張建勛，徐志敏，白金文

（1. 西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院，復(fù)雜服役環(huán)境重大裝備結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與壽命全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；2.西安交通大學(xué) 力學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)國(guó)家示范中心，陜西 西安 710049）

0 引言

“工程力學(xué)”課程是電氣、電信、環(huán)境、化工、大數(shù)據(jù)等“非機(jī)械類”工科專業(yè)的必修課，是重要的工程基礎(chǔ)課程[1-7]。學(xué)習(xí)“工程力學(xué)”課程有助于提升學(xué)生分析及解決問(wèn)題的能力。牢固掌握工程力學(xué)課程有助于學(xué)生提升解決工程問(wèn)題的能力?！肮こ塘W(xué)”課程有些概念比較抽象，不易理解，且課程公式較多，需要有較好的數(shù)理基礎(chǔ)，才能理解消化這些公式推導(dǎo)。又由于“工程力學(xué)”課程的學(xué)時(shí)有限，授課教師很難有時(shí)間回顧推導(dǎo)公式過(guò)程中用到的線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理等課程知識(shí)，這使得部分學(xué)生不能很好地理解“工程力學(xué)”課程的公式、概念和推論，從而影響對(duì)知識(shí)的理解、運(yùn)用。

針對(duì)教學(xué)過(guò)程中面臨的問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生把概念和公式轉(zhuǎn)化為有限元算例，通過(guò)課后ABAQUS 軟件計(jì)算，消化理解課程中的概念和公式，輔助學(xué)生理解課程中不易理解的概念和公式。由于有限元建模很形象，學(xué)生通過(guò)有限元計(jì)算結(jié)果與理論公式結(jié)果比較，使學(xué)生直觀理解課程知識(shí)。又由于工程力學(xué)主要是剛體計(jì)算以及小變形計(jì)算，采用有限元軟件計(jì)算難度不大，學(xué)生在課后較容易掌握有限元計(jì)算軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。經(jīng)調(diào)研所知，已有一部分教師通過(guò)數(shù)值計(jì)算軟件解決力學(xué)教學(xué)中的特定問(wèn)題。比如：徐耀玲和譚文鋒[8]用LS-DYNA 軟件輔助“材料力學(xué)”沖擊問(wèn)題的教學(xué)；李麗君和沈玉鳳[9]用ANSYS 軟件對(duì)于“材料力學(xué)”壓桿穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行輔助教學(xué)；馮文杰和李海艷[10]把數(shù)值模擬軟件應(yīng)用在振動(dòng)力學(xué)教學(xué)中；周曉敏和孫政[11]把ANSYS 軟件引入材料力學(xué)課堂的教學(xué)實(shí)踐。呂償[12]以“工程力學(xué)與CAE”為例，進(jìn)行了“以學(xué)生為中心”的教學(xué)范式改革實(shí)踐。下面通過(guò)3 個(gè)典型例子展示學(xué)生采用ABAQUS 軟件把“工程力學(xué)”公式和概念轉(zhuǎn)化為有限元算例，并通過(guò)計(jì)算，進(jìn)行課后輔助學(xué)習(xí)。

1 有限元分析輔助“工程力學(xué)”的教學(xué)案例

1.1 桿的縱向變形公式

當(dāng)桿上的外力不超過(guò)某一限度時(shí)，桿件的伸長(zhǎng)與其所受的軸力和桿件原長(zhǎng)呈正比，而與橫截面呈反比，即

在教學(xué)中，部分學(xué)生對(duì)桿的縱向變形公式產(chǎn)生疑問(wèn)，筆者進(jìn)行了相應(yīng)的有限元建模計(jì)算。考慮一端固定、一端自由的桿件，在自由端沿桿件軸線方向受拉力FN。四方鋁合金桿長(zhǎng)L= 100 mm，邊長(zhǎng)a= 5 mm，拉伸載荷FN= 1000 N，如圖1 所示。鋁合金的彈性模量E= 69 GPa，泊松比v= 0.3。計(jì)算采用三維減縮積分八節(jié)點(diǎn)線性磚塊單元（C3D8R 類型）模擬桿，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量N= 450 時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果收斂。有限元計(jì)算求解伸長(zhǎng)量ΔL= 0.05792 mm，采用公式（1）求得伸長(zhǎng)量ΔL= 0.05797 mm，如表1 所示。通過(guò)這個(gè)有限元算例，學(xué)生能直觀理解桿的縱向變形公式的正確性。

