姜笑言,崔國華,周震

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201600）

隨著現(xiàn)代工業(yè)制造的發(fā)展,生產(chǎn)制造越來越多地運(yùn)用機(jī)器人代替人工完成一些重復(fù)度高、強(qiáng)度大的工作.然而,單個機(jī)械手的適用性越來越有限,尤其是在大型零件的加工、裝配、運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域更是受限.因此,雙機(jī)器人的研究對于智能制造的發(fā)展具有十分重要的意義.雙機(jī)器人系統(tǒng)相對單機(jī)器人系統(tǒng)來說,具有更大的工作空間、更強(qiáng)的可靠性與更靈活的操作性能等優(yōu)點(diǎn).因此雙機(jī)器人系統(tǒng)已應(yīng)用于航空、汽車、能源等領(lǐng)域的許多工業(yè)制造過程中,以完成一些單機(jī)器人無法完成的復(fù)雜任務(wù)[1-2].

雙機(jī)器人系統(tǒng)協(xié)同工作的前提是得到雙機(jī)器人基座之間的變換關(guān)系,因?yàn)闄C(jī)器人基坐標(biāo)系的原點(diǎn)在基座內(nèi)部,不可能通過直接測量得到結(jié)果,所以很多學(xué)者對該問題進(jìn)行了研究,以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)協(xié)作,同時保證運(yùn)動精度.根據(jù)目前的研究,對于雙機(jī)器人基坐標(biāo)系的標(biāo)定方式主要分為兩大類,即接觸式標(biāo)定、非接觸式標(biāo)定方式.

接觸式的標(biāo)定方式通常將設(shè)計好的工具安裝在機(jī)械手法蘭上,驅(qū)動兩機(jī)器人使工具接觸,形成閉合的運(yùn)動鏈.結(jié)合接觸點(diǎn)的空間關(guān)系和運(yùn)動鏈模型,得到兩基座之間的變換矩陣.Wang 等[1]使用一個校準(zhǔn)塊和一對測量頭,通過將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)投影到特定的平面上,建立幾何約束,從而求解相應(yīng)的變換參數(shù).Gan 等[3]在兩機(jī)器人末端安裝針形工具,在公共空間不共面的四點(diǎn)相接觸,建立接觸點(diǎn)坐標(biāo)在兩機(jī)器人基座中的矩陣轉(zhuǎn)換關(guān)系,初步得到基座轉(zhuǎn)換矩陣,最后通過四元數(shù)與拉格朗日乘數(shù)法對標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化.結(jié)果證明,該方法具有較高的標(biāo)定精度.紀(jì)慧君等[4]在兩個機(jī)器人末端分別安裝標(biāo)定針以及標(biāo)定臺,通過運(yùn)動機(jī)器人末端三點(diǎn)定圓的方式, 結(jié)合機(jī)器人運(yùn)動鏈及圓的幾何性質(zhì)求解方程組得到兩機(jī)器人基座的位姿關(guān)系.Bonitz 等[5]使用兩塊校準(zhǔn)板,通過控制兩機(jī)器人使兩校準(zhǔn)板相貼合的方式建立標(biāo)定模型.這些接觸式的標(biāo)定方式往往都需要用到一些特定的工具,操作效率不高,標(biāo)定結(jié)果依賴于數(shù)據(jù)的采集精度.

非接觸式標(biāo)定方式是指利用外部傳感器或測量儀器收集校準(zhǔn)信息,比如激光跟蹤儀、光學(xué)導(dǎo)航、相機(jī)等.侯仰強(qiáng)等[6]使用兩個公共標(biāo)靶分別計算出兩機(jī)器人基座之間的位姿關(guān)系,通過拉格朗日乘數(shù)法對旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性及標(biāo)定誤差進(jìn)行優(yōu)化.Qin 等[7]使用光學(xué)跟蹤系統(tǒng)（OTS）,根據(jù)運(yùn)動鏈構(gòu)造出AXB=YCZ的矩陣鏈形式,分別求得兩基座之間的旋轉(zhuǎn)矩陣以及位置向量,實(shí)現(xiàn)了手眼同時標(biāo)定.這種標(biāo)定方式的關(guān)鍵是既要找到一種可靠的算法對矩陣方程AXB=YCZ 的初值進(jìn)行求解, 還要找到一種合適的迭代算法來優(yōu)化標(biāo)定結(jié)果.針對此問題,相關(guān)學(xué)者做了大量的工作[8-11].Zhao 等[12]將直接標(biāo)定技術(shù)與誤差補(bǔ)償模型相結(jié)合,利用激光跟蹤儀對雙機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了標(biāo)定.這些非接觸式校準(zhǔn)成本高、校準(zhǔn)系統(tǒng)復(fù)雜.通常需要采用非接觸式的外部傳感器和測量儀器,大大增加了成本.這些附加設(shè)備本身都需要在基架校準(zhǔn)前進(jìn)行精確校準(zhǔn),而且最后的標(biāo)定精度受算法的影響較大.

