文/孔秀云

眾所周知，數(shù)學(xué)是數(shù)量關(guān)系與空間形式緊密結(jié)合的一門學(xué)科，是以研究“數(shù)”與“形”為主的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域均以“數(shù)”與“形”為基礎(chǔ)。同時，數(shù)學(xué)是由抽象、概括客觀現(xiàn)象而形成的一種語言和工具。數(shù)學(xué)學(xué)科的如此特點(diǎn)，證明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，驅(qū)動教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是依據(jù)“數(shù)”（抽象的數(shù)量關(guān)系）“形”（直觀的空間形式）的對應(yīng)關(guān)系與互補(bǔ)優(yōu)勢，通過相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，具體表現(xiàn)為以形助數(shù)和以數(shù)解形[1]。實踐證明，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，可以化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度；使學(xué)生透過問題表述和形式，感知問題內(nèi)在含義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知；可以使學(xué)生在互換“數(shù)”“形”的過程中，發(fā)展觀察能力、思維能力等?；诖耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從以形助數(shù)和以數(shù)解形入手，通過多樣策略應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知，掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

一、以形助數(shù)

以形助數(shù)是指用“形”解決“數(shù)”的問題，促使學(xué)生直觀地認(rèn)知“數(shù)”[2]。“形”的形式多種多樣，如生活實物、線段圖、數(shù)學(xué)模型等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，教師要依據(jù)課堂教學(xué)需要，選用不同的“形”，助力學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”。

（一）用“形”，認(rèn)識“數(shù)”

數(shù)的概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有抽象性。學(xué)生借助各種“形”，如生活實物，可以直觀地認(rèn)知數(shù)字，理解數(shù)字的含義，學(xué)會用數(shù)字表示事物的數(shù)量。如利用數(shù)學(xué)小棒或計算器，直觀地了解不同數(shù)位上的數(shù)字所表示的意義；借助正方形、圓形等，直觀地感受小數(shù)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要聯(lián)系教學(xué)需要，用“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“數(shù)”。

例如，在“時、分、秒”的課堂教學(xué)中，為使學(xué)生認(rèn)知“1 秒”，教師呈現(xiàn)時鐘，引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛，靜靜地聽。當(dāng)聽到“滴嗒”一聲時，學(xué)生感受到了“1 秒”。為了使學(xué)生增強(qiáng)感受，教師提出要求：“在聽的過程中，一聽到‘滴答’聲就拍一下手。”于是，學(xué)生邊傾聽邊拍手，由此直觀地感受到1 秒有多長。接著，教師按照如此方式，鼓勵學(xué)生發(fā)散思維，用其他方式表示1 秒。在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知和生活經(jīng)驗的作用下，學(xué)生聯(lián)想到了多樣的表示方法，如眨眼睛、踏腳等。在應(yīng)用這些方法的過程中，學(xué)生繼續(xù)直觀地感知1 秒。然后，教師沿用此方式，使用不同的“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“1 分鐘”和“1 小時”。

實踐證明，在直觀的“形”的作用下，學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)和掌握了數(shù)學(xué)知識。同時，一些學(xué)生因此感受到“數(shù)”與“形”的關(guān)系，便于自主地借助“形”認(rèn)識“數(shù)”，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

（二）用“形”，運(yùn)算“數(shù)”

運(yùn)算是以“數(shù)”的認(rèn)識為基礎(chǔ)的活動，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分。算理是學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的“工具”。學(xué)生借助各種“形”可以理解運(yùn)算背后的算理[3]。如借助小棒、紙片等進(jìn)行整數(shù)運(yùn)算，理解運(yùn)算定律；借助正方形、圓形等進(jìn)行平均分割，理解分?jǐn)?shù)背后的運(yùn)算法則。由此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可用“形”引導(dǎo)學(xué)生探究算理。

例如，在“同分母分?jǐn)?shù)加減法”的課堂教學(xué)中，教師向?qū)W生提出如此問題：“有一塊月餅，媽媽把它平均分為八份。爸爸吃了三份，媽媽吃了一份。請問，爸爸和媽媽一共吃了多少塊月餅？”借助此問題，學(xué)生遷移已有認(rèn)知，列出算式。對此，教師追問：“如何計算出結(jié)果呢？”同時，為了使學(xué)生順利地解決問題，教師引導(dǎo)學(xué)生在紙張上畫圖，表示出。在畫圖的過程中，大部分學(xué)生將一個圓平均分為8 份，為其中的4 份涂色。此時，學(xué)生直觀地得出結(jié)果：。教師就此進(jìn)行贊賞，并提問：“。為什么分母沒變？分子是如何得到的？”在問題的作用下，學(xué)生審視畫圖內(nèi)容，積極思維，有所發(fā)現(xiàn)，分母相同，可以直接用分子相加。立足于此，教師在交互式電子白板上演示計算過程，并結(jié)合此過程，歸納算理：計數(shù)單位相同的數(shù)可以直接相加。

由此可見，在“形”的助力下，學(xué)生一步步地探究到算理，便于做到知其然，知其所以然，提高運(yùn)算水平。

（三）用“形”，整理“數(shù)”