表1 一端固定一端自由的桿件沿軸線拉伸的伸長(zhǎng)量理論和有限元結(jié)果

圖1 一端固定一端自由的桿件沿軸線拉伸的有限元計(jì)算模型圖

1.2 應(yīng)力集中問(wèn)題

帶有圓孔或切口的板條，受拉伸時(shí)在圓孔或切口附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力將迅速降低而趨于均勻。這種因外形突變局部區(qū)域應(yīng)力集中增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。在課堂上，學(xué)生覺(jué)得應(yīng)力集中現(xiàn)象比較抽象，不易理解。筆者指導(dǎo)學(xué)生在課后采用ABAQUS 軟件，計(jì)算一個(gè)帶孔的板條兩端受拉的算例，觀察孔洞周圍應(yīng)力云圖的變化情況。比如：考慮一個(gè)矩形板條，長(zhǎng)為100 mm，寬為10 mm，在板條中間位置有一個(gè)直徑為2 mm 的孔洞，在板條的兩端施加均勻分布線載荷q=10000 N/m。鋁合金的彈性模量E= 69 GPa，泊松比v= 0.3。由于計(jì)算模型結(jié)構(gòu)和施加載荷對(duì)稱，取一半模型進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算模型含孔一側(cè)施加對(duì)稱邊界條件，如圖2 所示。計(jì)算采用四節(jié)點(diǎn)雙線性平面應(yīng)變四邊形單元（CPE4R）模擬板條，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量N= 20210時(shí)，計(jì)算結(jié)果收斂。圖3 給出了矩形構(gòu)件受拉伸均布載荷作用的Mises 應(yīng)力云圖。通過(guò)觀察，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在黑色中線上，孔邊緣應(yīng)力急劇增大；在離孔較遠(yuǎn)位置，應(yīng)力變化較小，趨于平緩；在構(gòu)件側(cè)面位置，應(yīng)力最小。由圖3 的結(jié)果，學(xué)生能夠很直觀發(fā)現(xiàn)孔洞周圍的應(yīng)力集中現(xiàn)象。此外，筆者又提出讓學(xué)生觀察在孔洞周圍應(yīng)力集中現(xiàn)象的影響范圍，學(xué)生通過(guò)觀察有限元計(jì)算云圖也可以容易獲知。通過(guò)學(xué)生自己親自動(dòng)手計(jì)算的算例，學(xué)生理解了應(yīng)力集中現(xiàn)象和影響范圍。

