劉容

1 聚焦高考試題，明晰教學(xué)方向

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》明確指出：高考基本功能——服務(wù)選材；基礎(chǔ)教育對(duì)高考的現(xiàn)實(shí)要求——引導(dǎo)教學(xué).高考命題觀念從“基礎(chǔ)知識(shí)立意”“技能立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”過渡.2022年，教育部教育考試院命制了六套新高考數(shù)學(xué)試卷，包括全國(guó)甲卷文、理試卷，乙卷文、理試卷，以及新高考的Ⅰ、Ⅱ試卷（不分文理），六套考卷中有五套設(shè)制了開放式問題，按類型分為：結(jié)果開放、條件開放、條件和結(jié)果均開放（綜合開放式）.

聚焦點(diǎn)1：（2022全國(guó)甲卷文科第15題）記雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值___________.

考題溯源：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第124頁練習(xí)4“雙曲線的漸近線方程為y=±2x，虛軸長(zhǎng)為4，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程”，弱化條件可變式為“雙曲線的漸近線方程為y=±2x，求雙曲線的離心率”.此變式題仍是封閉題，再次弱化條件“漸近線”，抓住漸近線的特性，與雙曲線無公共點(diǎn)，即衍生出此高考題.

聚焦點(diǎn)2：（2022新高Ⅰ卷填空題第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線方程___________.

考題溯源：此題由人教A版選擇性必修第一冊(cè)第98頁練習(xí)1“已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：x2+y2-8x-6y+16=0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系”演變而來.教材中，關(guān)于圓與圓的位置關(guān)系的例習(xí)題，出現(xiàn)得較多的是求相交圓的公共弦問題，對(duì)于相切問題僅要求會(huì)判斷兩圓的位置關(guān)系即可，此考題是對(duì)相切知識(shí)點(diǎn)的補(bǔ)充考查.

聚焦點(diǎn)3：（2022全國(guó)乙卷文、理填空題第14題）過四點(diǎn)（0，0），（4，0），（-1，-1），（4，2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為___________.

考題溯源：此題源自人教A版選擇性必修第一冊(cè)第86頁例4“求過三點(diǎn)O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑”.

聚焦點(diǎn)4：（2022新高考Ⅱ卷第21題）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）經(jīng)過F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0，過點(diǎn)P且斜率為-3的直線與過點(diǎn)Q且斜率為3的直線交于點(diǎn)M，從下面三個(gè)條件①②③中選出兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立：①M(fèi)在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.

聚焦點(diǎn)3與聚集點(diǎn)4對(duì)應(yīng)的考題是現(xiàn)在比較流行的開放題類型，問題的前提條件、處理方式和結(jié)果之間具有某種不明確的關(guān)聯(lián)，從而使得問題的基本條件、解題方法與結(jié)論都呈現(xiàn)出非常大的開放性.因?yàn)閷W(xué)生思考問題的視角和知識(shí)能力有所不同，解題的方式必然存在差異，方法多樣，得到的結(jié)論自然也不相同.此類題目學(xué)生可以自由選擇個(gè)人比較喜歡的條件作答，賦予學(xué)生自主獨(dú)立探究問題的余地，可以開闊他們的思路，培養(yǎng)創(chuàng)新和遷移意識(shí).

2022年高考數(shù)學(xué)大看點(diǎn)：創(chuàng)新試題類型，進(jìn)一步提高試題的開放性，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用創(chuàng)新性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題.數(shù)學(xué)高考設(shè)置開放性試題并不是為了減少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的考核，而是“以考促學(xué)”，指引學(xué)生注重訓(xùn)練思維的靈活性，充分把握知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延，以及獲取并遷移信息的能力.“考向即方向”，2022年高考題為一線教師指出了一個(gè)教學(xué)新方向，即在教學(xué)中有效開展開放題教學(xué)，為學(xué)生提供寬廣的想象、探究和創(chuàng)新空間，有效訓(xùn)練學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，開發(fā)學(xué)生發(fā)散、創(chuàng)造性思考問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)“終身學(xué)習(xí)的能力”.通過考題溯源，聚焦點(diǎn)1～3的考題都可以在教材例習(xí)題中找到源頭，契合“源于教材，高于教材”的高考命題思路，同時(shí)也讓我們認(rèn)識(shí)到教材例習(xí)題的價(jià)值.