整理數(shù)據(jù)是以數(shù)字為基礎(chǔ)的活動。在整理數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)生會有規(guī)律地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，為分析數(shù)據(jù)做好準(zhǔn)備；還會梳理、發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的邏輯關(guān)系，為認(rèn)識數(shù)、運(yùn)用數(shù)奠定堅實的基礎(chǔ)?！靶巍笔菍W(xué)生整理“數(shù)”的助力。如學(xué)生可以利用條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖等，清晰地展現(xiàn)雜亂的數(shù)據(jù)，由此輕松地發(fā)現(xiàn)數(shù)量多少或數(shù)量所占的比重等。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)依據(jù)教學(xué)需要，借助“形”引導(dǎo)學(xué)生整理“數(shù)”。

例如，在“條形統(tǒng)計圖”這節(jié)課上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)了本地上月的天氣情況。在學(xué)生觀察時，教師提出問題：“上個月有多少種天氣？每種天氣有多少天？”在問題的作用下，學(xué)生數(shù)出天氣的種類及其對應(yīng)天數(shù)，并積極思維，聯(lián)想到不同的表示方法，有的學(xué)生繪制統(tǒng)計表，有的學(xué)生繪制條形統(tǒng)計圖。然后，教師挑選統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖，并提問：“請對比這兩種統(tǒng)計方式，判斷哪一種可以更加直觀地展現(xiàn)信息？”受到任務(wù)的驅(qū)動，學(xué)生認(rèn)真對比，直觀地發(fā)現(xiàn)條形統(tǒng)計圖的優(yōu)勢，并主動進(jìn)行描述。立足學(xué)生的描述情況，教師做出總結(jié)：“條形統(tǒng)計圖用一個單位長度直觀地展現(xiàn)了一定的數(shù)量，并按照一定的順序排列不同長短的條形，借此表示出數(shù)量的多少?！庇纱?，學(xué)生增強(qiáng)了認(rèn)知，增強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)效果。

實踐表明，學(xué)生通過“數(shù)據(jù)—表格—條形統(tǒng)計圖”直觀地了解了條形統(tǒng)計圖，扎實掌握了課堂所學(xué)。

（四）用“形”，解決“數(shù)”

解決“數(shù)”是指解決數(shù)的問題。數(shù)的問題具有抽象性。小學(xué)生的形象思維較為發(fā)達(dá)，但抽象思維能力不強(qiáng)?！靶巍笨梢灾庇^展現(xiàn)“數(shù)”，助力學(xué)生獲取解決問題的思路和方法。例如，學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問題后，將問題中的條件呈現(xiàn)在線段圖上，可以直觀地厘清條件關(guān)系，由此解決問題。對此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助“形”，引導(dǎo)學(xué)生解決“數(shù)”。

例如，在課堂上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)以下應(yīng)用題：“早上，明明和紅紅同時從家里出發(fā)上學(xué)。他們相向而行。已知，明明每分鐘走70 米，紅紅每分鐘走60 米。兩人走在3 分鐘后相遇。請問，他們兩家相距多少米？”讀題后，大部分學(xué)生陷入迷茫。于是，教師把握時機(jī)，向?qū)W生提出畫圖要求：“請根據(jù)問題條件，畫出線段圖?！痹诖艘蟮尿?qū)使下，學(xué)生積極思維，分析問題條件，精心繪制線段圖（如圖1）。

這樣的線段圖直觀地展現(xiàn)了已知條件、未知問題以及二者間的關(guān)系。在線段圖的助力下，學(xué)生歸納出其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系：紅紅家和明明家的距離=紅紅走的路程+明明走的路程。根據(jù)如此數(shù)量關(guān)系，學(xué)生輕松地列出算式，計算出結(jié)果。

由此可見，借助“形”引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)的問題，不但可以使學(xué)生直觀地理解題意，明確解題思路，獲得解題方法，還可以使學(xué)生建構(gòu)形象思維與抽象思維之間的聯(lián)系，便于向抽象思維過渡，提高抽象思維能力。

二、以數(shù)解形

以數(shù)解形是指用“數(shù)”來解釋圖形的性質(zhì)，促使學(xué)生精準(zhǔn)地認(rèn)知圖形?！皵?shù)”的形式多種多樣，如數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，選擇適宜的“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知圖形。

（一）用“數(shù)”認(rèn)識“形”

盡管圖形本身具有直觀性，但表達(dá)過于直白，學(xué)生難以了解特征與性質(zhì)。如學(xué)生無法直接借由長方形、正方形等，認(rèn)知到圖形的共同特征。又如，學(xué)生無法借助直角三角形、銳角三角形等，了解底、高、角等特征，尤其難以用這些特征描述不同三角形之間的關(guān)系?！皵?shù)”具有精準(zhǔn)性，可以輔助學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)知“形”的特征。所以，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)立足“數(shù)”的優(yōu)勢，結(jié)合教學(xué)需要，引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)”認(rèn)識圖形。

