■江蘇省常熟市滸浦高級(jí)中學(xué) 夏樸

抽象函數(shù)是一類(lèi)不給出具體函數(shù)解析式,只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)模型。抽象函數(shù)問(wèn)題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì),將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)圖像等集于一身,是考查函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)的良好載體,備受各類(lèi)命題者的青睞。抽象函數(shù)問(wèn)題具有較強(qiáng)的抽象性,問(wèn)題創(chuàng)設(shè)新穎,構(gòu)思巧妙,條件隱蔽,技巧性強(qiáng),解法靈活,往往讓同學(xué)們感覺(jué)頭痛,無(wú)從下手。本文借助抽象函數(shù)模型的創(chuàng)設(shè),結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì),打開(kāi)解題思路,開(kāi)拓解題思維,對(duì)抽象函數(shù)問(wèn)題的解決會(huì)起到事半功倍的效果。

一、抽象函數(shù)的單調(diào)性

在研究抽象函數(shù)的單調(diào)性中,關(guān)鍵是要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,利用任意變量x1、x2的大小關(guān)系,結(jié)合題目條件,構(gòu)建與變量x1、x2相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系,得以巧妙確定抽象函數(shù)的單調(diào)性,并利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決一些諸如解不等式、判斷大小關(guān)系等應(yīng)用問(wèn)題。

例1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:

①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;

②當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞-1。

(1)求f(0)的值,并證明f(x)在R上是增函數(shù);

(2)若f(1)=1,解關(guān)于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)＞4。

解析：(1)令x=y=0,則f(0)=2f(0)+1,可得f(0)=-1。

設(shè)?x1,x2∈R,且x1＞x2,則x1-x2＞0,有f(x1-x2)＞-1。

又因?yàn)閒(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1＞f(x2),所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。

(2)由f(1)=1,可得f(2)=3,f(3)=5。

由f(x2+2x)+f(1-x)＞4,可得f(x2+2x)+f(1-x)+1＞5,即f(x2+x+1)＞f(3),又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),故有x2+x+1＞3,解得x＜-2或x＞1。

故所求不等式的解集為{x|x＜-2或x＞1}。

點(diǎn)評(píng):在涉及抽象函數(shù)的單調(diào)性的判定與應(yīng)用中,特別是在解決與抽象函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的不等式求解問(wèn)題時(shí),可通過(guò)脫去函數(shù)符號(hào)“f”轉(zhuǎn)化為一般的含參數(shù)x的不等式求解,但無(wú)論如何都必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行;若不等式一邊沒(méi)有“f”,而是常數(shù),則應(yīng)將常數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)值。

二、抽象函數(shù)的奇偶性

在研究抽象函數(shù)的奇偶性時(shí),經(jīng)常借助題設(shè)中的條件,采用賦值法思維,通過(guò)特殊值的選取、相互數(shù)的選取及整體代數(shù)式的選取等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而構(gòu)建出f(-x)與f(x)之間的關(guān)系,得以巧妙確定抽象函數(shù)的奇偶性,并在奇偶性的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些相關(guān)的綜合與應(yīng)用。

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1。

(1)若函數(shù)g(x)=f(x)-1,證明:g(x)是奇函數(shù);

(2)若f(1)=2,解不等式f(m2-4m-9)＜4。

解析：(1)令a=b=0,則f(0)=2f(0)-1,可得f(0)=1。

令b=-a,則f(0)=f(a)+f(-a)-1=1,即[f(a)-1]+[f(-a)-1]=0。

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-1,所以g(x)+g(-x)=0,又g(x)的定義域也是R,所以g(x)是奇函數(shù)。

(2)設(shè)?x1,x2∈R,且x1＜x2,則x2-x1＞0,有f(x2-x1)＞1。

因?yàn)閒(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,則有f(x1)＜f(x2),所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)。

因?yàn)閒(1)=2,所以f(2)=2f(1)-1=3,所以f(3)=f(1)+f(2)-1=4,那么不等式f(m2-4m-9)＜4 等價(jià)于f(m2-4m-9)＜f(3),則有m2-4m-9＜3,解得-2＜m＜6,故原不等式的解集為{m|-2＜m＜6}。

點(diǎn)評(píng):在解決與抽象函數(shù)的奇偶性的判定及相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí),賦值法思維是一種常見(jiàn)的思維技巧。其實(shí),涉及抽象函數(shù)中特殊函數(shù)值的求解,抽象函數(shù)中關(guān)于x的不等式的求解等問(wèn)題,往往都離不開(kāi)賦值法思維及其應(yīng)用。