2 挖掘教材例習(xí)題，引導(dǎo)編設(shè)開放題

本文中主要思考如何引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘教材中的例題、習(xí)題，并將之改編為開放性試題.通過利用身邊的題庫——教材，引導(dǎo)他們“回歸教材、關(guān)注教材”，充分發(fā)揮教材的應(yīng)用功能.

2.1 條件開放，層出不窮

條件開放性數(shù)學(xué)題的設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，可以把課本中的例題、習(xí)題的條件弱化一個(gè)甚至取消一個(gè)，就能夠改編為一個(gè)有意義的條件開放性問題.

如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第158頁練習(xí)2：已知直線a，b與平面α，β，γ，能使α⊥β的充分條件是（? ）.

A.α⊥γ，β⊥γ

B.α∩β=a，b⊥a，bβ

C.a∥β，a∥α

D.a∥α，a⊥β

解決條件開放性問題，實(shí)質(zhì)是探尋結(jié)論成立的充分條件.因而，此題只需把選擇題改成填空題“已知直線a，b與平面α，β，γ，寫出一個(gè)能使α⊥β成立的條件___________”，即可得到一道思考方向非常廣闊的條件開放性試題.

再如，人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第54頁第22題可改編成：

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，△ABC的面積為3，___________.

從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在問題中，使得三角形存在，并求b的值：

①（a+b）（sin A-sin B）=c（sin C-sin B）;

②△ABC的外接圓半徑為233;

③asin B=3bcos A.

此題三個(gè)供選擇的條件還可以有多種變化，開放度非常大，但又不偏離教學(xué)內(nèi)容.因此，可以讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)，然后自己解決，或者同學(xué)之間交換解決彼此出具的問題，這樣不僅可以促進(jìn)生生交流，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的氛圍更加濃厚，還可以讓教材的習(xí)題變成取之不盡的題庫.

2.2 結(jié)論開放，百花齊放

教學(xué)時(shí)，只要在幾個(gè)條件充足、結(jié)果明顯而簡(jiǎn)單的問題中隱去結(jié)論，就可設(shè)置為結(jié)論多樣化的開放性問題.如，人教A版必修第一冊(cè)第214頁第15題“已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，若f（0.5）=1，求f（1），f（3.5）的值”.學(xué)生利用周期和奇函數(shù)的定義不難得出f（1）=f（-1+2）=f（-1）=-f（1），即f（1）=0;f（3.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-1.解決此題還可以構(gòu)造符合已知條件的函數(shù)來求值，滿足定義在R上周期為2且f（0.5）=1的奇函數(shù)可以是f（x）=sin πx，由此得出f（1）=0，f（3.5）=-1，雖然作為解答題過程不嚴(yán)謹(jǐn)，但這樣很容易引導(dǎo)學(xué)生將此題改編為“寫出一個(gè)定義在R上周期為2的奇函數(shù)___________”；再弱化條件“寫出一個(gè)周期為2的奇函數(shù)___________”.習(xí)題并不難，在教師指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)的過程中，極易調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)生興趣，解決自己提出的問題會(huì)更容易讓學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中.

再如，高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)第183頁的例7“求證：cos x1-sin x=1+sin xcos x”，

師生解決此題后，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察所證等式，不難看出所證等式就是sin2x+cos2x=1的一個(gè)變形，然后鼓勵(lì)學(xué)生提出開放性問題：你能利用三角函數(shù)基本關(guān)系式推導(dǎo)出更多的關(guān)系式嗎？

這些由教材例題、習(xí)題改編的開放題，容易被學(xué)生接納，每位學(xué)生都能根據(jù)個(gè)人的基礎(chǔ)收獲不同的成果，真正做到數(shù)學(xué)課堂，人人有所得，同時(shí)也讓學(xué)生逐步養(yǎng)成熱愛思考、熱衷創(chuàng)造的良好品質(zhì).

善于發(fā)現(xiàn)問題并大膽提出問題比解決問題更關(guān)鍵.再如，學(xué)習(xí)了線面垂直的判定定理后，布置學(xué)生完成人教A版必修第二冊(cè)第163頁綜合運(yùn)用第14題：如圖1，在棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，你能判定CD⊥AB，以及AC=BC嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）條件不變的情況下，是否還能得出其他結(jié)論？（2）能否弱化或刪除某條件，改成條件開放題？（3）調(diào)換條件和結(jié)論的位置，命題是否仍然成立？

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生編設(shè)了以下開放題：

（1）如圖1，在棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，你能得出哪些結(jié)論？（從空間元素的位置關(guān)系、等量關(guān)系，以及空間角等方面進(jìn)行思考.）

（2）如圖1，在棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，你能增加一個(gè)條件，使得CD⊥AB嗎？

（3）如圖1，在棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，從下面三個(gè)條件①②③中選出兩個(gè)作為條件，證明另一個(gè)成立：①AC=BC;②AB⊥VD;③D是AB的中點(diǎn).

