翟鳳晨, 于慎波, 何慶橈

(沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

近年來,內(nèi)置式永磁同步電機(jī)(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其優(yōu)越的性能,如恒定功率調(diào)速范圍寬,高功率密度,優(yōu)秀的過載能力和運(yùn)行效率[1]而被廣泛應(yīng)用于電動汽車、航空航天等領(lǐng)域。根據(jù)永磁體在轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的不同位置,IPMSM又分為U型、V型和“一”字型等結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式永磁同步電機(jī),其中,V型IPMSM具有最高的凸極率和更寬的恒定功率調(diào)速范圍[2]。

由于V型IPMSM的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復(fù)雜,目前主要用有限元法對其進(jìn)行電磁場分析。有限元法是目前應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)值分析方法,能夠分析結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī),計(jì)算電機(jī)鐵心的飽和等影響,但是該方法計(jì)算速度慢、建模復(fù)雜,難以得到設(shè)計(jì)參數(shù)與電磁性能之間的關(guān)系。等效磁網(wǎng)絡(luò)法根據(jù)磁場流通路徑對電機(jī)進(jìn)行精密的磁網(wǎng)絡(luò)劃分和等效,可以計(jì)算IPMSM這類磁路結(jié)構(gòu)復(fù)雜的電機(jī)磁場問題[3-5]。文獻(xiàn)[3-5]分別建立了“一”字型IPMSM、多層內(nèi)置式電機(jī)和V型混合永磁電機(jī)的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型,計(jì)算了電機(jī)的電磁性能。與解析法相比等效磁網(wǎng)絡(luò)法的計(jì)算速度較慢,電機(jī)的結(jié)構(gòu)尺寸改變會導(dǎo)致其計(jì)算模型也隨之改變,在電機(jī)的初始設(shè)計(jì)的應(yīng)用中較為困難。

解析法是以麥克斯韋方程組為基礎(chǔ),建立偏微分方程對電機(jī)磁場進(jìn)行計(jì)算求解,計(jì)算速度快,能夠方便地研究各個參數(shù)和電機(jī)性能之間的關(guān)系,適用于電機(jī)的初期設(shè)計(jì)。充分地了解電機(jī)氣隙內(nèi)發(fā)生的磁場現(xiàn)象,是精確計(jì)算電機(jī)感應(yīng)電壓、電樞反映場[6]、電磁轉(zhuǎn)矩[7-8]和齒槽轉(zhuǎn)矩[9-10]的前提條件,對有效預(yù)測定子齒和軛上的電磁力以及隨后產(chǎn)生的振動和噪聲起著關(guān)鍵作用。電機(jī)的磁場分布也受一些重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響,包括轉(zhuǎn)子偏心、定子槽[11-12]和定子槽槽口[13]等幾何性質(zhì)的影響。目前,已經(jīng)有學(xué)者提出了幾種基于二維子域劃分模型的精確解析解,用來計(jì)算表貼式和表面嵌入式永磁電機(jī)的氣隙磁密,從而計(jì)算電機(jī)的電磁性能[14-18];文獻(xiàn)[14]提出了適用于具有分段斜極和磁性槽楔的表貼式永磁電機(jī)的計(jì)算方法,分析了電機(jī)的空載反電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩,但是該模型沒有考慮定子槽槽口的影響;文獻(xiàn)[15]建立了一種表貼式永磁電機(jī)的子域分析模型,在考慮齒尖和開槽效應(yīng)下計(jì)算了表貼式電機(jī)的空載、電樞和負(fù)載磁場分布;文獻(xiàn)[16]建立了無槽偏心表貼式永磁電機(jī)的精確子域分析模型,但該模型僅適用于無槽表貼式電機(jī);文獻(xiàn)[17-18]建立的表面嵌入式永磁電機(jī)精確子域模型,通過求解矢量磁位進(jìn)而完成了空載磁場和電樞磁場的解析計(jì)算。通過建立精確子域分析模型還能夠計(jì)算矩形輻式內(nèi)置式永磁電機(jī)的電磁性能[19-20]。然而,對于邊界形狀復(fù)雜的電機(jī)來說,難以建立和求解各個求解域的磁場偏微分方程,用子域法直接建立其電機(jī)磁場的解析模型較為困難,需要將原始電機(jī)等效為形狀規(guī)則,可以直接計(jì)算偏微分方程的解析模型[21]。文獻(xiàn)[21]對無槽U型內(nèi)置式永磁電機(jī)進(jìn)行了等效,建立了等效電機(jī)的二維子域模型,通過求解泊松方程和拉普拉斯方程計(jì)算了電機(jī)的氣隙磁密分布,同時說明了該等效方法也適用于V型IPMSM,但是該模型沒有考慮齒尖和開槽效應(yīng)對電機(jī)磁場的影響。