三、抽象函數(shù)的周期性

在研究抽象函數(shù)的周期性中,往往通過(guò)含有抽象遞推函數(shù)的關(guān)系式,或賦值法處理,或恒等變形處理,合理借助關(guān)系式的特征結(jié)構(gòu)變形,最終得到關(guān)系式f(x+T)=f(x)(其中T為正數(shù)),進(jìn)而確定其周期性問(wèn)題,并在周期性的基礎(chǔ)上進(jìn)行周期的判斷、函數(shù)值求解及相關(guān)的綜合應(yīng)用。

例3已知函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x,y∈R,有f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,則f(1)+f(2)+…+f(90)=( )。

A.-2 B.0 C.2 D.4

解析：由于f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),令x-y=2,即x=y+2,結(jié)合f(2)=0,可得f2(y+2)-f2(y)=0,即|f(y+2)|=|f(y)|,可得函數(shù)|f(y)|是以2為周期的函數(shù)。

由f(2)=0,可得f(2n)=0,n∈N*。

由題意知f(2n+1)f(2n-1)=f2(2n)-f2(1)=-4＜0,且|f(2n+1)|=|f(2n-1)|,可得f(2n+1)=-f(2n-1),所以f(x+2)=-f(x)恒成立,則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),那么函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)。

而f(1)=2,f(2)=0,進(jìn)而求得f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(2)=0,則有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0。

所以f(1)+f(2)+…+f(90)=22×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2。

故選擇答案:C。

點(diǎn)評(píng):涉及此類(lèi)比較復(fù)雜且有明顯規(guī)律的函數(shù)值之間的連續(xù)和、積等問(wèn)題時(shí),往往離不開(kāi)抽象函數(shù)的周期性的判斷與應(yīng)用。解決問(wèn)題時(shí),要合理根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式,通過(guò)賦值法等方法處理,結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理與歸納,確定函數(shù)的周期,進(jìn)而進(jìn)行求值處理。

四、抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

在研究抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性時(shí),綜合抽象函數(shù)的奇偶性,可以合理聯(lián)系起相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。若函數(shù)y=f(ax+b)為偶函數(shù),則函數(shù)圖像關(guān)于直線x=b對(duì)稱(chēng);若函數(shù)y=f(ax+b)為奇函數(shù),則函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)。在解決抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的判定與應(yīng)用時(shí),要注意代換法的巧妙應(yīng)用。

例4已知函數(shù)y=f(2x+1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),函數(shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),則下列說(shuō)法正確的是( )。

A.f(1)=0

B.f(1-x)=f(1+x)

C.f(x)的周期為2

D.f(x)=

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(2x+1)的圖像關(guān)于直線x=1 對(duì)稱(chēng),所以f[2(1+x)+1]=f[2(1-x)+1],即f(2x+3)=f(3-2x)。

用x代換上式中的2x,可得f(x+3)=f(3-x),所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)。

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),所以f(1+x+1)+f(1-x+1)=0,即f(2+x)+f(2-x)=0,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)。

對(duì)于f(x+3)=f(3-x),將x+1替換x,可得f(x+4)=f(2-x);

對(duì)于f(2+x)+f(2-x)=0,將x+2替換x,可得f(x+4)=-f(-x)。

所以f(2-x)=-f(-x),將-x替換x,可得f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)的最小正周期為4,所以選項(xiàng)C,D 錯(cuò)誤。

對(duì)于選項(xiàng)B,f(x+3)=f(3-x),將x-3替換x,可得f(x)=f(6-x)。

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為4,所以f(6-x)=f(2-x),所以f(x)=f(2-x),將x+1替換x,可得f(x+1)=f(1-x),故選項(xiàng)B正確。

對(duì)于選項(xiàng)A,由f(x+1)=f(1-x),可得直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸,所以不能確定f(1)=0是否成立,故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。

故選擇答案:B。

點(diǎn)評(píng):抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性還與函數(shù)的圖像、導(dǎo)函數(shù)的圖像與性質(zhì)之間存在一定的聯(lián)系:若函數(shù)f(x)在定義域上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,則有:①函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)?導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng);②函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,f(a))對(duì)稱(chēng)?導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)。

涉及抽象函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題,關(guān)鍵還是離不開(kāi)函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)的相關(guān)定義與應(yīng)用,綜合一些相關(guān)的特殊值法、賦值法、化歸變換法等,借助合理的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等來(lái)綜合與應(yīng)用,因此,同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)過(guò)程中,要加以重視。