■西北師范大學(xué)附屬中學(xué) 緱小鋒

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線,對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著重要的意義,每年高考卷都將其作為必考題,出現(xiàn)在選擇題或填空題中,常以基本函數(shù)、基本函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)為載體,對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查,考查的內(nèi)容有函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性、圖像等,且常與導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想方法。本文著重梳理高考中函數(shù)四大性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)的命題方向分析。

一、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

1.利用單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.利用單調(diào)性求函數(shù)的值域

在利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求值域。

例2已知函數(shù)f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù),且f(f(x)-2x-2x)=10,則f(x)在[-2,2]上的值域?yàn)開___。

解析：因?yàn)閒(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù),所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,則f(x)-2x-2x=t,所以f(t)-2t-2t=t,即f(t)=2t+3t=10。因?yàn)楹瘮?shù)y=2t+3t為增函數(shù),且22+3×2=10,所以t=2,f(x)=2x+2x+2。易知f(x)在[-2,2]上為增函數(shù),且f(-2)=,f(2)=10,故f(x)在[-2,2]上的值域?yàn)椤?/p>

3.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時(shí),通常要把參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較,利用區(qū)間與端點(diǎn)之間的關(guān)系求參數(shù)。同時(shí)注意函數(shù)定義域的限制,遇到分段函數(shù)時(shí)要注意分點(diǎn)與左右端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系。

例3已知函數(shù)f(x)=滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2,且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)＜0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

例4已知函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+3)在[0,1]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

A.(0,1) B.(1,4)

C.(0,1)∪(1,4) D.[2,4)

4.利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小

對(duì)于比較函數(shù)值大小的問(wèn)題,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。

二、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性有如下結(jié)論:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇×(÷)奇=偶;奇×(÷)偶=奇;偶×(÷)偶=偶。復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的奇偶性原則:外奇內(nèi)奇為奇;外奇內(nèi)偶為偶;外偶內(nèi)奇為偶;外偶內(nèi)偶為偶。

1.函數(shù)的奇偶性的判斷

在解決函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合的問(wèn)題時(shí),要注意函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義,以及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性。

例6下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是( )。

A.y=lgxB.y=

C.y=2|x|D.y=tanx

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,y=lgx的定義域?yàn)?0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以為非奇非偶函數(shù),故選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又因?yàn)閒(-x)==-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),但在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,f(x)=2|x|的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又因?yàn)閒(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故選項(xiàng)C 錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,f(x)=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=tanx為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,故選項(xiàng)D 正確。故選D。

2.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例7若函數(shù)f(x)=log2(16x+1)-ax是偶函數(shù),則loga2=________。

解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),定義域?yàn)镽,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)=f(-x),即log2(16x+1)-ax=log2(16-x+1)+ax,所以2ax=log2(16x+1)-log2(16-x+1)=log216x=4x,由題意知該式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,所以2a=4,解得a=2,所以loga2=1。

例8已知函數(shù)f(x)=2x2+ax+2,若f(x+1)是偶函數(shù),則a=________。

解析：因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),即2(-x+1)2+a(-x+1)+2=2(x+1)2+a(x+1)+2,即8x=-2ax,解得a=-4。

3.已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

三、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性

1.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則f(a+x)=f(a-x);

(2)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b;

(3)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(a-x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

(4)若函數(shù)y=f(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a＜b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a);

(5)若函數(shù)y=f(x)的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(b,c)(a＜b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a);

(6)若函數(shù)y=f(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0)(a＜b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=4(b-a)。

例11定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(4+x)=0,f(2+2x)是偶函數(shù),f(1)=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )。

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(2 023)=-1

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閒(2+2x)是偶函數(shù),所以f(2-2x)=f(2+2x),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2 對(duì)稱,所以f(-x)=f(4+x),因?yàn)閒(x)+f(4+x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),則選項(xiàng)A 正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閒(4+x)=-f(x),所以f(8+x)=-f(4+x),所以f(8+x)=f(x),所以f(x)的周期為8,所以f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1,則選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,若f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(3)=f(-1),但是f(-1)=-f(1)=-1,f(3)=f(1)=1,即f(3)≠f(-1),這與假設(shè)條件矛盾,則選項(xiàng)C 錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,將x=代入f(2-2x)=f(2+2x),得f(3)=f(1)=1,將x=1 代入f(x)+f(4+x)=0,得f(5)=-f(1)=-1,同理可知f(7)=-f(3)=-1,又因?yàn)閒(x)的周期為8,所以f(x)的正奇數(shù)項(xiàng)的周期為4,所以=f(1)+2f(3)+3f(5)+…+100f(199)=[f(1)+2f(3)+3f(5)+4f(7)]+[5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)]+…+[97f(193)+98f(195)+99f(197)+100f(199)]=25×(-4)=-100,則選項(xiàng)D 正確。故選C。

2.類周期函數(shù)

若y=f(x)滿足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),則y=f(x)的橫坐標(biāo)每增加m個(gè)單位,函數(shù)值就擴(kuò)大k倍。此函數(shù)稱為周期為m的類周期函數(shù)。

例12定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=3f(x),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x2-2x,若當(dāng)x∈[-4,-2]時(shí),f(x)≥恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為( )。

3.抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

例13已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,有＞0,若f(1)=0,則不等式(x-1)f(x)＞0的解集是( )。

A.(-1,1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

例14已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有＞0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )。

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)的周期T=4

C.f(2 022)=0

D.f(x)在(-4,-2)上單調(diào)遞減

解析：由y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(1+x-1)=f(1-x-1),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函數(shù),所以A正確;由f(x+4)-f(x)=2f(2),可令x=-2,得f(2)=0,則f(x+4)=f(x),故f(x)的周期T=4,所以B正確;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=0,所以C 正確;又f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,則f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,由周期T=4,知f(x)在(-4,-2)上單調(diào)遞增,所以D 錯(cuò)誤。故選D。

四、函數(shù)性質(zhì)的綜合

例15已知函數(shù)f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7,則不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集為( )。

解析：由函數(shù)f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7=ex-2+e2-x+2(x-2)2-1,所以f(x+2)=ex+e-x+2x2-1。令g(x)=f(x+2)=ex+e-x+2x2-1,可得g'(x)=exe-x+4x。令h(x)=g'(x)=ex-e-x+4x且h(0)=0,可得h'(x)=ex+e-x+4＞0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)＞h(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又因?yàn)間(-x)=e-x+ex+2(-x)2-1=ex+e-x+2x2-1=g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù),則在(-∞,0)上單調(diào)遞減。又由f(2x+3)＞f(x+2),即g(2x+1)＞g(x),即|2x+1|＞|x|,整理得3x2+4x+1＞0,解得x＞或x＜-1,即不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集為(-∞,-1)∪。故選B。

例16設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2,若對(duì)任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )。

同學(xué)們?cè)趥淇己瘮?shù)知識(shí)時(shí)應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練,考查難度的跨度大,既有容易題,也有中檔題,更有困難題,而且常考常新。其中指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ),要求同學(xué)們?cè)诶斫獾幕A(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì),準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì),會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題,會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí),指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)點(diǎn),同學(xué)們應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。