本文建立二維極坐標(biāo)下V型內(nèi)置式永磁電機(jī)的空載氣隙磁場解析計(jì)算模型。提出V型內(nèi)置式永磁電機(jī)的五條等效原則,按此原則對電機(jī)等效使其各區(qū)域能夠建立具有明確邊界的偏微分方程;以矢量磁位為求解變量建立各個區(qū)域的泊松方程或拉普拉斯方程;根據(jù)各個區(qū)域的邊界條件和交界條件求解出磁密表達(dá)式中未知的系數(shù)。最后用有限元法驗(yàn)證所建立的V型內(nèi)置式永磁電機(jī)解析計(jì)算模型的可行性和有效性。

1 解析模型

本文基于精確子域法對V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁場進(jìn)行解析計(jì)算,如圖1所示是V型IPMSM簡化模型的二分之一橫截面示意圖。

圖1 V型內(nèi)置式永磁電機(jī)簡化模型Fig.1 Simplified model of V-shaped interior permanent magnet motor

圖1中:δ和γ分別為定子槽寬角和定子槽槽口寬角;Rsl、Rso分別為定子槽底面半徑和定子槽開口處半徑;Rr、Rs是轉(zhuǎn)子外表面半徑和定子內(nèi)表面半徑;w、h分別是永磁體的寬度和高度;α1是兩塊永磁體所占的圓心角;u、v分別是隔磁橋?qū)挾群秃穸?β是隔磁橋?qū)捊?θi為V型永磁體的安裝中心角;θj為定子槽口中心角。

1.1 等效解析電機(jī)模型

由于V型IPMSM的永磁體在轉(zhuǎn)子內(nèi)的結(jié)構(gòu)分布對電機(jī)進(jìn)行解析計(jì)算時永磁體區(qū)域不能夠直接明確地列寫出磁場偏微分方程,即以V型IPMSM原模型進(jìn)行解析計(jì)算不符合計(jì)算條件。為了實(shí)現(xiàn)對電機(jī)磁場的解析計(jì)算,將V型磁體電機(jī)模型等效為滿足五個關(guān)鍵準(zhǔn)則的等效磁體解析電機(jī)模型[21],如圖2所示,對該模型進(jìn)行解析計(jì)算。

圖2 等效解析電機(jī)模型橫截面示意圖Fig.2 Cross-section schematic diagram of equivalent analytical motor model

1)將兩塊永磁體兩側(cè)的隔磁橋等效為兩個扇形,扇形沿徑向有一個恒定的寬度角。

2)等效模型中,每個扇形的寬度角等于隔磁橋?qū)挾冉铅?一極下兩塊扇形之間的夾角等于兩塊永磁體所占的圓心角α1。

3)將兩塊永磁體等效為一個環(huán)形,環(huán)形區(qū)域沿周向具有一個恒定的厚度,其兩端的直線分別與兩個扇形的邊界處于一條直線上。

4)等效模型中,環(huán)形區(qū)域的厚度等于原始電機(jī)中一塊永磁體的高度h。

5)確定環(huán)形區(qū)域的半徑,使得等效解析電機(jī)模型的磁通量等于V型磁體電機(jī)模型的磁通量。

在V型磁體電機(jī)模型中,考慮隔磁橋邊緣的漏磁影響,一極下兩塊永磁體產(chǎn)生的磁通量為

Φ=BrS1=2xwBrlc。

(1)

