喬文正 袁維海 辜繼明

doi：10.11835/j.issn.1000.582X.2023.09.008

收稿日期：2022-04-30

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（41807223， 12102002）；安徽省高校自然科學(xué)研究重點項目（KJ2020A0260）；呂梁市科技計劃項目（2022RC24）。

Foundation：Supported by the National Natural Science Foundation of China （41807223， 12102002）， the Natonal Science Foundation Granted by Department of Education，Anhui Province （KJ2020A0260）， and Science and Technology Projects of Lyvliang City （2022RC24）.

作者簡介：喬文正（1986—），男，博士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)工程和巖土工程研究，（E-mail）qiaowzh@llu.edu.cn。

通信作者：袁維海，男，副研究員，碩士生導(dǎo)師，（E-mail）yuanwh@hhu.edu.cn。

摘要：為了實現(xiàn)從顯式拓撲優(yōu)化到拉壓桿模型的自然過渡，同時保持拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)與拉壓桿模型的拓撲一致性，以可移動變形組件拓撲優(yōu)化為例，建立了顯式拓撲優(yōu)化拉壓桿模型自動提取方法。該方法是計算機圖形學(xué)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的結(jié)合，采用Voronoi骨架提取和形狀優(yōu)化，由骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化3部分構(gòu)成。結(jié)果表明，該方法自動構(gòu)建了受力合理且?guī)缀我?guī)則的拉壓桿模型；Voronoi骨架提取從顯式拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)提取了光滑的中軸骨架；以類桁架指標為約束的形狀優(yōu)化實現(xiàn)了拉壓桿模型從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。

關(guān)鍵詞：顯式拓撲優(yōu)化；Voronoi圖；骨架；拉壓桿模型

中圖分類號：TU375 ?????????文獻標志碼：A ?????文章編號：1000-582X（2023）09-066-12

Automatic extraction method of strut-and-tie models for explicit topology optimization

QIAO Wenzheng^1，2， YUAN Weihai²， GU Jiming³

（1. Department of Architecture， Lyuliang University， Lyuliang，?Shanxi 033001， P. R. China; 2. College of Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing 211100， P. R. China; 3. School of Management Science and Engineering， Anhui University of Technology， Maanshan， Anhui 243002， P. R. China）

Abstract： To achieve the natural transition from explicit topology optimization to strut-and-tie models， while maintaining the topology consistency between the two， an automatic extraction method of strut-and-tie models using explicit topology optimization was developed. The proposed method is demonstrated using topology optimization based on moving morphable components as an example. It combines computer graphics and structural optimization techniques， employing skeleton extraction based on Voronoi diagram and shape optimization. The method consists of three main steps： skeleton extraction， frame extraction and shape optimization. The results show that the method can automatically generate strut-and-tie models with reasonable force distribution and regular geometry. The skeleton extraction based on Voronoi diagram extracts smooth and medial skeleton from the optimized structure obtained through explicit topology optimization. Shape optimization constrained by truss-like index realizes the qualitative change of strut-and-tie models from a frame structure to a truss structure.

Keywords： explicit topology optimization; Voronoi diagram; skeleton; strut-and-tie models