例如，在“長方形的初步認(rèn)識”的課堂教學(xué)中，教師為學(xué)生發(fā)放大小不同的長方形模具。接著，教師提出觀察任務(wù)：“觀察這些長方形模具，你能發(fā)現(xiàn)它是由什么構(gòu)成的？”帶著任務(wù)，學(xué)生認(rèn)真觀察，積極思考，直觀地發(fā)現(xiàn)長方形由面、頂點(diǎn)和邊構(gòu)成。據(jù)此，教師追問：“數(shù)一數(shù)，長方形有多少個面？多少個頂點(diǎn)？多少條邊？”通過數(shù)數(shù)，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知長方形的特征：“長方形有1 個面，4 個頂點(diǎn)，4 條邊?！痹谶@樣的特征的支撐下，學(xué)生很容易在腦海中浮現(xiàn)出一個長方形，加深記憶。為了使學(xué)生探究長方形的更多特征，教師繼續(xù)提出任務(wù)，如“量一量長方形模具，你能發(fā)現(xiàn)邊、角有什么關(guān)系？”在測量的過程中，學(xué)生獲取數(shù)據(jù)，由此精準(zhǔn)地認(rèn)知長方形的特征，如長方形的對邊相等，四個角都是直角。由此可見，學(xué)生通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)了一個個“數(shù)”，由此精準(zhǔn)地認(rèn)知了長方形的特征，便于形成長方形表象，為學(xué)習(xí)長方體的表面積奠定堅實的基礎(chǔ)。

（二）用“數(shù)”描述“形”

圖形的位置和運(yùn)動是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容。應(yīng)用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動，可以使學(xué)生對圖形做出精準(zhǔn)“定位”，由此建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知。如學(xué)生用前、后、左、右、上、下，東、西、南、北等方向進(jìn)行描述，可以精準(zhǔn)定位事物的位置。又如，學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述圖形的平移、旋轉(zhuǎn)軌跡，可以對平移、旋轉(zhuǎn)建構(gòu)認(rèn)知。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)聯(lián)系課堂教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動。

例如，在“位置與方向（二）”的課堂教學(xué)中，學(xué)生要依據(jù)參照點(diǎn)建立坐標(biāo)系，了解事物所在角度；還要根據(jù)圖中的比例尺判斷事物的距離。了解事物角度、判斷事物距離的過程，正是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述事物位置與方向的過程。在描述的過程中，“數(shù)”是不可或缺的，否則所描述的內(nèi)容毫無意義。所以，教師以教材中的插圖為“工具”，直觀地向?qū)W生展示平面圖，呈現(xiàn)具體數(shù)據(jù)，借此引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行描述。如教師引導(dǎo)學(xué)生觀察“做一做3”中的平面圖，用“臺風(fēng)沿著______方向移動了______米”的句式進(jìn)行描述。在描述之際，學(xué)生將視線集中在數(shù)據(jù)上，發(fā)揮思維作用，判斷臺風(fēng)的移動方向和距離。如此做法，不僅使學(xué)生借助“數(shù)”，精準(zhǔn)地了解了物體的位置和方向，認(rèn)知了所學(xué)內(nèi)容，還使學(xué)生順其自然地鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，有利于學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

（三）用“數(shù)”遷移“形”

遷移“形”是學(xué)生用“數(shù)”的具體表現(xiàn)。例如，學(xué)生可以在把握數(shù)量關(guān)系的同時，遷移對“形”的認(rèn)知，精準(zhǔn)認(rèn)知圖形的周長、面積，尤其是掌握具體方法。又如，學(xué)生可以應(yīng)用數(shù)量，探究立體圖形的特點(diǎn)、概念等，由此遷移“形”，發(fā)現(xiàn)相同或不同之處，進(jìn)而增強(qiáng)認(rèn)知。由此可見，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)立足學(xué)生“形”的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”，遷移已有認(rèn)知，積極探究“形”。

例如，在“三角形的面積”的課堂教學(xué)中，教師將探究三角形面積計算公式的權(quán)利還給學(xué)生。學(xué)生在此之前，早已學(xué)習(xí)了長方形、正方形、平行四邊形的面積計算公式，積累了“形”與“數(shù)”的經(jīng)驗，所以，在探究三角形面積計算公式的過程中，學(xué)生會遷移已有經(jīng)驗，動手操作，使用不同的方法，如數(shù)格子法、轉(zhuǎn)化法等，得出“數(shù)”，由此推導(dǎo)出面積計算公式。這樣不僅使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的“主人”，還使學(xué)生實現(xiàn)了正遷移，便于掌握數(shù)學(xué)知識與數(shù)形結(jié)合思想方法。

三、結(jié)束語

綜上所述，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，教師可以從以形助數(shù)，以數(shù)解形入手，聯(lián)系數(shù)學(xué)教學(xué)的實際需要，運(yùn)用多樣的策略，如用“形”認(rèn)識“數(shù)”、用“形”運(yùn)算“數(shù)”、用“形”整理“數(shù)”、用“數(shù)”認(rèn)識“形”、用“數(shù)”描述“形”等，引導(dǎo)學(xué)生互換“數(shù)”與“形”，以此掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法，發(fā)展多樣能力，進(jìn)而增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。