其中

(2)

式中:Br為永磁體的剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度;lc為電樞長度;x為漏磁修正系數(shù)。根據(jù)等效前后磁通量不變的原則,可以分別求出等效解析磁體電機(jī)模型中環(huán)形區(qū)域的外徑和內(nèi)徑,分別為

(3)

Rsh=Rh-h。

(4)

為了便于解析求解,做出幾個以下的基本假設(shè):在二維的極坐標(biāo)下進(jìn)行求解,忽略電機(jī)的端部效應(yīng);定子、轉(zhuǎn)子鐵心具有無窮大的磁導(dǎo)率;將定子槽結(jié)構(gòu)簡化為如圖2所示的槽型結(jié)構(gòu);永磁體的退磁曲線是線性的;材料的電導(dǎo)率為零。

根據(jù)等效電機(jī)的不同結(jié)構(gòu),將等效解析電機(jī)模型劃分為5個子域進(jìn)行解析:定子槽區(qū)域定義為子域1,定子槽槽口區(qū)域?yàn)樽佑?,氣隙區(qū)域?yàn)樽佑?,扇形區(qū)域?yàn)樽佑?,環(huán)形區(qū)域?yàn)樽佑?。每個子域的磁場都可以用拉普拉斯方程或泊松方程進(jìn)行表述。等效解析電機(jī)模型中的扇形部分是切向磁化,環(huán)形部分是徑向磁化。如圖3所示是等效解析電機(jī)的磁化方向和子域劃分模型。

圖3 等效解析電機(jī)的磁化方式和子域劃分模型Fig.3 Equivalent analysis of magnetization pattern and subdomain division model of the rotor

1.2 定子槽子域通解

定子槽子域1中的矢量磁位可以用拉普拉斯方程表達(dá)為如下:

(5)

定子槽子域的邊界條件可表示為

(6)

在滿足邊界條件的情況下,由分離變量法可以求得定子槽子域的矢量磁位通解

cos(En(θ-θj+δ/2))。

(7)

其中:

G1=(Rso/Rsl)En;

(8)

En=nπ/δ。

(9)

1.3 定子槽槽口子域通解

定子槽槽口子域2中的矢量磁位同樣可以用拉普拉斯方程描述為如下:

(10)

其邊界條件可表示為

(11)

在滿足邊界條件的情況下,求得定子槽槽口子域的矢量磁位通解為

(12)

其中

Fu=uπ/γ。

(13)

1.4 氣隙子域通解

氣隙子域3中的矢量磁位同樣可以用拉普拉斯方程描述為如下:

(14)

在滿足邊界條件的情況下,求得氣隙子域的矢量磁位通解為

(15)

1.5 扇形子域通解

扇形子域4中存在磁場激勵,其矢量磁位可以用泊松方程描述為如下:

(16)

式中:μ0是真空磁導(dǎo)率;M4θ是扇形子域磁化強(qiáng)度的切向分量;M4r是扇形子域磁化強(qiáng)度的徑向分量。

第k個扇形部分磁化強(qiáng)度的徑向、切向分量分別為

(17)

(18)

其邊界條件可表示為

(19)

在滿足邊界條件的情況下,求得扇形子域的矢量磁位通解為

(20)

其中:

xn=nπ/β。

(21)

1.6 環(huán)形子域通解

環(huán)形子域5中同樣存在磁場激勵,其矢量磁位可以用泊松方程描述為如下:

(22)

