振動氣隙磁場。

運(yùn)動部件插入內(nèi)磁芯與外磁環(huán)之間通過彈性繩與支架相連抵消自身重力,行程式直線軸承與線圈骨架底部連接,為運(yùn)動部件提供徑向支撐;工作臺置于線圈骨架上方,與線圈骨架視為剛體一起運(yùn)動,傳感器可安裝在工作臺上進(jìn)行校準(zhǔn);線圈組件嵌入到線圈骨架中,當(dāng)線圈組件通入正弦交變電流時,運(yùn)動部件可輸出正弦變化的線振動、角振動以及線-角振動同步輸出。

2.2 集總參數(shù)模型

線-角振動激振器是1種多軸振動系統(tǒng),需要多個振動微分方程來描述它的運(yùn)動。為了方便分析,將復(fù)雜的分布參數(shù)模型簡化成集總參數(shù)模型,通過集總參數(shù)模型來描述該激振器的運(yùn)動[16]。

在單軸振動方面,該激振器可通過設(shè)置永磁體,使運(yùn)動部件產(chǎn)生單軸向的線振動和角振動,其中運(yùn)動部件通過復(fù)位組件與底座相連,復(fù)位組件與底座之間采用螺栓連接可視為剛體,則可將該激振器簡化成運(yùn)動部件和臺體(復(fù)位組件和底座)2部分。對2種振動模式分別建立集總參數(shù)模型如圖2所示,其中圖2(a)為線振動集總參數(shù)模型,Mb為臺體質(zhì)量;kb為臺體等效剛度;cb為臺體阻尼系數(shù);xb為臺體的位移變化;Mx為運(yùn)動部件質(zhì)量;kx為運(yùn)動部件剛度;cx為運(yùn)動部件阻尼系數(shù);x為運(yùn)動部件的位移變化;F為線振動激勵力。圖2(b)為角振動集總參數(shù)模型,Jr為臺體等效轉(zhuǎn)動慣量;kr為臺體等效扭振剛度;cr為臺體扭振阻尼系數(shù);θr為臺體轉(zhuǎn)過的角度;Jt為運(yùn)動部件等效轉(zhuǎn)動慣量;kt為運(yùn)動部件扭振剛度;ct為運(yùn)動部件扭振阻尼系數(shù);T為角振動激勵扭矩;θ為運(yùn)動部件轉(zhuǎn)動角度。

圖2 振動集總參數(shù)模型Fig.2 Lumped parameter model of vibration

由于臺體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量較大,線圈提供的激勵不足以使其產(chǎn)生運(yùn)動,故在分析時可忽略臺體部分。根據(jù)牛頓第二定律可建立運(yùn)動部件的線振動微分方程和角振動微分方程:

(1)

(2)

2.3 線-角耦合振動分析

在復(fù)合振動方面,該激振器能夠?qū)崿F(xiàn)線-角振動同步輸出,而在實(shí)際運(yùn)動狀態(tài)下,激振器不僅會產(chǎn)生線振動和角振動,還會產(chǎn)生耦合振動,影響激振器的性能,故需要對耦合振動進(jìn)行分析。

運(yùn)動部件的扭轉(zhuǎn)變形不論是正向還是反向,都會引起軸向的耦合變形[17]。假設(shè)無阻尼條件下耦合剛度為k,耦合剛度的符號定義函數(shù)為δ(θ),根據(jù)運(yùn)動部件的角度變化判斷軸向恢復(fù)力方向,當(dāng)θ>0時,δ(θ)=1,軸向恢復(fù)力為kθ;當(dāng)θ<0時,δ(θ)=-1,軸向恢復(fù)力為-kθ;當(dāng)θ=0時,δ(θ)=0,軸向恢復(fù)力為0,則軸向恢復(fù)力可以表示為Ftx=δ(θ)kθ。同理可得扭振恢復(fù)力為Txt=δ(θ)kx。

則無阻尼條件下的耦合振動方程為:

(3)

(4)

(5)

式(3)是1個剛度耦合方程,為了對式(3)進(jìn)行解耦,令:

(6)

設(shè)F=sin(ωxt)、T=sin(ωθt),ωx和ωθ分別線振動和角振動激勵的角頻率,將式(6)代入式(3)中,方程左右兩邊乘以ST可得:

(7)

此時方程已完成解耦并實(shí)現(xiàn)對角化,進(jìn)一步求解可得到耦合振動引起的位移和角度響應(yīng)方程:

(8)