圖2 含孔矩形板條受拉伸載荷作用的有限元計(jì)算模型圖

圖3 構(gòu)件受拉伸均布載荷作用的Mises 應(yīng)力云圖

1.3 用疊加法求梁的彎曲變形

當(dāng)構(gòu)件或結(jié)構(gòu)上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，如果各載荷所產(chǎn)生的效果（約束力、內(nèi)力、應(yīng)力、位移）互不影響，影響甚小可忽略不計(jì)，則它們所產(chǎn)生的總效果即等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的效果之和，這是疊加原理，是在求幾個(gè)載荷作用下梁的彎曲變形的重要方法。在教學(xué)中，部分學(xué)生對(duì)疊加法求梁的彎曲變形時(shí)產(chǎn)生疑問(wèn)，困惑于直接進(jìn)行疊加結(jié)果是否準(zhǔn)確。筆者指導(dǎo)學(xué)生用ABAQUS 軟件計(jì)算一個(gè)疊加原理求梁的彎曲變形的有限元算例，來(lái)直觀理解疊加原理求解梁的彎曲變形。比如：選取一個(gè)鋁合金梁，一端固定，一端自由，梁受兩個(gè)集中載荷作用，如圖4 所示。載荷F1=F2=10 N，梁長(zhǎng)L=100 mm，梁寬a和h=10 mm。鋁合金的彈性模量E= 69 GPa，泊松比v= 0.3。計(jì)算采用三維減縮積分八節(jié)點(diǎn)線性磚塊單元（C3D8R 類型）模擬梁，網(wǎng)格數(shù)量N= 80000，計(jì)算結(jié)果收斂。

圖4 一端固定一端自由的梁的有限元計(jì)算模型圖

由疊加原理知梁的最大撓度為

理論和有限元計(jì)算結(jié)果比較見(jiàn)表2。通過(guò)這個(gè)有限元算例，學(xué)生能直觀理解用疊加法求解梁彎曲變形的結(jié)果正確性。

表2 一端固定一端自由的梁的撓度理論和有限元結(jié)果

課后，學(xué)生隨時(shí)可以在微信群內(nèi)探討把概念和公式轉(zhuǎn)化為有限元算例的合理性、ABAQUS 軟件有限元計(jì)算的問(wèn)題、課程知識(shí)點(diǎn)以及與課程有關(guān)的問(wèn)題，教師與學(xué)生、學(xué)生之間都可充分討論。如果出現(xiàn)較多學(xué)生有困惑的時(shí)候，教師可以把該ABAQUS 計(jì)算模型發(fā)到微信群里面，給學(xué)生講解怎樣把相應(yīng)概念或公式轉(zhuǎn)化為該有限元算例，使得學(xué)生理解該概念或公式。

2 教學(xué)效果分析

與傳統(tǒng)課堂授課相比，ABAQUS 軟件在“工程力學(xué)”課后輔助教學(xué)能夠使得學(xué)生直觀理解課程的理論公式和概念。本教學(xué)方法能使得學(xué)生更多地依靠自己解決課程難懂的問(wèn)題，能夠提高學(xué)生的自學(xué)能力，提高學(xué)生把理論公式和概念轉(zhuǎn)化為實(shí)際算例的能力，還能提高學(xué)生的動(dòng)手能力。學(xué)生通過(guò)自身的努力解決了課程問(wèn)題并掌握課程知識(shí)，也提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。因此，ABAQUS 軟件在“工程力學(xué)”課后輔助教學(xué)，結(jié)合課堂教學(xué)，能更好地使學(xué)生掌握課程知識(shí)。在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，本教學(xué)方法受到了學(xué)生的普遍歡迎。與往屆授課學(xué)生相比，采用課堂教學(xué)結(jié)合ABAQUS 軟件課后輔助教學(xué)的學(xué)生，明顯提高了考試的平均成績(jī)，從而證明了本教學(xué)方法的有效性。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者在“工程力學(xué)”課程中指導(dǎo)學(xué)生用ABAQUS軟件進(jìn)行輔助教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生普遍反饋能更好地理解課程中的概念和公式，拓寬了學(xué)好這門課程的途徑，并提高了課程考試成績(jī)?？梢?jiàn)，采用ABAQUS 有限元軟件，把概念和公式轉(zhuǎn)化為有限元算例，通過(guò)計(jì)算，消化理解課程中的概念和公式，進(jìn)行輔助教學(xué)的方法有效、簡(jiǎn)單、切實(shí)可行。此外，本教學(xué)方法能夠提高學(xué)生的自學(xué)能力，以及學(xué)生的動(dòng)手能力。授課教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)課上和課下的問(wèn)題，提出解決問(wèn)題的方案并進(jìn)行實(shí)踐與探索，保證課程的教學(xué)質(zhì)量。