北安市健康小學(xué) 包婧婧

數(shù)學(xué)是三大基礎(chǔ)學(xué)科之一，是人們從事自然科學(xué)研究的基礎(chǔ)，滲透到人們生活的方方面面。 它不僅是一個(gè)學(xué)習(xí)自然科學(xué)的工具，同時(shí)也能鍛煉人的思維，讓人們掌握正確的認(rèn)識(shí)世界的方法。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們進(jìn)行了深入地探討，刻苦的鉆研，提出了許多行之有效的教學(xué)方法，美國心理學(xué)家布魯納提出的“發(fā)現(xiàn)法”就是其中之一?！鞍l(fā)現(xiàn)法”指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過自己的探索與研究來發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，形成概念，獲得原理[1]。 運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”會(huì)使學(xué)生在探究中提升自己的能力，享受成功的喜悅，從而大大提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)成績。

一、“發(fā)現(xiàn)法”運(yùn)用的優(yōu)缺點(diǎn)

在教學(xué)中運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”，可以改變以往教師講、學(xué)生聽的“填鴨式”教學(xué)模式，讓學(xué)生從被動(dòng)地接受中解放出來、從服從命令式的學(xué)習(xí)模式中解放出來、從機(jī)械地照搬照抄前人經(jīng)驗(yàn)的僵化思維模式中解放出來， 以培養(yǎng)學(xué)生未來走向社會(huì)所必須的獨(dú)立思考能力?！鞍l(fā)現(xiàn)法” 有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性， 讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的過程中得到激勵(lì)，享受到成功的喜悅；“發(fā)現(xiàn)法”還有利于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，讓學(xué)生通過努力發(fā)現(xiàn)答案，從而深刻記憶。

“發(fā)現(xiàn)法”的不足也是顯而易見的。 第一，容易導(dǎo)致學(xué)生忽視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生忽略數(shù)學(xué)知識(shí)之間的彼此聯(lián)系。 第二，運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”耗時(shí)較多，過程較為繁瑣，很多知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都超出正常課時(shí)。第三，運(yùn)用此種教學(xué)方法必須考慮到學(xué)情，并不是所有學(xué)生都可以輕車熟路地運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”。第四，運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”還要有紀(jì)律的保證。紀(jì)律差、學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣差的班級(jí)不適用。第五，“發(fā)現(xiàn)法”并不是所有學(xué)科都可以使用（比如需要大量記憶與背誦的文科科目），也不是所有時(shí)候都可以運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”（哪怕是最適合使用的理科類）。

二、“發(fā)現(xiàn)法”運(yùn)用的關(guān)鍵點(diǎn)

（一）提前做好問題的預(yù)設(shè)

教師要讓學(xué)生帶著問題去探究、去發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生的探索與發(fā)現(xiàn)有方向、有目的，而不至于浪費(fèi)時(shí)間和精力，乃至打擊他們的積極性。 在設(shè)定問題時(shí)要注意幾點(diǎn)：

問題要有啟發(fā)性。例如，在教學(xué)一元二次不等式時(shí)，就可以設(shè)計(jì)這樣的問題：請(qǐng)同學(xué)們看一看，一元二次不等式與一元一次不等式和一元二次方程有什么異同點(diǎn)？啟發(fā)學(xué)生去思索、去發(fā)現(xiàn)，得出一元二次不等式是升級(jí)版的一元一次不等式，也是等號(hào)換成了不等號(hào)的一元二次方程的結(jié)論，最終探究出一元二次不等式的解法。

問題要有目的性。 每一個(gè)問題的設(shè)計(jì)，都要以提高學(xué)生的探究能力、解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的難題、讓學(xué)生享受發(fā)現(xiàn)的快樂為目的。例如，在教學(xué)解析幾何時(shí)，可以讓學(xué)生在坐標(biāo)系上將各點(diǎn)連線， 通過認(rèn)識(shí)到數(shù)與圖形的聯(lián)系，從而認(rèn)識(shí)到解析幾何就是研究如何用代數(shù)式來表示圖形的一門數(shù)學(xué)分支，引導(dǎo)學(xué)生正確看待解析幾何，建立學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。

問題要有針對(duì)性。 教師不可漫無目的地亂設(shè)計(jì)，而是要有的放矢，要針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有價(jià)值或與今后學(xué)習(xí)的知識(shí)有很大關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)來設(shè)計(jì)問題，要讓設(shè)計(jì)的問題起到“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的效果。例如，在教學(xué)“多次方程時(shí)”，可以設(shè)計(jì)這樣的問題：通過對(duì)一元二次方程、一元三次方程、二元一次方程、三元一次方程、二元二次方程解法的比較，能否看出最終解出方程的根本方法是什么？終極目標(biāo)是什么？ 讓學(xué)生通過比對(duì)、通過思考研究，最后得出結(jié)論：所有的解方程的根本方法都是降冪消元，其最終目標(biāo)就是把方程變成一元一次方程，求出方程的一個(gè)解，最后逐步求出方程的其他解，解出方程。 教師還可以繼續(xù)從這個(gè)問題拓展開來，讓學(xué)生探究不等式的解法，與方程的解法加以對(duì)比，以此達(dá)到舉一反三的效果。

（二）發(fā)揮直觀教具的作用

通過對(duì)圖形的實(shí)際觀察和分析促進(jìn)學(xué)生由直觀（具體）向主觀（抽象）轉(zhuǎn)化，由特殊到一般，得出具有普遍意義的結(jié)論來。 例如，在教學(xué)求多邊形內(nèi)角和時(shí)，教師可以在PPT 上放映將多邊形分割成n 個(gè)三角形的動(dòng)畫，讓學(xué)生自己去觀察、思考、研究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納。 最后得出多邊形內(nèi)角和的公式（n-2）×180°（n≥3 且n∈z）。 再如，在教授“對(duì)稱圖形”時(shí)，教師可以在PPT 上播放五角星、蝴蝶等生活中常見的對(duì)稱圖形或自然界中的實(shí)物，讓學(xué)生初步理解對(duì)稱的概念，再用動(dòng)畫演示轉(zhuǎn)動(dòng)的車輪，自傳中的地球等，讓學(xué)生明確什么是軸對(duì)稱。再比如，教學(xué)“平移和旋轉(zhuǎn)”時(shí)，教師可以用視頻或動(dòng)畫來演示發(fā)生平移和旋轉(zhuǎn)的物體，如飛行中的飛機(jī)、被推動(dòng)的木箱、滾動(dòng)的車輪，等等，引導(dǎo)學(xué)生直觀地感受到什么叫平移，什么叫旋轉(zhuǎn)。

（三）調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性

“發(fā)現(xiàn)法”應(yīng)用到教學(xué)中一段時(shí)間后，一些學(xué)有余力、主動(dòng)性強(qiáng)的學(xué)生就會(huì)自己去尋找問題，主動(dòng)探索，但由于學(xué)生的年齡、經(jīng)驗(yàn)的局限，他們可能會(huì)出現(xiàn)方向性錯(cuò)誤，甚至得出錯(cuò)誤的結(jié)論。例如，三角形的內(nèi)角和定理，即三角形的內(nèi)角和等于180°。 這個(gè)定理的成立實(shí)際上是有前提的：三角形內(nèi)角和在平面中才等于180°。而在凹面上三角形內(nèi)角和小于180°，在凸面上則大于180°。 這很容易被學(xué)生忽略或遺漏， 從而想當(dāng)然地認(rèn)為三角形的內(nèi)角和就是180°。這就需要教師要糾正他們的錯(cuò)誤，把他們的思路引導(dǎo)到正確的方向上來，同時(shí)也要少批評(píng)，多鼓勵(lì)，不要打消他們學(xué)習(xí)的積極性，還要鼓勵(lì)他們勤思考、勤鉆研，去主動(dòng)學(xué)習(xí)、探索、發(fā)現(xiàn)。

（四）擺正教師的位置

教師只是一個(gè)“引領(lǐng)者”，在教學(xué)過程中，要啟發(fā)和鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題。 培養(yǎng)學(xué)生的自信心，讓他們相信自己不但可以發(fā)現(xiàn)問題，而且完全可以憑借自身的知識(shí)與智慧解決問題。在運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師又是不可或缺的，是學(xué)生學(xué)習(xí)的引領(lǐng)者，主導(dǎo)著學(xué)生的學(xué)習(xí)過程； 也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)重要的參與者，是學(xué)生的“合作伙伴”，與學(xué)生一起享受成功的喜悅。總之，在運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)法”時(shí)，教師既不能越俎代庖，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，剝奪學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立探究、獨(dú)立解決問題的權(quán)力， 又不能讓自己在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中被“邊緣化”，成為一個(gè)“多余人”。

（五）結(jié)合其他的方法

“發(fā)現(xiàn)法”不能孤立地使用，必須和其他方法結(jié)合一起才會(huì)有良好的效果。 例如，在教學(xué)“對(duì)數(shù)”時(shí)，就可以運(yùn)用“啟發(fā)法”，讓學(xué)生觀察冪運(yùn)算，復(fù)習(xí)冪運(yùn)算的一些知識(shí)點(diǎn)后，教師提出問題：冪運(yùn)算是求一個(gè)數(shù)的乘方的結(jié)果，那么反過來，如果求一個(gè)數(shù)開方的結(jié)果該怎么辦呢？ 引導(dǎo)學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)，從而聯(lián)系到對(duì)數(shù)的知識(shí)，即對(duì)數(shù)實(shí)際上是冪運(yùn)算的逆運(yùn)算。再如，在教學(xué)“數(shù)軸”時(shí)，教師可以與“讀讀、議議、講講、練練”這種教學(xué)方法結(jié)合，讓學(xué)生閱讀教材，弄懂?dāng)?shù)軸的定義，明白數(shù)軸的組成與性質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生討論，再由每個(gè)小組代表發(fā)言，說明其探究的結(jié)果，最后做練習(xí)鞏固所學(xué)。 盡管數(shù)學(xué)的教學(xué)方法多種多樣，但是講授法是最基本的，無論什么樣的方法，最終還是以講授法為基礎(chǔ)。

三、“發(fā)現(xiàn)法”運(yùn)用的過程

第一階段，創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生在這種情境中產(chǎn)生矛盾，提出要求解決和必須解決的問題。 例如，利用“發(fā)現(xiàn)法”來學(xué)習(xí)“小數(shù)和分?jǐn)?shù)”時(shí)，教師不應(yīng)直接引入小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念，可以讓學(xué)生們用尺子去測(cè)量數(shù)學(xué)書和練習(xí)冊(cè)的長度，學(xué)生在測(cè)量的過程中遇到了用整數(shù)和自然數(shù)無法表示的“零頭”時(shí)，學(xué)生就會(huì)感到困惑：用任意一個(gè)整數(shù)都是無法表達(dá)這個(gè)數(shù)量的，這該怎么辦？此時(shí)，教師可進(jìn)一步要求學(xué)生思考怎樣來表示測(cè)量的過程中遇到的“零頭”？這就很自然地提出了必須解決的問題。學(xué)生根據(jù)教師提出的要求做了多種假設(shè)，最后，經(jīng)過師生們的集體鉆研和探究，學(xué)生們“發(fā)現(xiàn)”了“小數(shù)”可以表示“零頭”的方法，也就深刻地記住了關(guān)于“小數(shù)”的概念。 至于分?jǐn)?shù)，教師可以先讓學(xué)生拿出自己的書本，把它們平均分成幾份后，問學(xué)生：“教師把書本平均分成了幾份？ 每份是多少？ ”學(xué)生作出回答之后，接著問：“這在數(shù)學(xué)中應(yīng)當(dāng)用什么數(shù)來表示？”讓學(xué)生帶著問題提出假設(shè)，進(jìn)一步驗(yàn)證、檢驗(yàn)，最后引入“分?jǐn)?shù)”的概念。從情境入手，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也利于激發(fā)他們探索、求證的積極性，而在探索與求證成功之后，學(xué)生又會(huì)受到極大地鼓勵(lì)，越發(fā)喜愛數(shù)學(xué)這門學(xué)科。