對式(8)進(jìn)行分析,可得在軸向激勵的作用下,耦合出的角度響應(yīng)取決于運(yùn)動部件扭角的初始狀態(tài),當(dāng)θ(t=0)=0,即δ(θ)=0時,Δθ=0,說明軸向激勵的作用只能產(chǎn)生軸向的振動響應(yīng),沒有產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)。則當(dāng)運(yùn)動部件處于平衡位置,其初始扭角為0時,即理想條件下,耦合振動中扭轉(zhuǎn)振動會產(chǎn)生軸向振動響應(yīng),而軸向振動不會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)。

3 基于機(jī)電類比原理的參數(shù)辨識模型

3.1 機(jī)電類比模型

電磁式線-角振動激振器是1個機(jī)電系統(tǒng),激振器有1個線圈為運(yùn)動部件提供激勵。根據(jù)機(jī)電類比原理將振動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為電路圖,就能用電路分析理論對振動系統(tǒng)進(jìn)行分析,簡化分析過程。根據(jù)導(dǎo)納型機(jī)電類比原理將振動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為電路圖,將機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)和電路系統(tǒng)的電學(xué)參數(shù)進(jìn)行類比建模,得到單軸向振動機(jī)電類比模型如圖3所示。

圖3 單軸向振動機(jī)電類比模型Fig.3 Electromechanical analogy model of uniaxial vibration

3.2 單軸向振動參數(shù)辨識模型

激振器的動力學(xué)參數(shù)可以通過分析激振器在共振頻率周圍的響應(yīng)來確定。圖3(c)可簡化為如圖4所示模型。

圖4 單軸向簡化模型Fig.4 Uniaxial simplified model

圖4中線圈電感Le提供的阻抗與Re相比很小可忽略,由此可建立阻抗公式:

(9)

(10)

(11)

為了獲取力因子N,需要測量該激振器線振動模式下線圈中的電流I以及運(yùn)動部件的線加速度信號A。根據(jù)安培力公式F=IBL,得到線振動力因子N1的計(jì)算公式如下:

(12)

對電壓、電流以及加速度信號進(jìn)行FFT分析可得到共振頻率下的阻抗值,由阻抗公式可知,當(dāng)運(yùn)動部件處于共振頻率時,阻抗虛部為0。則在阻抗、力因子以及電阻的參數(shù)值已知的情況下可得到阻尼cx的計(jì)算公式為:

(13)

線振動和角振動可共用同一機(jī)電類比模型,即可共用同一參數(shù)辨識模型。若要計(jì)算角振動參數(shù),則需要采集該激振器角振動模式下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),將角振動模式下的空載和負(fù)載共振頻率代入式(10)和式(11)可得到角振動的轉(zhuǎn)動慣量Jt和扭振剛度kt,將角振動模式下線圈中的電流和角加速度信號代入式(12)可得到角振動力因子N2,結(jié)合式(10)、式(11)、式(12)計(jì)算結(jié)果,由式(12)可得到阻尼ct。

3.3 耦合振動參數(shù)辨識模型

電磁式線-角振動激振器可同步輸出線振動和角振動,根據(jù)工作原理建立耦合振動等效機(jī)電類比模型如圖5所示。模型上半部分表示線振動部分,下半部分表示角振動部分。

圖5 耦合振動機(jī)電類比模型Fig.5 Electromechanical analogy model of coupled vibration

(14)

(15)

(16)

4 模型仿真驗(yàn)證

4.1 數(shù)值仿真算例

本文采用數(shù)值仿真算例來驗(yàn)證該方法的有效性,將振動微分方程中的激勵簡化成以時間t為變量的正弦信號,即F=A0sinωt、T=B0sinωt,其中A0、B0分別為線振動和角振動的激勵幅值,ω為角頻率。令激勵幅值A(chǔ)0=10、B0=0.2,角頻率ω=2π,附加標(biāo)準(zhǔn)塊質(zhì)量m=6 kg,轉(zhuǎn)動慣量Jm=0.6 kg·m2,設(shè)定該激振器的動力學(xué)參數(shù)值,根據(jù)振動微分方程建立模型進(jìn)行仿真得到在指定激勵下的空載和負(fù)載加速度信號,對加速度信號進(jìn)行FFT分析得到頻率響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 振動頻響曲線圖Fig.6 Vibration frequency response curve