借助拓撲優(yōu)化構(gòu)建拉壓桿模型（strut-and-tie models， STM）已經(jīng)成為一種共識。根據(jù)優(yōu)化模型的表達方式，拓撲優(yōu)化可分為隱式拓撲優(yōu)化和顯式拓撲優(yōu)化。隱式拓撲優(yōu)化包括經(jīng)典的固體各向同性懲罰方法（SIMP）和漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（ESO）。顯式拓撲優(yōu)化是顯示邊界演化的一類高效拓撲優(yōu)化方法。自2014年可移動變形（moving morphable components， MMC）拓撲優(yōu)化方法^[1]提出以來，顯式拓撲優(yōu)化^[2?5]迎來了快速的發(fā)展。Bruggi^[6]成功地將SIMP方法應(yīng)用于二維和三維構(gòu)件拉壓桿模型的研究。Du等^[7]在SIMP方法中引入雙模量本構(gòu)關(guān)系，提出了考慮拉壓不同模量的拓撲優(yōu)化方法，并成功應(yīng)用于拉壓桿模型中。Xia等^[8]提出了一種不同拓撲優(yōu)化的拉壓桿模型自動化評估方法。該方法采用桁架提取算法實現(xiàn)了從拓撲優(yōu)化結(jié)果到桁架模型的自動化，并采用3個定量指標對STM進行評價。Xia等^[9]提出了由拓撲優(yōu)化、拓撲提取和形狀優(yōu)化構(gòu)成的二維STM拓撲優(yōu)化構(gòu)建方法，并采用非線性有限元評估STM的結(jié)構(gòu)性能。此后，Xia等^[10]又研究了三維STM的SIMP構(gòu)建方法。Liang等^[11-12]將性能優(yōu)化方法成功應(yīng)用于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)的拉壓桿模型的研究。Almeida^[13]將光滑ESO方法用于拉壓桿模型的研究，并與ESO方法在計算準確性和效率上進行了比較。劉霞等^[14]采用遺傳ESO算法構(gòu)建鋼筋混凝土平面構(gòu)件的拉壓桿模型，并在此基礎(chǔ)上進行配筋優(yōu)化。Victoria等^[15]將考慮拉壓不同模量的等值線拓撲優(yōu)化方法用于拉壓桿模型研究。Zhang等^[16]采用分離單元模型的遺傳ESO方法對鋼筋混凝土構(gòu)件進行受力鋼筋的布局優(yōu)化，證實了該方法可以有效減少鋼筋用量。Zhong等^[17]將微桁架單元的ESO方法應(yīng)用于對帶有洞口的缺口梁拉壓桿模型研究，提出了由初步評估、詳細評估和最終評估構(gòu)成的一套評估體系。Zhong等^[18]將微桁架單元的ESO擴展到三維情況，通過后張拉錨固區(qū)、T形梁和箱形梁3個實例證明了該方法在構(gòu)建三維STM的有效性和正確性。

基于拓撲優(yōu)化的STM研究多集中在隱式拓撲優(yōu)化。筆者^[19?20]研究了基于MMC拓撲優(yōu)化的STM的有效性和高效性，探討了STM的自動提取。作為類桁架的一般化，拉壓桿模型的桿件應(yīng)為二力桿件。然而，自動提取的STM往往并非桁架結(jié)構(gòu)，受力形式與框架結(jié)構(gòu)類似，稱之為“框架結(jié)構(gòu)”。此外，該框架結(jié)構(gòu)在桿件平行性和對稱性方面也較為欠缺。

從拓撲優(yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型，要么人為因素多，隨意性大，要么需要繁瑣的手動操作。為了實現(xiàn)從拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)到STM的自動化，借鑒Xia等^[8?10]的思路，建立由骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化構(gòu)成的顯式拓撲優(yōu)化的拉壓桿模型自動提取方法。骨架提取采用計算機圖形學(xué)中的Voronoi骨架提取法。在形狀優(yōu)化中引入類桁架指數(shù)，以期實現(xiàn)STM從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變，構(gòu)建受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。

1拉壓桿模型自動提取方法

顯式拓撲優(yōu)化的共同之處在于結(jié)構(gòu)的邊界由拓撲描述函數(shù)顯式地表達。以MMC拓撲優(yōu)化方法為例，進行顯式拓撲優(yōu)化的STM自動提取。該方法以MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，經(jīng)過骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化，最終形成受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。STM自動提取方法流程如圖1所示。以下從基本概念、骨架提取、框架提取和形狀優(yōu)化4部分對STM自動提取方法進行闡述。

1.1基本概念

1.1.1 骨架和中軸

骨架（skeleton）定義為圖形的極大開球的球心的集合。它在角色動畫和網(wǎng)格變形領(lǐng)域廣泛使用。中軸（medial axis）定義為圖形極大內(nèi)切球球心的集合，在平面圖形中，中軸往往為平面曲線，也稱為中軸線。對于平面圖形，骨架和中軸并不完全相同，區(qū)別甚微。為了方便，統(tǒng)一采用骨架來進行敘述，將骨架和中軸完全等同。

1.1.2 Voronoi圖和Delaunay三角剖分

Voronoi圖是根據(jù)1組共面點對平面的1種剖分。在每一點周圍形成1個多邊形，多邊形內(nèi)任一點到該點的距離比到組中其他點的距離更近。組中所有點的Voronoi多邊形的集合稱為Voronoi圖。由于Voronoi在平面部分上的等分性特征，可以用來近似平面圖形的骨架。Delaunay三角剖分是將平面劃分為一系列相連且不重疊的三角形，此三角形是滿足空圓性質(zhì)的一種三角劃分。