式中:M5θ是環(huán)形子域磁化強(qiáng)度的切向分量;M5r是環(huán)形子域磁化強(qiáng)度的徑向分量。用傅里葉級數(shù)的形式表達(dá)第i個環(huán)形部分磁化強(qiáng)度的徑向、切向分量分別為:

(23)

(24)

(25)

(26)

其邊界條件可表示為:

(27)

求得環(huán)形子域的矢量磁位通解為

cos(yu(θ-θi+α/2))。

(28)

其中:

yu=uπ/α;

(29)

(30)

根據(jù)環(huán)形子域在r=Rsh處的鐵磁邊界條件可得

(31)

2 諧波系數(shù)求解

2.1 定子槽槽口與氣隙交界位置

在定子槽槽口子域2與氣隙子域3的交界面處,即在定子內(nèi)表面半徑處,根據(jù)磁場連續(xù)性定理可得磁場強(qiáng)度的切向分量連續(xù),根據(jù)磁矢位連續(xù)性定理可得矢量磁位連續(xù),則子域2和子域3的交界條件

(32)

(33)

由于子域2和子域3的分布區(qū)間不同,需要通過傅里葉變換,使兩者統(tǒng)一到相同的區(qū)間。將定子槽槽口子域2磁場強(qiáng)度的切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[0,2π]上,可得方程:

(34)

G3=(Rr/Rs)v。

(35)

由式(33)將氣隙子域3的矢量磁位統(tǒng)一到區(qū)間[θj-γ/2,θj+γ/2]上,可得方程:

(36)

(37)

G2=(Rs/Rso)Fu。

(38)

2.2 氣隙與扇形交界位置

在氣隙子域3與扇形子域4的交界面處,即在轉(zhuǎn)子外表面半徑處,磁場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)和矢量磁位同樣連續(xù),則子域3和子域4的交界條件為

(39)

(40)

通過傅里葉變換將扇形子域4的磁場強(qiáng)度切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[0,2π]上,可得方程:

(41)

將氣隙子域3的矢量磁位沿扇形子域4進(jìn)行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到區(qū)間[θk-β/2,θk+β/2]上,可得方程:

(42)

(43)

G4=(Rh/Rr)xn。

(44)

2.3 定子槽與定子槽槽口交界位置

在定子槽子域1與定子槽槽口子域2的交界面處,即在半徑r=Rso處,根據(jù)磁場連續(xù)性定理可得磁場強(qiáng)度的切向分量連續(xù),根據(jù)磁矢位連續(xù)性定理可得矢量磁位連續(xù),則子域1和子域2的交界條件為:

(45)

(46)

由于子域1和子域2的分布區(qū)間同樣不同,需要通過傅里葉變換,使其統(tǒng)一到相同的區(qū)間。將定子槽槽口子域2的磁場強(qiáng)度切向分量統(tǒng)一到定子槽子域1的分布區(qū)間上,由式(45)可得方程:

(47)

將定子槽子域1的矢量磁位沿子域2進(jìn)行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到定子槽槽口的分布區(qū)間上,由式(46)可得方程:

(48)

(49)

2.4 扇形與環(huán)形交界位置

在扇形子域4與環(huán)形子域5的交界面處,即在半徑r=Rh處,磁場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)和矢量磁位同樣連續(xù),則子域4和子域5的交界條件為

(50)

(51)

通過傅里葉變換將扇形子域4磁場強(qiáng)度的切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[θi-α/2,θi+α/2]上,可得方程:

(52)

G5=(Rsh/Rh)yu。

(53)

將環(huán)形子域5的矢量磁位沿扇形子域4進(jìn)行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到扇形區(qū)域的分布區(qū)間上,由式(51)可得方程:

(54)

(55)

將上述的關(guān)系式(34)～式(38)、式(41)～式(44)、式(47)～式(49)和式(52)～式(55)組成一個線性方程組,求解時將線性方程組轉(zhuǎn)化成系數(shù)矩陣和常數(shù)列向量,通過計(jì)算矩陣方程可以得到各個子域矢量磁位表達(dá)式中未知的諧波系數(shù)。各矢量磁位的諧波系數(shù)分別為:

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

在解析計(jì)算模型中,氣隙子域磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量和切向分量表達(dá)式分別為:

(68)

(69)

3 磁場解析計(jì)算與有限元驗(yàn)證

3.1 樣機(jī)參數(shù)

為了驗(yàn)證本文所提出的等效磁體解析計(jì)算模型是否能對V型內(nèi)置式永磁電機(jī)的空載氣隙磁場進(jìn)行解析計(jì)算,本文針對一臺6極36槽V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)樣機(jī)分別進(jìn)行了磁場解析計(jì)算和有限元仿真計(jì)算,電機(jī)的主要尺寸參數(shù)如表1所示。

用基于有限元法的MAXWELL軟件對解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,同時對在設(shè)定半徑下解析計(jì)算結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比,得出二者的百分比誤差,并且預(yù)估其計(jì)算結(jié)果的可用性。首先建立該樣機(jī)模型的模擬二維瞬態(tài)場,設(shè)定對樣機(jī)的空載磁場進(jìn)行仿真求解的相應(yīng)的參數(shù),后通過場計(jì)算器求解出該樣機(jī)氣隙中心位置處的空載氣隙磁場,即選取半徑r=(Rs+Rr)/2處氣隙磁密的徑向分量和切向分量作為計(jì)算參量。

3.2 有限元驗(yàn)證

由所建立的等效電機(jī)模型計(jì)算出的磁場分布如圖4所示,據(jù)此可提取徑向和切向氣隙磁密。

圖4 等效分析模型中的磁通密度分布Fig.4 Magnetic flux density in the equivalent analytical model

圖5和圖6分別是電機(jī)空載磁場下二分之一圓周范圍內(nèi),氣隙中心位置處的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度、切向磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果對比圖。

圖5 空載徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度對比圖Fig.5 No-load radial magnetic induction intensity comparison chart

圖6 空載切向磁感應(yīng)強(qiáng)度對比圖Fig.6 No-load tangential magnetic induction intensity comparison chart

由圖5和圖6的波形可以看出,本文提出的解析方法所計(jì)算的空載氣隙徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度和切向磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元計(jì)算結(jié)果具有較高的吻合度,證明了該等效磁體的解析計(jì)算方法可以用來模擬計(jì)算V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁場。

圖7是電機(jī)空載氣隙徑向磁密的諧波頻譜對比圖,從圖中可以看出,解析計(jì)算的諧波幅值與有限元計(jì)算結(jié)果較為貼近,其中氣隙徑向磁密基波幅值的計(jì)算結(jié)果誤差為0.97%。

4 結(jié) 論

本文提出了V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的五條等效關(guān)鍵準(zhǔn)則,用等效磁體解析電機(jī)模型代替初始的V型磁體電機(jī)模型進(jìn)行空載氣隙磁場的解析計(jì)算。在二維極坐標(biāo)下,對等效磁體解析模型的定子槽、定子槽槽口、氣隙、扇形和環(huán)形區(qū)域建立磁矢位方程,根據(jù)各子域的邊界條件和各子域之間的交界條件求出矢量磁位的表達(dá)式和諧波系數(shù)。

通過與有限元仿真結(jié)果對照表明,本文提出的等效磁體解析模型計(jì)算結(jié)果與有限元法空載氣隙磁場計(jì)算結(jié)果基本吻合,氣隙徑向磁密基波幅值的計(jì)算結(jié)果誤差為0.97%,證明本文所提出的等效磁體解析建模方法可以合理有效地對V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁場進(jìn)行計(jì)算,為V型內(nèi)置式永磁同步電機(jī)的初期設(shè)計(jì)和優(yōu)化工作提供了一種更加簡便快捷的方法。