通過頻響曲線圖得到相應(yīng)共振頻率轉(zhuǎn)化為角頻率如表1所示。

表1 振動共振頻率Tab.1 Vibrational resonance frequency

設(shè)定電阻和力因子值,令電阻Re=7 Ω,線振動力因子N1=12,角振動力因子N2=0.5,通過建立阻抗模型進(jìn)行仿真得到線振動和角振動的阻抗-頻率圖如圖7所示。

圖7 阻抗-頻率圖Fig.7 Impedance-frequency diagram

由圖7可得在共振頻率下,線振動和角振動的阻抗達(dá)到最大值,分別為7.718 2和7.002 5。將阻抗值和共振頻率值代入?yún)?shù)辨識模型中,得到辨識結(jié)果如表2所示。

對比頻響曲線圖和阻抗-頻率圖可得,在共振頻率下,阻抗達(dá)到最大值,這一現(xiàn)象與上文分析一致。并且由表2可得,在指定激勵下,由辨識模型得到的參數(shù)估計(jì)值幾乎與給定值一致,各參數(shù)的辨識相對誤差均在1%以內(nèi)。由此可見,該參數(shù)辨識模型在無噪聲環(huán)境下能夠得到較高精度的參數(shù)辨識結(jié)果。

4.2 激勵源噪聲對辨識結(jié)果的影響

由于激振器實(shí)際工作時輸出的信號不免伴隨著噪聲,為了驗(yàn)證噪聲對辨識結(jié)果的影響,以線振動為例,在線振動激勵源中分別加入信噪比為20 dB和30 dB的白噪聲,通過仿真獲取不同噪聲環(huán)境下的共振頻率,得到辨識結(jié)果如表3所示。通過數(shù)值仿真結(jié)果可以看出,不論是否加入噪聲信號,辨識結(jié)果與設(shè)定值都吻合得較好,各參數(shù)的辨識相對誤差均在5%以內(nèi)。由此可見,該模型在無噪與染噪環(huán)境下均能得到較高精度的參數(shù)辨識結(jié)果。

表3 噪聲環(huán)境下辨識結(jié)果Tab.3 Identification results in noisy environment

4.3 附加質(zhì)量值對辨識結(jié)果的影響

該辨識方法通過在工作臺上設(shè)置附加標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊得到運(yùn)動部件的空載和負(fù)載共振頻率,為了驗(yàn)證附加標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊參數(shù)對辨識精度的影響,設(shè)定不同大小的附加質(zhì)量進(jìn)行仿真驗(yàn)證。以線振動為例,在原有附加質(zhì)量m=6 kg的基礎(chǔ)上,增設(shè)附加質(zhì)量值m1、m2、m3、m4,其中m1=0.5 kg、m2=3 kg、m3=12 kg、m4=20 kg。通過仿真獲取相應(yīng)的共振頻率,得到辨識結(jié)果如表4所示。

表4 負(fù)載環(huán)境下辨識結(jié)果Tab.4 Identification results under load environment

由表4的辨識結(jié)果可知,相較于附加質(zhì)量為m和m3的辨識結(jié)果,m1、m2、m4的辨識相對誤差較大,說明附加標(biāo)準(zhǔn)塊質(zhì)量值的改變對辨識精度存在一定的影響,并且附加質(zhì)量過大或過小都會導(dǎo)致加速度信號的獲取和分析難度增大。因此,在能夠得到較為清晰的加速度信號的前提下,可選擇質(zhì)量值為運(yùn)動部件質(zhì)量1倍或2倍的附加標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊。

5 結(jié) 論

本文通過建立電磁式線-角振動激振器線振動、角振動以及耦合振動的振動微分方程,在此基礎(chǔ)上基于導(dǎo)納型機(jī)電類比原理建立單軸和耦合振動的機(jī)電類比模型,進(jìn)一步通過對含有動力學(xué)參數(shù)的阻抗公式分析得到參數(shù)辨識模型。通過算例仿真驗(yàn)證模型的有效性,由結(jié)果可得到以下結(jié)論:

1) 通過對比頻響曲線圖和阻抗-頻率圖證明了模型阻抗值在共振頻率處達(dá)到最大值的結(jié)論;

2) 該方法在無噪與染噪環(huán)境下的辨識結(jié)果與給定值幾乎一致,各參數(shù)的辨識相對誤差均在5%以內(nèi),證明了該方法具有良好的準(zhǔn)確性和抗噪聲能力;

3) 模型中附加標(biāo)準(zhǔn)塊質(zhì)量值的改變對辨識精度存在一定影響,在能夠得到較為清晰的加速度信號的前提下,可選擇質(zhì)量值為運(yùn)動部件質(zhì)量1倍或2倍的附加標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊。