楊揚

與二次函數(shù)有關(guān)的幾何圖形證明題通常較為復(fù)雜，需靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，才能順利解題.這類問題主要考查同學(xué)們綜合運用二次函數(shù)和平面幾何圖形知識的能力.下面結(jié)合幾個例題，探討一下如何求解與二次函數(shù)有關(guān)的幾何圖形證明題.

一、證明直線平行

在解答與二次函數(shù)有關(guān)的幾何圖形證明題時，經(jīng)常會遇到證明兩條線段或直線平行的題目，要先根據(jù)二次函數(shù)的解析式和圖象來確定直線上點的坐標(biāo)，以確定兩條直線的位置；然后結(jié)合兩直線平行的判定定理：如果兩條直線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，則兩條直線平行，來證明兩條直線平行.

例1

解：

二、證明三角形全等

解答與二次函數(shù)有關(guān)的全等三角形證明題，大多需要先設(shè)出未知數(shù)，如二次函數(shù)的解析式、點的坐標(biāo)、角的度數(shù)等，并根據(jù)二次函數(shù)的解析式建立這些未知數(shù)之間的關(guān)系式，求得兩個三角形的邊長、內(nèi)角的大??；再利用勾股定理以及全等三角形的判定定理進行解題.

例2如圖3所示，在直角坐標(biāo)系中，正方形 CBAO 的邊長為2，O 為坐標(biāo)原點，A 點落在 x 軸的正半軸上，C 點落在 y 軸的正半軸上.一條拋物線以 D 點為頂點并且經(jīng)過 A 點，其中 D 點為 OC 的中點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）正方形 CBAO 的對角線BO 和拋物線相交于 E 點，并且 FG 經(jīng)過 E 點且和 x 軸垂直，并且交 x 軸于 F 點，交 BC 于 G 點.請證明 EG 和 OB 的長度關(guān)系；

（3）點 H 為拋物線上在正方形 CBAO 中的任意一點，線段 IJ 過點 H 和 x 軸垂直，并且交 x 軸于點 I ，交 BC 于點 J，點 K 在 y 軸的正半軸上，并且 OH = OK，求證△IHO ≌△CKJ.

解：

三、證明特殊四邊形

解答與二次函數(shù)有關(guān)的特殊四邊形證明題，需先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得四邊形各個點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間的距離公式求得四邊形的邊長，并結(jié)合二次函數(shù)的圖象確定各個點的位置；然后根據(jù)兩直線平行的判定定理判定四邊形的對邊是否平行，若四邊形的對邊平行且相等，則該四邊形為平行四邊形；若該四邊形的四條邊相等，鄰邊互相垂直，且對角線互相垂直，則該四邊形為正方形；若該四邊形的四條邊相等，對角線互相垂直，則該四邊形為菱形.

例3

解

總之，解答與二次函數(shù)有關(guān)的幾何圖形證明題，需能夠?qū)⑺鶎W(xué)的函數(shù)知識、平面幾何知識等融會貫通起來，通過數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的長度、角度問題，以及直線和圖形的位置關(guān)系問題.