1.1.3 Crust算法

Crust算法^[21?22]是一種由平面點集構(gòu)建最可能的多段線算法。對于平面問題，crust算法即為把無序點連成線的過程。如果取樣點足夠密，那么多段線將越光滑。Crust算法與Voronoi圖和Delaunay三角剖分有密切關(guān)系。圖2為平面圖形邊界離散點的Voronoi圖。根據(jù)Voronoi邊在平面圖形的位置，將Voronoi邊分為3類：完全在區(qū)域內(nèi)、部分在區(qū)域內(nèi)和完全在區(qū)域外。只保留完全在平面圖形區(qū)域內(nèi)的Voronoi邊，形成了該平面圖形的骨架。若對邊界離散點進行Delaunay三角剖分，Delaunay三角形的自由邊構(gòu)成了平面圖形的近似多段線邊界，如圖3所示。

1.2骨架提取

為了從二維優(yōu)化結(jié)構(gòu)提取一維STM，需要進行骨架提取。根據(jù)是否采用模型的內(nèi)部信息，骨架提取大體上可分為實體方法和幾何方法兩大類。實體方法又分為細化方法和距離場方法。常見的幾何方法包括Voronoi圖法^[23?24]、Reeb圖法和拉普拉斯方法。對于具有顯式邊界的MMC方法，幾何方法更加適合。拉普拉斯方法多用于由點云表達的空間問題。故對MMC拓撲優(yōu)化的STM提取采用Voronoi骨架提取法。

MMC方法采用結(jié)構(gòu)拓撲描述函數(shù)的零水平集表示結(jié)構(gòu)的邊界。這些零水平集的元素形成了優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界的離散點。在優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界與設(shè)計域邊界相交處添加部分結(jié)點，即可形成完整的優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界離散點。繪制該邊界離散點的Voronoi圖，并通過crust算法形成優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界。采用點的區(qū)域內(nèi)外識別算法，只保留完全在優(yōu)化結(jié)構(gòu)區(qū)域內(nèi)的Voronoi邊，形成帶有分支的骨架。最后，通過分支修剪方法^[24?25]，形成多段線骨架?？傊?，骨架提取實現(xiàn)了從二維優(yōu)化結(jié)構(gòu)到一維多段線骨架的過渡。

1.3框架提取

多段線骨架由多條平面曲線組成，而STM由多條平面直線組成。從平面曲線到平面直線的過程稱之為“框架”提取?？蚣苤柑崛〗Y(jié)果的結(jié)構(gòu)類型往往為框架結(jié)構(gòu)?？蚣芴崛】煞譃楹蜻x結(jié)點識別、最終結(jié)點識別和框架結(jié)構(gòu)構(gòu)建3個步驟。在多段線骨架中，按端點所處的位置，候選結(jié)點可分為端結(jié)點、中間結(jié)點和分支結(jié)點。遍歷骨架結(jié)點，形成骨架結(jié)點的連接關(guān)系。只有1個與之相連的結(jié)點為端結(jié)點，2個與之相連的結(jié)點為中間結(jié)點，3個及以上與之相連的結(jié)點為分支結(jié)點。將端結(jié)點和分支結(jié)點當作候選結(jié)點。

若候選結(jié)點相距較近，對其進行適當簡化。一般來說，如果2個結(jié)點的距離小于1個容許值（可取構(gòu)件較大邊長的5%），這2個結(jié)點可簡化為1個結(jié)點，即它們的中點。對于多個相距較近候選結(jié)點，從2個最近的結(jié)點開始，重復(fù)上述的2點簡化規(guī)則，直到所有點之間的距離不小于這個容許值。為了避免形成較短桿件，對特殊結(jié)點，如荷載作用點和支座結(jié)點，需進行特殊處理。若候選結(jié)點距特殊結(jié)點較近時，直接向特殊結(jié)點簡化即可，相當于刪除距特殊結(jié)點較近的候選結(jié)點。

構(gòu)建框架結(jié)構(gòu)，需要確定最終結(jié)點的連接關(guān)系。首先，由于優(yōu)化結(jié)構(gòu)和骨架具有拓撲一致性，可采用優(yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口信息當作骨架洞口信息。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口采用優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界來識別。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界通常為多條閉合多段線，每條閉合多段線形成一個多邊形，優(yōu)化結(jié)構(gòu)為最大多邊形與其余多邊形的布爾差，最大多邊形的邊界對應(yīng)于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的外邊界，其余多邊形的邊界對應(yīng)于優(yōu)化結(jié)構(gòu)的洞口邊界。遍歷洞口和最終結(jié)點，分別儲存洞口周邊的結(jié)點信息和結(jié)點附近的洞口信息。其次，將結(jié)點信息和洞口信息相結(jié)合，以洞口中心為坐標原點，按逆時針將與該洞口相關(guān)的結(jié)點依次連接。最后，將荷載作用點和支座結(jié)點與最近的結(jié)點相連接，可得與優(yōu)化結(jié)構(gòu)相對應(yīng)的框架結(jié)構(gòu)。

