朱王喬 劉鐿

摘 要： 立足于引導(dǎo)學(xué)生感悟并嘗試自主構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的一般觀念和研究思路.以“根式”第一課時的教學(xué)為例，一方面融入了對研究根式這一內(nèi)容本身知識維度和方法脈絡(luò)逐步生成的過程；另一方面，也展現(xiàn)了基于從特殊到一般視角研究數(shù)學(xué)對象時研究路徑逐步形成的過程.之后分別闡述了對怎樣在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建知識維度、方法脈絡(luò)、研究路徑以及怎樣圍繞以上三方面以學(xué)定教的思考.

關(guān)鍵詞： 根式;一般觀念;研究思路;教學(xué)案例

1 引言

新高考改革以后，高考選拔人才的方式已經(jīng)逐漸從“考知識”轉(zhuǎn)變?yōu)椤翱寄芰Α焙汀翱妓仞B(yǎng)”［1］，同時《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中也強(qiáng)調(diào)了“四基”“四能”以及“三會”［2］.這些都對數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂教學(xué)提出了新要求：課堂教學(xué)不能是純粹的概念、定理、公式和法則的堆砌，教師應(yīng)當(dāng)立足一般觀念，關(guān)注研究思路，不僅要讓學(xué)生做到“知其然”和“知其所以然”，還要讓學(xué)生領(lǐng)悟到“何以知其所以然”.

一般觀念指關(guān)于一般性事物的觀念.章建躍博士認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中也存在“一般觀念”，數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般觀念是對數(shù)學(xué)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括，是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)遵循數(shù)學(xué)教材的體系結(jié)構(gòu)［3］.在“一般觀念”的要求下，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系”的觀點(diǎn)來看待數(shù)學(xué)知識，從而幫助學(xué)生理解知識點(diǎn)之間的關(guān)系，并逐步搭建知識框架，構(gòu)建知識體系.在中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂中，對同一類數(shù)學(xué)對象的研究都是按照一定的“套路”來進(jìn)行的，以研究思路貫穿教學(xué)實(shí)際上是讓學(xué)生經(jīng)歷一遍完整的數(shù)學(xué)研究過程，從而對同類數(shù)學(xué)對象能產(chǎn)生共性的認(rèn)識.

因此，如何立足于“一般觀念”，關(guān)注研究思路進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，教師可以圍繞知識維度、方法脈絡(luò)以及研究路徑三方面合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，現(xiàn)以“根式”一節(jié)課為例.

2 設(shè)計(jì)思路解析

本課時選自蘇教版必修一4.1.1根式，主要內(nèi)容包括n次方根的定義和性質(zhì)以及對指數(shù)冪與根式之間轉(zhuǎn)化關(guān)系的初步體驗(yàn).

從知識維度來看，本節(jié)課首先將方根的次數(shù)由二次、三次推廣至任意非負(fù)整數(shù)次，這實(shí)際上是對六則運(yùn)算進(jìn)行了一次初步完善.在此之后，利用特殊實(shí)例的變形，通過歸納，最終得到指數(shù)冪與根式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化關(guān)系其實(shí)也是對指數(shù)冪運(yùn)算法則的一種完善.

從方法脈絡(luò)來看，本節(jié)課以“從特殊到一般”的思想方法貫穿始終.無論是舉出實(shí)例研究n次根式的定義和性質(zhì)，還是在探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的互化時，首先考慮m是n的倍數(shù)的情況，都是從特殊情形中歸納出一般的結(jié)論.除此以外，在進(jìn)行性質(zhì)研究時，教材首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧了二次根式和三次根式的相關(guān)內(nèi)容，接著通過一道課本例題舉出具體實(shí)例，最后歸納出n次根式的性質(zhì)，此過程也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)研究中的一般方法脈絡(luò)：從類比到舉例到猜想最后再驗(yàn)證.

從研究路徑來看，教材中的編排設(shè)計(jì)是首先得到了n次方根的定義，接著規(guī)定了n次方根的表示形式，最后研究n次方根的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)由定義到表示到性質(zhì)的一般結(jié)構(gòu).同時，本節(jié)課通過引入n次根式，研究得到了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的互化關(guān)系，實(shí)際上是完成了一個代數(shù)對象推廣的過程，即以運(yùn)算為統(tǒng)領(lǐng)，通過引入新的符號定義數(shù)，再通過運(yùn)算性質(zhì)把新數(shù)和原有的數(shù)聯(lián)系起來，使得原有代數(shù)體系的內(nèi)涵得到拓展.

從學(xué)生的學(xué)情來看，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式、整數(shù)指數(shù)冪等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，掌握了開平方、開立方等數(shù)學(xué)基本技能，積累了將指數(shù)冪從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，為本課時的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但是在此之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生們的關(guān)注點(diǎn)往往在于如何運(yùn)用法則進(jìn)行具體運(yùn)算，而忽略了對原理的理解，導(dǎo)致學(xué)生很難搭建出n次方根和指數(shù)冪推廣的整體架構(gòu)，使得學(xué)生在課堂上對每個環(huán)節(jié)的邏輯順序產(chǎn)生困惑，從而單純地跟著老師走，容易被動學(xué)習(xí).

根據(jù)上述分析，本節(jié)課制定的教學(xué)目標(biāo)如下：理解n次方根的定義，了解將根式推廣至任意非負(fù)整數(shù)次的必要性；探索并掌握n次方根的性質(zhì)，感受從特殊到一般的研究路徑，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的互化，了解如此互化的合理性，感悟數(shù)學(xué)定義的完備性.本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為n次方根的定義、性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，設(shè)置的教學(xué)難點(diǎn)為n次方根性質(zhì)的探索以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的互化.

因此，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路為：讓學(xué)生在學(xué)會n次方根定義的同時，關(guān)注到n次方根定義的由來，感受新知識的合理性以及數(shù)學(xué)的完備性；在研究n次方根性質(zhì)的同時，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究的過程；在探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式相互轉(zhuǎn)化的同時，感受代數(shù)對象推廣的研究路徑.

3 教學(xué)過程解析

引入： ?回顧曾學(xué)過的運(yùn)算及其聯(lián)系.

問題1： ?在此之前，我們已經(jīng)學(xué)過哪些運(yùn)算了？

追問1 1： ?這些運(yùn)算之間有怎樣的聯(lián)系？

追問1 2： ?你能舉例說明乘方和開方互為逆運(yùn)算嗎？

追問1 3： ?將指數(shù)改為4、5或者是其他大于3的整數(shù)時，你還能得出類似的結(jié)論嗎，為什么？

設(shè)計(jì)分析： ?本節(jié)標(biāo)題為指數(shù)，第一課時的內(nèi)容為根式，本段教學(xué)需要起到承前啟后的作用，向前承接初中學(xué)過的平方根與立方根以及冪的運(yùn)算，向后為將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)范圍內(nèi)冪的運(yùn)算以及對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算作鋪墊.因此，在引入中設(shè)計(jì)了對初中運(yùn)算類型的回顧，通過乘方與開方之間的關(guān)系回顧平方根與立方根，從概念的來源上幫助學(xué)生理解了指數(shù)與根式之間的關(guān)系.在回答追問1 3時，學(xué)生不難得到關(guān)于x4＝a和x5＝a的類似結(jié)論，并借助平方根和立方根做出類比說理，進(jìn)而意識到為了進(jìn)一步研究指數(shù)，需要把已有的開平方和開立方運(yùn)算推廣到一般情況，體會到n次方根的存在性以及學(xué)習(xí)的必要性.如此設(shè)計(jì)引入，學(xué)生能夠非常深刻地感悟到：整個數(shù)學(xué)的運(yùn)算系統(tǒng)相對來說是比較完善的，六種運(yùn)算之間存在一個很好的“對應(yīng)”關(guān)系.這實(shí)際上是將“數(shù)學(xué)定義的完備性以及合理性”這一極其抽象的一般理念和學(xué)生較為熟悉的“運(yùn)算”聯(lián)系在了一起，便于學(xué)生感悟的同時也為后續(xù)將整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則推廣至分?jǐn)?shù)指數(shù)冪打好了一個樣本.

活動1： ?探究n次方根的定義.

