沈紅霞

《二次根式》是人教版八年級(jí)第十六章的內(nèi)容，內(nèi)容包括二次根式的認(rèn)識(shí)、二次根式的乘除和加減。在本章的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)二次根式的化簡(jiǎn)是學(xué)生學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)之一，尤其是當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生普遍存在計(jì)算速度慢、計(jì)算易出錯(cuò)、最后的結(jié)果沒(méi)有化為最簡(jiǎn)二次根式的問(wèn)題。本文中將著重探討被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)的二次根式的化簡(jiǎn)，讓學(xué)生能更快、更輕松地掌握本章知識(shí)點(diǎn)。

首先，我們從直觀的角度，將被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)的二次根式的形式初步歸納如下幾種形式：1.被開(kāi)方數(shù)分子為1，分母不是含完全平方因數(shù)的二次根式，例如：[12]，[15] ；2.被開(kāi)方數(shù)分母為完全平方數(shù)，分子不含完全平方因數(shù)的二次根式，例如：[54]，[316]；3.被開(kāi)方數(shù)分子為完全平方數(shù)，分母不含完全平方因數(shù)的二次根式，例如：[45]，[253]；4.被開(kāi)方數(shù)分子分母互質(zhì)且都不含完全平方因數(shù)的二次根式，例如：[23] ，[65]；5.被開(kāi)放數(shù)分子、分母中都含有完全方數(shù)因數(shù)的二次根式，例如：[2750]；6.被開(kāi)方數(shù)分子、分母有公因式的二次根式，例如[128]。

在下文中將使用字母a和b來(lái)代替數(shù)，并設(shè)定它們是互質(zhì)并且不含有完全平方因數(shù)的數(shù)，且都大于零。另外，被開(kāi)方數(shù)為可以直接開(kāi)方的分?jǐn)?shù)（例如[916]）的形式不在討論之列。

一、形式1：被開(kāi)方數(shù)分子為1，分母不含有完全平方因數(shù)的二次根式

首先，我們來(lái)看常規(guī)的化簡(jiǎn)方式，以[15] ，[12]，[13]為例：

[15]=[15]=[55×5]=[55]；[12]=[12] =[22×2] =[22]；[13] =[13] =[33×3]=[33]

通過(guò)觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)分子為1，分母又不含有完全平方因數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)出來(lái)的形式都是[aa]的形式，因此我們可以將此類化簡(jiǎn)歸納為：

[1a]=[aa]? （a>0）

這樣，我們?cè)诮虒W(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于此類二次根式進(jìn)行一步到位的化簡(jiǎn)。

二、形式2：被開(kāi)方數(shù)分母為完全平方數(shù)，分子不含有完全平方數(shù)因數(shù)的二次根式

以[54] ，[316] 為例，我們來(lái)看看常規(guī)算法： [54]=[55] =[52]；[316]=[316]=[34] 。通過(guò)這兩道的化簡(jiǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)的分母為完全平方數(shù)時(shí)，開(kāi)方的結(jié)果就是分母，分子依然保留根號(hào)，因此對(duì)于這種形式的化簡(jiǎn)可以簡(jiǎn)單歸納為：[ba2]=[ba] （a>0? b>0）。因此，當(dāng)被開(kāi)放數(shù)的分母為完全平方數(shù)的時(shí)候，直接將開(kāi)方的結(jié)果做分母，分子保留根號(hào)。

三、形式3：被開(kāi)方數(shù)的分子為完全平方數(shù)，分母不含有完全平方數(shù)因數(shù)的二次根式

以[45]為例，先來(lái)看常規(guī)化簡(jiǎn)方法：[45]=[45]=[25]? =[255×5]=[255]，對(duì)于這種形式的化簡(jiǎn)，可以結(jié)合[1a]=[aa]來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)：[45]=[45]= 2 ×[15]= 2 ×[55]= [255]

我們發(fā)現(xiàn)，與分母為完全平方數(shù)的形式化簡(jiǎn)類似，當(dāng)分子為完全平方數(shù)時(shí)，開(kāi)方的結(jié)果就是分子。因此，只需要把分子開(kāi)方的結(jié)果作為分子，再利用 [1a]=[aa]迅速得出結(jié)果。對(duì)于這種形式的化簡(jiǎn)，我們可以歸納為：[b2a]=[baa]（a>0? b>0）。