第二階段， 促使學(xué)生利用教師所提供的某些材料，針對(duì)教師所提出的問題，提出解答的假設(shè)。 例如，在教學(xué)“等腰三角形和等邊三角形”時(shí)，教師在利用情境提出什么是等腰三角形這個(gè)問題之后，可以在多媒體上播放等腰三角形的圖片，讓學(xué)生仔細(xì)觀察：這些三角形有什么特點(diǎn)？學(xué)生們仔細(xì)觀察后得出結(jié)論：它們?nèi)龡l邊中有兩條相等。 有些細(xì)心的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：三個(gè)角中有兩個(gè)角是相等的，由此學(xué)生們了解到兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形。 緊接著，教師可再出示等邊三角形的圖片，讓學(xué)生辨認(rèn)這些等腰三角形與前邊的等腰三角形有什么不同？學(xué)生們經(jīng)過仔細(xì)的觀察，提出了自己的假設(shè)：這些等腰三角形三個(gè)邊都相等，而且，三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60 度，由此，學(xué)生真正地掌握了等腰三角形和等邊三角形的特征，并能夠在此基礎(chǔ)上總結(jié)出兩種三角形的概念。

第三階段，從理論上或?qū)嵺`上檢驗(yàn)自己的假設(shè)。例如，在教學(xué)“全等三角形和相似三角形”的時(shí)候，在給出兩種三角形的定義之后，學(xué)生可以總結(jié)出全等三角形與相似三角形的證明定理。 為了進(jìn)一步驗(yàn)證假設(shè)是否正確，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用橡皮泥做成兩個(gè)三條邊都相等的三角形（SSS）、 兩個(gè)角及它們的中間所夾的邊都對(duì)應(yīng)相等的三角形（ASA）、兩條邊和它們的夾角都相等的三角形（SAS）、兩個(gè)角和任意一邊都對(duì)應(yīng)相等的三角形（AAS）、兩個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)相等的三角形（HL）等，以此論證了證明定理的正確性，并排除了三個(gè)角都相等的情況（AAA）。 進(jìn)一步通過按比例來塑造三角形后， 又證實(shí)了如果對(duì)應(yīng)線段成比例、對(duì)應(yīng)角相等的五種情況：SSS、ASA、SAS、AAS、HL 也可以證明兩個(gè)三角形相似。

第四階段，根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的一定材料，在仔細(xì)評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)上得出結(jié)論[2]。 例如，在教學(xué)“勾股定理”時(shí)，學(xué)生測(cè)量了許多直角三角形， 發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律并得出了結(jié)論：在直角三角形中， 兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方，即a2+b2=c2。再比如學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的時(shí)候，學(xué)生經(jīng)過計(jì)算、反復(fù)的練習(xí)，最后得出結(jié)論：對(duì)數(shù)求指數(shù)的運(yùn)算，即當(dāng)ax=N（a＞0，且a≠1），那么數(shù)x 叫作以a 為底N 的對(duì)數(shù)，記作x=logaN。

第五階段，反思與評(píng)價(jià)。 為了幫助學(xué)生提煉所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，教師要有意地鼓勵(lì)學(xué)生反思問題解決的過程，幫助學(xué)生概括和理解新知識(shí)[3]。 例如，在教學(xué)“直角三角函數(shù)”時(shí)，在學(xué)生通過探究，假設(shè)等階段，得出正切、余切、正弦、余弦等概念，了解特殊角的函數(shù)值之后，引導(dǎo)學(xué)生回憶：三角函數(shù)最初是如何被提出來的？又是通過什么方法來證明的？教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過繪制表格或思維導(dǎo)圖來歸納整理相關(guān)的知識(shí)。 這樣做有利于學(xué)生將碎片化的知識(shí)系統(tǒng)化，利于學(xué)生的記憶和應(yīng)用。