問題2： ?你能仿照二次方根和三次方根的定義，說說n次方根的定義嗎？

追問2 1： ?你能舉例說明嗎？

追問2 2： ?給定一個實(shí)數(shù)a，它有幾個n次方根？如何研究這個問題？

設(shè)計(jì)分析： ?在本活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“引入”環(huán)節(jié)對平方根與立方根的定義和對 xn＝a的認(rèn)識歸納出一般意義上n次方根的定義，后立刻通過追問2 1讓學(xué)生舉出具體的例子來加深對此抽象概念的理解，并對定義中關(guān)于a做出限定的合理性有所認(rèn)識.之后，利用追問2 2引導(dǎo)學(xué)生回顧實(shí)數(shù)a的平方根和立方根的個數(shù)，進(jìn)一步提出：“a的n次方根會有幾個呢？”、“n次方根的個數(shù)與哪些因素相關(guān)呢？”，在對這兩個問題思考的過程中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到需要對n的奇偶和a的正負(fù)進(jìn)行二維分類，也為活動2中學(xué)生分類檢驗(yàn)n次方根的性質(zhì)埋下伏筆.最后，讓學(xué)生根據(jù)四種分類分別舉出實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證并說理，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)方法并經(jīng)歷整個分析、類比、提出猜想、驗(yàn)證猜想、解釋結(jié)論的研究過程.

學(xué)生活動： ?學(xué)生通過二次方根和三次方根的定義類比得出n次方根的定義：如果xn=a（n＞1，n∈ N ），那么稱x為a的n次方根.學(xué)生認(rèn)識到對n次方根個數(shù)的討論可以類比平方根和立方根，進(jìn)而提出猜想并逐步得到結(jié)論.

活動2： ?探究n次方根的性質(zhì).

問題3： ?在此之前我們已經(jīng)研究了n次根式的表示，接下來該研究什么內(nèi)容？

追問3 1： ?可以從哪些角度研究n次方根的性質(zhì)？分別如何研究？

追問3 2： ?針對 n an ?，你是如何思考的？

追問3 3： ?你能解釋n次根式的兩條性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)分析： ?活動2與活動1的研究方法基本一致，在學(xué)習(xí)完概念的定義及表示后直接提問學(xué)生接下來該研究什么內(nèi)容，再開啟后文對性質(zhì)研究.接著，教師引導(dǎo)學(xué)生延續(xù)前一活動的研究思路，繼續(xù)類比二次根式的性質(zhì)，提出對n次方根性質(zhì)的研究計(jì)劃.追問3 1的設(shè)計(jì)不僅能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從概念到表示到性質(zhì)的研究路徑，還能讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷完整的從類比到舉例到猜想再到驗(yàn)證和說理的研究脈絡(luò)，體會數(shù)學(xué)研究的一般方法.同時，由于在活動1中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過了分類討論的過程，因此，在研究追問3 2時學(xué)生也不難想到需要對n和a進(jìn)行分類討論.通過追問3 3，要求學(xué)生學(xué)會用較為通俗的語言去描述這兩條性質(zhì)，用于從說理的角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化理解兩條性質(zhì).

學(xué)生活動： ?學(xué)生得出接下來需要研究n次方根的性質(zhì)，基于活動1的經(jīng)驗(yàn)和平方根以及立方根的性質(zhì)提出研究角度和相應(yīng)研究計(jì)劃.學(xué)生提出對兩條性質(zhì)的猜想，并完成對n的奇偶和a的正負(fù)的討論.最后，從定義和舉例兩個角度解釋所得性質(zhì).

活動3： ?探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式之間的互化.

問題4： ?關(guān)于 n am ，你是如何思考的？

追問4 1： ?你能自己設(shè)計(jì)研究方案對 n am 進(jìn)行研究嗎？

追問4 2： ?如此定義a m n 合理嗎？

設(shè)計(jì)分析： ?本活動承接對活動2的研究，也與后續(xù)教學(xué)相銜接.本活動從n次方根 n an 的形式入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察出這條性質(zhì)實(shí)際上是 n am 當(dāng)中的指數(shù)和根指數(shù)相同時的情況，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思考當(dāng)指數(shù)和根指數(shù)不相同時的情況.對于活動3，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧之前幾個活動的方法脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生想到可以先選取特殊值代入分析，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)可以分為m是n的倍數(shù)和m不是n的倍數(shù)兩種情況分別研究，并構(gòu)建相應(yīng)的研究計(jì)劃，感悟分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，為后續(xù)課程中將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪做好鋪墊.

最后設(shè)計(jì)的追問4 2對學(xué)生來講是一次認(rèn)知上的沖擊.因?yàn)樵诖饲暗膶W(xué)習(xí)中學(xué)生很少涉及到對定義“合理性”的思考，但考察合理性是探究新概念與舊知識之間聯(lián)系的一個重要環(huán)節(jié).教師可以先幫助學(xué)生確定思考的方向：首先關(guān)注“新概念與舊概念之間是否沖突”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系n次根式，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)m取1時，正好就是n次根式的定義式；接著關(guān)注“新概念作為一個代數(shù)對象和運(yùn)算之間是否沖突”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系初中所學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，從運(yùn)算的角度進(jìn)一步理解合理性.以此問題作為一節(jié)課的收尾， 一方面是回答了“為什么指數(shù)一章節(jié)的第一節(jié)課是根式”，完成了整個課時的閉環(huán)；另一方面也是將完整的代數(shù)對象推廣的研究路徑，以抽絲剝繭的形式呈現(xiàn)給了學(xué)生們.

4 啟示

4.1 指向一般觀念，固“本”溯“源”

要使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感受到數(shù)學(xué)的一般觀念，教師不僅要在教學(xué)中呈現(xiàn)知識是什么，更需要呈現(xiàn)知識“怎樣是”和“為什么是”，使學(xué)生在掌握知識的同時追溯知識背后存在的意義和規(guī)律.將每個單獨(dú)的知識點(diǎn)都置于那些具有統(tǒng)攝性的一般觀念下，使教學(xué)內(nèi)容編排為連續(xù)、緊密的教學(xué)進(jìn)程，幫助學(xué)生形成對知識及其研究方法的過程性認(rèn)識.

4.2 內(nèi)嵌方法脈絡(luò)，拆“散”匯“整”

立足“一般觀念”的課堂教學(xué)不能以堆砌的方式呈現(xiàn)知識點(diǎn)，否則教學(xué)內(nèi)容就會變成一些離散的、不連貫的碎片化知識.教師應(yīng)當(dāng)從教材出發(fā)，先將教材的前后知識進(jìn)行解構(gòu)，然后以“結(jié)構(gòu)”為經(jīng)、“方法”為脈內(nèi)嵌入教學(xué)當(dāng)中，重新搭建起整個教學(xué)體系，按照課程標(biāo)準(zhǔn)所設(shè)置的四條主線進(jìn)行組織，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的一致性與層次性.

4.3 外顯研究路徑，化“虛”為“實(shí)”

“一般觀念”是藏在數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法中的“大道理”，本身是極其抽象的，對其的理解必須要通過研究具體的對象來完成，同時在解決具體問題的過程中彰顯其力量.因此教師在進(jìn)行教學(xué)編排時不妨直接外顯研究路徑，在研究數(shù)學(xué)對象的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷一個從接觸、熟悉到領(lǐng)悟再到自覺運(yùn)用的過程，同時聯(lián)系前后知識不斷接觸、反復(fù)領(lǐng)悟，當(dāng)然在必要時也可采取直接講解的方式，將“一般觀念”直接呈現(xiàn)給學(xué)生.

4.4 立足思維育人，以“學(xué)”定“教”

立足數(shù)學(xué)育人要求教師時時刻刻以學(xué)生為主體、以學(xué)情為依據(jù).在教學(xué)中通過簡化設(shè)問、層層追問的方式逐步“逼”出學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和思考，在讓學(xué)生經(jīng)歷完整思考的同時引導(dǎo)學(xué)生建立先前學(xué)習(xí)與當(dāng)前學(xué)習(xí)之間的聯(lián)系，注重為教學(xué)決策留出彈性化調(diào)整空間，讓學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”中獲得最優(yōu)發(fā)展，做到同時兼顧數(shù)學(xué)思維的兩翼——合理推理與邏輯推理的平衡發(fā)展.

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