■江蘇省通州高級中學 邵春燕

導數(shù)是近幾年高考中的必考知識,通過導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)。在高考試題中,導數(shù)只不過是創(chuàng)設試題情境的一種取向,求導的過程并不難,它不是試題的最終落腳點,它的最終落腳點應是考查函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等重要的知識,以及等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要的數(shù)學思想方法。本文綜合2023 年高考中導數(shù)及其應用的考查及各方面的信息反饋,總結導數(shù)及其應用的高考導向主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

一、導數(shù)的幾何意義問題

對于導數(shù)的幾何意義,有時直接考查相關的幾何意義,但經(jīng)常也通過幾何意義的變換來加以考查,注意這是一大導向。利用導數(shù)的幾何意義,可以求解曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率、切點、切線方程、參數(shù)等問題。

故選擇答案:C。

點評:導數(shù)的幾何意義在高考中的考查方式往往是通過給定切線的方程、切線的斜率、切線與已經(jīng)直線的位置關系等,結合導數(shù)的運算、關系式的確定等來求解切線的相關問題(斜率、方程)、參數(shù)問題、切線的條數(shù)問題等,是高考中比較常見的考點之一,也是我們平時要加以熟練掌握的一個知識點。

二、函數(shù)的單調(diào)性問題

利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,這是導數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律上的一個應用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法。用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可以用來解決確定單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)單調(diào)性,處理相應的圖像與參數(shù)問題,比較大小關系,以及證明不等式等,同時也是解決函數(shù)的極值與最值的基礎所在。

例2(2023 年高考數(shù)學全國乙卷理科·16)設a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是_____。

解析：因為f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f'(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)＞0在(0,+∞)上恒成立。

令g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),則g'(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,故導函數(shù)f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

所以f'(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln[a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1,結合a∈(0,1),解得≤a＜1,即a的取值范圍是。

點評:判斷函數(shù)的單調(diào)性或利用函數(shù)的單調(diào)性進行解題,都是命題中比較常見的題型。這里借助函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增(或減),則其對應的導函數(shù)恒為正數(shù)(或負數(shù)),借助不等式的構建,為參數(shù)值的求解或其他相關應用奠定基礎。在實際解題過程中,經(jīng)常結合分類討論、構造、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法。

三、函數(shù)的極值問題

函數(shù)的極值是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)時給出的一個概念,是局部性的,它只是在與極值點近旁的所有點的函數(shù)值相比較為較大或較小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小。函數(shù)的極值問題往往涉及極值的確定、參數(shù)的求解等問題,往往與函數(shù)的單調(diào)性一起加以考查。

例3(2023 年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷·11)(多選題)若函數(shù)f(x)=alnx+既有極大值也有極小值,則下列結論正確的是( )。

A.bc＞0 B.ab＞0

C.b2+8ac＞0 D.ac＜0

故選擇答案:BCD。

四、函數(shù)的綜合應用問題

導數(shù)是近幾年高考中的必考知識,通過導數(shù)研究函數(shù)的基本性質(zhì),合理聯(lián)系起函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值,并與方程、不等式等方面進行交匯,融合函數(shù)與導數(shù)的知識在解答題中的應用。

例4(2023 年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷·19)已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)證明:當a＞0時,f(x)＞2lna+。

解析：(1)依題知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f'(x)=aex-1。

若a≤0,則f'(x)＜0,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減。

若a＞0,由f'(x)=aex-1=0,解得x=-lna。則當x∈(-∞,-lna)時,f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(-lna,+∞)時,f'(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。

綜上分析,當a≤0 時,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減;當a＞0時,函數(shù)f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-lna,+∞)上單調(diào)遞增。

(2)由(1)知,當a＞0 時,f(x)min=f(-lna)=a(e-lna+a)+lna=1+a2+lna。

點評:此類涉及函數(shù)的不等式恒成立或證明不等式問題,解題思維與方向相對比較明確,關鍵就是構造比較恰當?shù)暮瘮?shù),把不等式恒成立問題加以合理轉(zhuǎn)化,借助導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值問題。

涉及導數(shù)及其應用問題,關鍵是理解與掌握導數(shù)的概念、導數(shù)的幾何意義,充分理解導數(shù)的基本運算,會用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及閉區(qū)間上的最值問題,并會利用導數(shù)解決實際問題。這部分內(nèi)容主要考查:導數(shù)的相關概念及其運算,以及利用導數(shù)來解決相應的函數(shù)問題等。一般概念與運算問題以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),而利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)問題以解答題的形式出現(xiàn)。