在課堂上指導(dǎo)學(xué)生編設(shè)開放題，促使他們積極思考“條件能不能改變或弱化”“還能不能得出其他結(jié)論”“結(jié)論是否能推廣”“條件和結(jié)論之間是充分、必要還是充要關(guān)系”“還能不能探索出其他解法”等提升性問題.這樣的方式可有效讓學(xué)生變“被動(dòng)式”學(xué)習(xí)為“主動(dòng)式”學(xué)習(xí)，并幫助他們積極地創(chuàng)設(shè)新情景和問題，在新情景與問題中有效交流，進(jìn)而深化對(duì)知識(shí)的理解與掌握.

3 開放教學(xué)過程，提升核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科的“六大”核心素養(yǎng)——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到，“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的”.新高考數(shù)學(xué)試卷中開放題出現(xiàn)得越來越頻繁，我們也不難發(fā)現(xiàn)，新教材習(xí)題中設(shè)置的開放題所占比例也越來越大，因此要洞悉高考、教材的導(dǎo)向作用，順應(yīng)教育要求，加大開放題教學(xué)的程度.開放題教學(xué)可以設(shè)計(jì)在情境引入、新知識(shí)探究、知識(shí)應(yīng)用等各個(gè)環(huán)節(jié)，但并不是每個(gè)環(huán)節(jié)都需要設(shè)計(jì)開放題，有效設(shè)計(jì)即可.

如，學(xué)習(xí)人教A版必修第二冊(cè)第八章中“棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積”時(shí)，結(jié)合教科書中只要求學(xué)生知道公式，“會(huì)算”即可，推遲對(duì)“會(huì)證”的要求，以及高中課程方案中描述的“學(xué)”，即“具有強(qiáng)烈的好奇心、積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和濃厚的學(xué)習(xí)興趣”，教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)公式應(yīng)用型的開放題組：構(gòu)造三個(gè)多面體，使它們的體積均為24；構(gòu)造三個(gè)棱長(zhǎng)相同的不同多面體，使它們的體積均為24；構(gòu)造三個(gè)棱長(zhǎng)相同的不同多面體，使它們的表面積都是24.題目難度不大，但結(jié)果的開放程度較大，容易入手，極易激起學(xué)生的“好奇心”與解決問題的“學(xué)習(xí)興趣”.在避免機(jī)械記憶公式的情況下，既能讓學(xué)生有效、熟練掌握公式，提高學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的積極性，又能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和建模（幾何模型）素養(yǎng).

再如，人教A版必修第二冊(cè)中，探究直線與平面垂直的性質(zhì)時(shí)，以問題為驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)：

問題 已知直線與平面垂直，則該直線與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線是什么位置關(guān)系？

師生活動(dòng)：在一般觀念的引領(lǐng)下，先對(duì)已知直線與平面內(nèi)的直線具有的位置關(guān)系有個(gè)整體了解，然后再添加新的直線、平面進(jìn)行探究.

追問1：在研究直線與平面垂直的性質(zhì)時(shí)，除了研究已有的線線關(guān)系，還可進(jìn)行怎樣的研究？

師生共同探究，確定“加入新的直線或平面，尋找不變的性質(zhì)”.

追問2：如果在線面垂直的前提下加入新的直線或平面，如，已知a⊥α，bα，β是與α不重合的平面，aβ，你能得出哪些結(jié)論？

學(xué)生自主探究，相互交流，得出一些結(jié)論.然后每組選一名代表發(fā)言，學(xué)生共同對(duì)學(xué)生代表提出的結(jié)論進(jìn)行辨析并完善，錯(cuò)誤的舉出反例辯駁.學(xué)生提到了以下結(jié)論：

（1）若b∥a，則b⊥α；

（2）若b∥α，則b⊥a；

（3）若b⊥a，則b∥α;

（4）若b⊥α，則b∥a；

（5）若β∥α，則a⊥β.

此教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)置的追問1和追問2屬于開放性問題，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生經(jīng)歷了一系列線線、線面、面面平行以及線線、線面垂直的性質(zhì)研究，從而逐步掌握怎樣有邏輯地思考問題，分析問題，發(fā)現(xiàn)新問題，逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直覺思考和邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).