四、形式4：被開(kāi)方數(shù)的分子分母互質(zhì)而且都不含有完全平方因數(shù)的二次根式

以[23]，[65]為例，首先，用常規(guī)方式進(jìn)行化簡(jiǎn)：[23] =[23]=[233×3]=[2×33]=[63]；[65]=[65]=[655×5]=[6×55] =[305]，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，[23]=[3×23]=[63]，[65]=[6×55]=[305]，也就是直接將分母根號(hào)去掉，分子保留根號(hào)，分子分母的乘積就是化簡(jiǎn)之后的分子的被開(kāi)方數(shù)。所以我們可以將此類化簡(jiǎn)歸納為：[ba]=[aba]（a>0? b>0）。

五、形式5：分子分母中都含有完全方數(shù)因數(shù)時(shí)，分子分母不能進(jìn)行約分的二次根式

例如[2720]，結(jié)合前面的規(guī)律，我們可以將分子中的完全平方因數(shù)開(kāi)方的結(jié)果做為分子，分母的完全方因數(shù)開(kāi)方的結(jié)果做分母，剩下用[ba]=[aba]來(lái)計(jì)算。例如：[2720]=[32]×[35]=[32]×[3×55]=[31510]。

六、形式6：分子、分母有公因式的二次根式

例如[128]，我們可以將分子分母先約分，化簡(jiǎn)為[32]，此時(shí)分子分母互質(zhì)，再利用[ba]=[aba]進(jìn)行化簡(jiǎn)。如： [128]=[32]=[2×32]=[62]。

再如[506]，被開(kāi)方數(shù)約分之后變?yōu)閇253]，分子中含有完全平方數(shù)，我們將分子中的完全平方數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分子，再利用[1a] =[aa]進(jìn)行化簡(jiǎn)。過(guò)程如下：[506]=[253]=5×[33] =[533]。

如此，如果被開(kāi)方數(shù)中的分子分母可以約分，約分后分?jǐn)?shù)形式也無(wú)非是形式1到形式5。

七、結(jié)合例題綜合感受這些規(guī)律在二次根式的化簡(jiǎn)中的運(yùn)用

例一：化簡(jiǎn)[18]，第一步：[18]=[122]? ?→ 分母中含有完全平方因數(shù)，將完全平方因數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分母；第二步：[18]=[12]×[22]→[12] 實(shí)際就是[12]，因此可以利用[1a] =[aa]迅速得出化簡(jiǎn)結(jié)果；第三步：[18]=[24]。此化簡(jiǎn)中要注意，被開(kāi)方數(shù)中的分子或者是分母中，無(wú)論誰(shuí)含完全平方因數(shù)，都先將完全平方因數(shù)開(kāi)方，并將分子中的完全平方數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分子，分母中的完全平方數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分母，剩下的就可以用以上形式1、形式2、形式3和形式4四種模式進(jìn)行快速化簡(jiǎn)。

例二：化簡(jiǎn)[227]，首先，分母27中含有完全平方數(shù)9，直接開(kāi)方的結(jié)果3作為分母，這樣根號(hào)下的被放開(kāi)數(shù)就變?yōu)閇23]，可以利用[ba]=[aba]（a>0? b>0? ?a、b互質(zhì)，且都不含有完全平方因數(shù)）來(lái)進(jìn)行計(jì)算。得出： [227]=[13]×[23]=[13]×[63]=[69]，通過(guò)進(jìn)一步總結(jié)我們可以發(fā)現(xiàn)，所有被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)的二次根式的化簡(jiǎn)，最終可以簡(jiǎn)單歸納為如下三個(gè)要點(diǎn)。

（一）被開(kāi)方數(shù)中的分子、分母可有公因數(shù)時(shí)先約分；約分后二次根式就有可能是形式1、2、3、4、5；

（二）約分之后，被開(kāi)方數(shù)中的分子和分母含有完全平方因數(shù)時(shí)，把分子中的完全平方因數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分子，分母中的完全平方因數(shù)開(kāi)方的結(jié)果作為分母，這樣可以完成形式2、3、5的化簡(jiǎn)；

（三）通過(guò)前面的操作，二次根式要么是形式4或者形式1，即被開(kāi)方數(shù)的分子和分母是互質(zhì)且不再含有完全平方因數(shù)或者分子是1，就可以利用[ba]=[aba]來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。我們不難發(fā)現(xiàn)，[ba]=[aba]中包含了形式1（[1a]=[aa]）這種情況，但是在教學(xué)中，我們依然可以將[1a]=[aa]，作為一種直觀的化簡(jiǎn)模型介紹給學(xué)生。通過(guò)實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)在熟練掌握以上規(guī)律之后，無(wú)論處在那種層次的學(xué)生，對(duì)于被開(kāi)方數(shù)為分?jǐn)?shù)的二次根式的化簡(jiǎn)，都可以做到只需要1至2步就完成，并且正確率和速度都有很大提高。