本文針對上述標(biāo)定方式的不足,在保證標(biāo)定精度的前提下,提出了一種基于點(diǎn)面接觸的雙機(jī)器人基座標(biāo)定模型.該方法不需要任何額外的設(shè)備,只通過點(diǎn)面接觸的方式,記錄下接觸時雙機(jī)器人的關(guān)節(jié)信息即可,根據(jù)雙機(jī)器人運(yùn)動模型以及接觸點(diǎn)在某一個面上的約束,可以求解出雙機(jī)器人基座之間的變換關(guān)系.此方法操作簡單,標(biāo)定環(huán)境簡單,在系統(tǒng)本身兩機(jī)器人夾持物體滿足點(diǎn)面要求的情況下,甚至完全不需要任何其他工具,也不需要對本身夾具進(jìn)行拆卸,因此適合應(yīng)用于工業(yè)場景.

1 模型建立求解

空間中雙機(jī)器人系統(tǒng)坐標(biāo)系關(guān)系如圖1 所示,其中B1、B2分別為兩機(jī)器人末端法蘭相對其基座的變換矩陣,X1、X2分別為兩機(jī)器人夾持的物體相對其末端法蘭的變換矩陣,Y 為兩機(jī)器人基座之間的變換矩陣.為了表述方便,下文稱右側(cè)機(jī)器人夾持的物體為工具,左側(cè)機(jī)器人夾持的物體為工件.

圖1 雙機(jī)器人坐標(biāo)系關(guān)系圖Fig.1 Coordinate system relation diagram of dual-robots

當(dāng)驅(qū)動兩機(jī)器人運(yùn)動使工具末端與工件接觸時,設(shè)接觸點(diǎn)為P,接觸點(diǎn)到工件及工具的變換矩陣分別為P1、P2,則可以得到系統(tǒng)矩陣鏈為

設(shè)工件上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系同向,且工件坐標(biāo)系與對應(yīng)機(jī)器人末端坐標(biāo)系同向,那么X1為單位陣,式（1）簡化為

對于P2,如果只考慮其位置向量,因?yàn)镻2位置向量為零向量,因此,如果只考慮接觸點(diǎn)的位置,在式（3）中可以將P2忽略,式（3）可寫為

式（4）中：B1、B2通過采集機(jī)器人關(guān)節(jié)信息得到,X2通過TCP 標(biāo)定可以得到,P1,Y 未知,Y 為待求量,P1為接觸點(diǎn)相對工件坐標(biāo)系的變換矩陣.

如果工具與一個已知平面相接觸,設(shè)平面方程為

設(shè)a=[a1a2a3]T,t=[x y z],平面可表示為

將式（4）寫成矩陣形式

整理可得接觸點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

將點(diǎn)坐標(biāo)代入平面方程

使用Kronerker 處理式（8）

設(shè)

代入式（9）

設(shè)

設(shè)

設(shè)

M 為3×12 的矩陣,N 為12×1 的列向量.aM,Q 矩陣中的信息已知,因此在同一個已知平面采集n個點(diǎn)

利用最小二乘法即可解出N 矩陣

通過線性方程組得到的旋轉(zhuǎn)矩陣由于在采集數(shù)據(jù)過程中噪聲的存在,并且沒有考慮到正交約束,會得到一個存在誤差的近似矩陣RY.為了得到一個具有正交性質(zhì)的旋轉(zhuǎn)矩陣,需要對該矩陣進(jìn)行SVD分解

式（19）中：UY、VY是奇異值分解中的酉矩陣

一般來說,通過線性無約束方程組得到的解存在較大誤差,因此封閉形式的方法更適合于迭代法初始估計的快速計算,以提高其精度和計算效率.

