楊金鵬

阿氏圓是阿波羅尼斯圓的簡稱，即平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為一個不等于1的正數(shù)的點的軌跡是圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.

其具體定義如下：如圖1所示，已知A，B是平面內(nèi)的兩個定點，若平面內(nèi)的點P滿足PAPB=k（k>0，k≠1），則點P的軌跡是圓.若在線段AB及其延長線上分別上取點E，F(xiàn)，且使得AEEB=FAFB=k，則點P的軌跡就是以EF為直徑的圓，該圓就是阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

在解三角形問題中，若出現(xiàn)類似于線段比值的條件時，便可考慮構(gòu)造阿氏圓來解決問題，從而達(dá)到事半功倍的效果.下面就通過幾個例題來探究如何構(gòu)造阿氏圓來求解三角形中的最值問題.

解析：如圖2，由角平分線性質(zhì)可知ABAC=BDDC=2，延長BC至E，使得EBEC=2，則由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以DE為直徑的圓（不含D，E兩點）.所以，當(dāng)AO⊥BC時，ΔABC的面積達(dá)到最大.由于DE=8，此時高AO=4，所以（SΔABC）max=12×6×4=12，故選C.

例2 已知邊長為2的等邊ΔABC，D是平面ABC內(nèi)一點，且滿足DB：DC=2：1，則ΔABD面積的最大值是（ ）.

解析：以BC的中點O為原點，建立如圖3所示的直

角坐標(biāo)系，則A（0，3），B（－1，0），C（1，0），設(shè)D（x，y），因為DB：DC=2：1，所以x+12+y2=4x－12+4y2，得x－532+y2=169，所以點D的軌跡為以（53，0）為圓心，以43為半徑的圓，當(dāng)點D距離直線AB距離最大時，△ABD面積最大，已知直線AB的方程為3x－y+3=0，AB=2，點D距離直線AB的最大距離為d+r=533+32+43=433+43，所以△ABD面積的最大值為S△ABD=12×2×433+43=433+43.故選C.

例3 以BC為底邊的等腰ΔABC中，腰AC邊上的中線長為9，當(dāng)△ABC面積取最大時，腰AB長為（ ）.

解析：如圖4，取AC中點D，則ABAD=2，在線段BD及其延長線上分別上取點E，F(xiàn)，且使得BEED=FBFD=2，由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F(xiàn)兩點），所以當(dāng)AO⊥BO時，△ABC面積最大，由條件可求得AO=6，BO=12，所以AB=62+122=65，故選C.

解析：如圖5，在線段BC及其延長線上分別上取點E，F(xiàn)，且使得BEEC=FBFC=2，由阿氏圓定義可知，頂點A的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F(xiàn)兩點），要使得BC最小，則要使得高最大，由圖可知，當(dāng)AO⊥BO時，高最大.設(shè)BC=x，求得AO=23x，則SΔABC=12×x×23x=1，解得x=3，即BCmin=3，故選C.

例5 在△ABC中，AB=2，D，M分別是邊AB，AC的中點，CD與BM交于點G，若GC=3GB，則△ABC面積的最大值為（ ）.

圓定義可知，點G的軌跡是以EF為直徑的圓（不含E，F(xiàn)兩點），所以，當(dāng)GO⊥BO時，ΔGBD的面積最大，此時GO=23，所以（SΔGBD）max=12×1×23=3.又由相似性可知SΔABC=6SΔGBD，于是（SΔABC）max=6（SΔGBD）max=63，故選C.

參考文獻(xiàn)

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