1.4形狀優(yōu)化

自動提取的框架結(jié)構(gòu)的受力合理性和幾何規(guī)則性均有所欠缺，可由形狀優(yōu)化來加以改善。為了形成軸力為主的STM，采用類桁架指標作為衡量框架結(jié)構(gòu)與桁架結(jié)構(gòu)的相似度。以類桁架指標為約束的形狀優(yōu)化，最早由Xia等^[8?10]提出并成功應(yīng)用于STM的拓撲優(yōu)化構(gòu)建。以框架結(jié)構(gòu)的自由結(jié)點為設(shè)計變量，以類桁架指標為約束條件，框架結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能達到最小時，框架結(jié)構(gòu)近似為桁架模型。在形狀優(yōu)化中，可施加平行和對稱約束，使STM更加簡單實用。

1.4.1 類桁架指標

采用框架單元對框架結(jié)構(gòu)進行有限元分析，進而獲得各框架單元的內(nèi)力。為了減小框架單元所受的彎矩和剪力，采用長細比較大的框架單元?？蚣軉卧獧M截面為矩形，其寬度與構(gòu)件寬度相同，高度取寬度的0.01倍。由于彎矩和剪力的存在，桿件不再是軸向受力桿件。因此，類桁架指標可定義為

1.4.2 優(yōu)化列式

在類桁架指標的約束下，使框架結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能達到最小的形狀優(yōu)化問題，可表示為

式中：x為形狀優(yōu)化的設(shè)計變量，即框架結(jié)構(gòu)可變結(jié)點的坐標列向量；C（x）和I（x）分別為形狀優(yōu)化的目標函數(shù)和約束函數(shù)；K（x）、F和u（x）分別為框架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、荷載列陣和位移列陣；x_max和x_min分別為設(shè)計變量的上下限；I_t（x）和I_t，min分別為類桁架指標和類桁架指標的最小值，I_t，min可取接近于1的值，如0.995。

2數(shù)值實現(xiàn)

框架結(jié)構(gòu)有限元分析中，各單元結(jié)點間既可以傳遞軸力，也可以傳遞彎矩和剪力。框架單元自由度如圖4所示?？蚣軉卧?個結(jié)點i和j構(gòu)成，每個結(jié)點各3個自由度，單元的局部和整體坐標自由度分別為u_e=[u_i1，u_i2，u_i3，u_j1，u_j2，u_j3]^T和U_e=[U_i1，U_i2，U_i3，U_j1，U_j2，U_j3]^T。u_e可由U_e和轉(zhuǎn)換矩陣T得出：

u_e=TU_e，（3）

其中，

框架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣為

K_e=T^TK_elT， （5）

其中，

形狀優(yōu)化采用MMA算法作為最優(yōu)化算法。目標和約束函數(shù)的梯度采用中心差分法求解，步長取單元尺寸的0.1倍，直到設(shè)計變量的最大波動小于0.001 m。對于平行和對稱約束，可以通過減少相應(yīng)的設(shè)計變量來實現(xiàn)。

3數(shù)值算例

對混凝土結(jié)構(gòu)中單側(cè)牛腿和開洞深梁，采用Voronoi提取法自動構(gòu)建框架結(jié)構(gòu)，并對框架結(jié)構(gòu)進行形狀優(yōu)化，獲得類桁架結(jié)構(gòu)的STM。拓撲優(yōu)化采用MMC拓撲優(yōu)化代碼^[26]。為了便于理解，在STM提取中，采用統(tǒng)一的表示方法：候選結(jié)點采用藍色方形點表示，最終結(jié)點采用綠色圓形點表示，形狀優(yōu)化后的結(jié)點用藍色圓形點表示，拉或壓桿采用紅色實線表示。

3.1單側(cè)牛腿

單側(cè)牛腿的計算簡圖和MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖5所示。MMC拓撲優(yōu)化的參數(shù)和過程見文獻[19]。

MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界由677個已知坐標的二維點進行離散，采用crust算法計算該優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界。該邊界由6條閉合多段線構(gòu)成，6條閉合多段線又構(gòu)成6個多邊形。MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)由最大的多邊形與其余5個多邊形的布爾差運算生成，MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的5個洞口則對應(yīng)5個較小的多邊形（見圖6（b）中5種不同顏色的區(qū)域）。

復(fù)雜的拓撲需要較多的邊界離散點，較多的邊界離散點生成了較復(fù)雜的Voronoi圖。經(jīng)過內(nèi)外識別，可以生成帶有少量細小分支的骨架。經(jīng)修剪后，可以獲得由多段線構(gòu)成的理想骨架。該骨架較好地滿足了拓撲一致性、細性、光滑性和中軸性。

在候選結(jié)點識別中，可識別出3個端結(jié)點和11個中間結(jié)點。若2個候選結(jié)點的距離小于135 mm，進行結(jié)點簡化。若候選結(jié)點距支座和荷載結(jié)點較近，為了避免較小桿件，只保留支座和荷載結(jié)點。

由拓撲一致性可知，骨架和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的拓撲等價。因此，骨架和優(yōu)化結(jié)構(gòu)具有相同的洞口信息。單側(cè)牛腿結(jié)點和洞口信息如表1所示。以洞口中心為原點，從正北方向開始逆時針依次連接各結(jié)點，形成最終的STM，如圖7所示。

在形狀優(yōu)化中，以類桁架指標為約束條件，框架結(jié)構(gòu)中共11個結(jié)點，其中8個結(jié)點為自由結(jié)點。若只考慮變量的上下限約束，該形狀優(yōu)化共16個設(shè)計變量，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的類桁架指標由0.96增加到1.00。優(yōu)化后，最為明顯的變化是與荷載作用點相連的桿件由傾斜變?yōu)樨Q直，這就保證了該桿件為軸向受壓桿件，實現(xiàn)了由框架結(jié)構(gòu)向桁架結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變。若考慮部分桿件的平行約束，設(shè)計變量數(shù)由16減少為14；若再增加沿水平方向的對稱性約束，設(shè)計變量數(shù)由16減少為10。單側(cè)牛腿形狀優(yōu)化如圖8所示。單側(cè)牛腿形狀優(yōu)化前后結(jié)點平面坐標如表2所示。

3.2開洞深梁

開洞深梁是一類重要的混凝土構(gòu)件，洞口使得深梁應(yīng)力分布趨于復(fù)雜。開洞深梁的計算簡圖和MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)如圖9所示。MMC拓撲優(yōu)化中，混凝土彈性模量為2 0820 MPa，泊松比為0.15，構(gòu)件的厚度為400 mm，容許體積比為0.35。采用四結(jié)點的等參平面應(yīng)力單元對設(shè)計域進行有限元離散，有限元單元的邊長為50 mm，有限單元總數(shù)為13 200。開洞深梁初始拓撲由36個組件構(gòu)成。經(jīng)過309次迭代，達到最優(yōu)拓撲，最小柔度目標值為17.11 kJ。

開洞深梁MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界由1 280個點進行離散。通過crust算法形成優(yōu)化結(jié)構(gòu)的近似邊界（見圖10（b））。通過近似邊界分析，可識別出該優(yōu)化結(jié)構(gòu)有3個洞口。開洞深梁邊界離散點的Voronoi圖，如圖11所示。開洞深梁骨架和框架提取分別如圖12和圖13所示。

在開洞深梁的STM中，左側(cè)的傾斜桿件部分跨越了洞口，如圖14（a）所示，這一點可以在形狀優(yōu)化中通過約束加以解決。形狀優(yōu)化后STM，如圖14（b）所示。開洞深梁形狀優(yōu)化前后結(jié)點平面坐標，如表3所示。

4結(jié)??論

針對MMC拓撲優(yōu)化的STM構(gòu)建，利用Voronoi骨架提取和形狀優(yōu)化，建立了顯式拓撲優(yōu)化的STM自動提取方法，并通過單側(cè)牛腿和開洞深梁驗證了其有效性，得到如下結(jié)論：

1）?STM自動提取方法構(gòu)建了受力合理且?guī)缀我?guī)則的STM。

2）?Voronoi骨架提取法從MMC優(yōu)化結(jié)構(gòu)提取了光滑的中軸骨架。

3）以類桁架指數(shù)為約束的形狀優(yōu)化實現(xiàn)了STM從框架結(jié)構(gòu)到桁架結(jié)構(gòu)的質(zhì)變。

參考文獻

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（編輯??陳移峰）