2 迭代優(yōu)化策略

2.1 旋轉(zhuǎn)矩陣優(yōu)化

在式（2）中將矩陣鏈旋轉(zhuǎn)部分寫開得到

高斯牛頓迭代法具有較好的收斂特性,因此本文采用高斯牛頓法對旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行迭代優(yōu)化.

由旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)

令

則等式可寫為

式（27）中：I3是一個3*3 的單位矩陣.

最終建立出優(yōu)化旋轉(zhuǎn)矩陣的目標(biāo)函數(shù)為

以上文求出的旋轉(zhuǎn)矩陣為模型初值,通過高斯- 牛頓迭代法最終可以得到較為精準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)矩陣.

其中第k 次迭代值為

2.2 平移部分的求解

由式（29）（30）得到精準(zhǔn)的RY矩陣,根據(jù)式（7）

可得到

其中

得出

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本研究所提出的標(biāo)定方式的可行性,以兩個六自由度串聯(lián)機(jī)器人ER20 為對象,構(gòu)建雙機(jī)器人協(xié)作系統(tǒng),進(jìn)行數(shù)值仿真,該機(jī)器人運(yùn)動模型與DH 參數(shù)如圖2 所示.L0、L1、L2、L3、L4、Hb是對應(yīng)機(jī)器人的連桿之間的距離,分別是50.0 mm、270.0 mm、70.0 mm、299.0 mm、78.5 mm 和321.5 mm.

表1 ER20-1700 機(jī)器人DH 參數(shù)表Tab.1 DH parameters of the ER20-1700 robot

圖2 ER20 機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure diagram of ER20 robot

仿真數(shù)據(jù)生成方式如下：

（1）隨機(jī)生成一個平面,隨機(jī)給定平面法向量即可,在給定平面上采集k 個點(diǎn)充當(dāng)標(biāo)定接觸（k=10,20,30,…,100）

（2）對打磨機(jī)器人,隨機(jī)給k 組關(guān)節(jié)角,作為接觸k 個標(biāo)定點(diǎn)時該機(jī)器人對應(yīng)的關(guān)節(jié)角,正運(yùn)動學(xué)計算出B2.

（3）隨機(jī)設(shè)一組X2,該矩陣在實(shí)際操作時要根據(jù)TCP 標(biāo)定方式得到,在數(shù)值仿真中設(shè)為

（4）定義Y 矩陣的真實(shí)值為

（5）根據(jù)（4）式,計算出對應(yīng)B1

為在數(shù)值仿真中更好地模擬實(shí)際實(shí)驗(yàn)中的誤差, 對于生成的兩機(jī)器人的角度信息分別給定一定水平的噪聲誤差,噪聲為正負(fù)1°,同時檢驗(yàn)所提標(biāo)定方案的魯棒性.

RY=[vx,v y,vz],tY=[tx,t y,tz],vx、vy、vz分別為Y 旋轉(zhuǎn)矩陣三個方向的方向向量,為正交單位陣.所以三個分量的范數(shù)都為1,tx、ty、tz分別為Y 平移向量在三個方向向量上的平移分量.

定義結(jié)果誤差計算方式為

一般來說,增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)的大小以提高校準(zhǔn)精度已成為一種常見的做法.利用該方法對不同訓(xùn)練量的訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)標(biāo)定.數(shù)值仿真結(jié)果見圖3 和圖4.

根據(jù)數(shù)值仿真結(jié)果可知,在存在一定噪聲的情況下,旋轉(zhuǎn)矩陣各軸角度誤差都保持在較低水平,最小誤差是在0.05°以下,平移分量最小誤差是在0.2 mm 以下,并且都隨著數(shù)據(jù)集的增加,誤差越來越小,并收斂到一定水平.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與仿真分析

為驗(yàn)證該方法在實(shí)際實(shí)驗(yàn)平臺中的有效性,利用該算法對實(shí)驗(yàn)室雙機(jī)器人平臺進(jìn)行標(biāo)定,如圖5 所示.該平臺為雙工業(yè)機(jī)器人協(xié)作輪轂打磨實(shí)驗(yàn)平臺,包括兩臺ER20-1700 工業(yè)機(jī)器人,由一個打磨工具,一個輪轂,一個ATI 六維力傳感器組成.力傳感器安裝在工具機(jī)器人末端,工具安裝在力傳感器上,輪轂被工件機(jī)器人末端夾具夾持.

圖5 雙機(jī)器人基座標(biāo)定實(shí)驗(yàn)平臺Fig.5 Experimental platform for dual robot base calibration

選擇輪轂邊緣面作為基準(zhǔn)平面,將工具與該平面進(jìn)行多次接觸,來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集.采集接觸時機(jī)器人的關(guān)節(jié)讀數(shù),利用提出的算法進(jìn)行標(biāo)定,實(shí)驗(yàn)過程中采集了100 組數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定,根據(jù)式（2）,定義旋轉(zhuǎn)矩陣數(shù)值誤差為

由式（8）

來檢驗(yàn)求得的矩陣,反解出接觸點(diǎn)到已知平面的誤差.

即定義位置誤差為

首先根據(jù)文獻(xiàn)[13]的方法可以對工具矩陣進(jìn)行快速標(biāo)定,標(biāo)定結(jié)果為

根據(jù)提出的標(biāo)定方法使用采集得到的100 組數(shù)據(jù)對基座矩陣進(jìn)行求解,最終求得

將結(jié)果根據(jù)提出的方式進(jìn)行準(zhǔn)確性評估,誤差結(jié)果見圖6、7.

基座標(biāo)定實(shí)驗(yàn)誤差結(jié)果見表2.

最小值0.190 6 0.214 4 0.171 2 1.829 2 Rx/（o）Ry/（o）Rz/（o）tY/（o）最大值0.388 9 0.378 4 0.305 6 2.411 4均值0.283 1 0.295 5 0.231 6 2.153 2標(biāo)準(zhǔn)差0.057 9 0.045 1 0.040 7 0.164 7

由表2 可知,實(shí)驗(yàn)標(biāo)定結(jié)果面向每一個采樣點(diǎn)的角度誤差,三個方向誤差均值分別為0.283 1°、0.295 5°、0.231 6°,平移分量誤差均值是2.153 2 mm.

考慮誤差來源：

（1）在點(diǎn)面接觸過程中,點(diǎn)與面是否接觸沒有進(jìn)行精準(zhǔn)的定義,只是目測,因此實(shí)際采樣過程中點(diǎn)與面之間可能存在較小距離.

（2）實(shí)驗(yàn)過程中所選用的平面,是通過輪轂三維模型得到,而實(shí)際模型與虛擬模型可能在結(jié)構(gòu)參數(shù)上還存在一定誤差.

5 結(jié)論

（1）在雙機(jī)器人基座標(biāo)定問題中,提出一種基于“點(diǎn)面”約束的求解方式,該方法不需要任何外部設(shè)備以及特制夾具,僅依靠平臺本身即可完成標(biāo)定.

（2）利用點(diǎn)面約束結(jié)合克羅內(nèi)克積可以將模型簡化為可用最小二乘法求解的超定方程組,并求得模型的封閉解,以該解為初值,建立優(yōu)化模型,使用高斯- 牛頓法對旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行迭代優(yōu)化,將閉合形式法的結(jié)果作為迭代法的初始估計,提高了迭代收斂的速度和穩(wěn)定性.

（3）建立數(shù)值仿真以及實(shí)驗(yàn)對模型進(jìn)行驗(yàn)證,仿真結(jié)果表明,角度誤差都是在0.05°以下,而位置誤差可以達(dá)到0.2 mm 以下.

（4）通過實(shí)際物理實(shí)驗(yàn)來對標(biāo)定方式進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果表明,三個方向角度誤差是在0.3°以內(nèi),而位置平均誤差為2.153 2 mm,滿足工業(yè)機(jī)器人協(xié)同作業(yè)的標(biāo)定精度.