李 清, 蘇 強, 鄧國英

(1.上海政法學(xué)院 經(jīng)濟管理學(xué)院,上海 201701; 2.同濟大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院,上海 200092; 3.上海市第一人民醫(yī)院 創(chuàng)傷中心,上海 201620)

0 引言

骨盆骨折是由骨盆直接擠壓引起的嚴(yán)重創(chuàng)傷,常伴有其他器官和系統(tǒng)損傷,致殘率高達(dá)50%～60%。近年來,機動車和工傷事故頻繁發(fā)生,骨盆骨折已成為骨科常見的損傷[1]。嚴(yán)重的骨盆骨折會導(dǎo)致失血性休克和重要臟器損傷,救治不當(dāng)會產(chǎn)生高達(dá)10.2%的死亡率。根據(jù)骨盆的穩(wěn)定性,骨科創(chuàng)傷協(xié)會采用Tile分型方法將其分為A穩(wěn)定型,B部分穩(wěn)定型和C不穩(wěn)定型三類[2],B型和C型患者通常建議手術(shù)治療。骨盆骨折急救遵守創(chuàng)傷生命支持原則,首先搶救生命,生命體征穩(wěn)定后再進(jìn)行相關(guān)檢查,確定創(chuàng)傷類型,制定骨折手術(shù)計劃。在醫(yī)療資源共享背景下,優(yōu)化手術(shù)安排,合理分配醫(yī)療資源至關(guān)重要。本文創(chuàng)新點如下:

(1)根據(jù)患者入院時生命狀態(tài)將其分為恢復(fù)期和計劃期兩類,恢復(fù)期患者經(jīng)過隨機恢復(fù)時間到生命穩(wěn)定狀態(tài)后手術(shù)。(2)建立馬爾科夫決策過程模型,得到最優(yōu)分配策略,分析最優(yōu)策略結(jié)構(gòu)性質(zhì)。(3)調(diào)整恢復(fù)期患者的恢復(fù)時間、數(shù)量和參數(shù),設(shè)置不同形式懲罰函數(shù),進(jìn)行敏感性分析。

1 文獻(xiàn)綜述

手術(shù)是醫(yī)院重要的收入來源,也是不可忽視的成本中心,手術(shù)資源利用直接影響手術(shù)服務(wù)水平。在預(yù)約調(diào)度和手術(shù)分配方面,以傳統(tǒng)預(yù)約排期模型為基礎(chǔ),XIAO等[3]建立三類患者臨床預(yù)約的隨機規(guī)劃模型,采用先進(jìn)調(diào)度方法優(yōu)化性能指標(biāo)。LIU等[4]考慮不同部門的計劃和容量,統(tǒng)計住院時間和住院人數(shù),建立MDP模型制定每日手術(shù)安排計劃。

醫(yī)療設(shè)備動態(tài)分配方面,朱黎敏等[5]考慮三類患者,以最大化滿足患者檢查為目標(biāo)建立有限階段馬爾科夫決策支持模型,制定最優(yōu)預(yù)約調(diào)度策略。針對CT室的管理,周杰等[6]以最大化系統(tǒng)期望收益為目標(biāo),建立MDP模型,制定不同容量的管理策略,研究不同策略對患者等待時間的影響。GENG和XIE[7]考慮兩類不同等待時間和收益的患者,建立MDP模型,優(yōu)化門診調(diào)度。劉陽和耿娜[8]考慮患者不同需求、患者失約和醫(yī)生加班等情況,以最大化檢查的期望收益和最小化加班懲罰成本為目標(biāo),建立有限時間MDP模型。

考慮隨機因素是手術(shù)調(diào)度研究的熱點?；陔S機手術(shù)時間、住院時間和手術(shù)室容量有限等情況,SHEHADEH和PADMAN[9]以最小化手術(shù)成本和延誤成本為目標(biāo)建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃,設(shè)計自適應(yīng)列約束生成算法求解。SAADOULI等[10]綜合考慮手術(shù)時間和恢復(fù)室容量的不確定,研究骨科手術(shù)患者的擇期手術(shù)排序問題。JIANG等[11]考慮手術(shù)時間隨機和患者隨機缺席情況,建立分布式魯棒優(yōu)化模型,對手術(shù)室調(diào)度問題進(jìn)行優(yōu)化。

已有研究多面向全院患者,設(shè)計一臺或多臺設(shè)施的分配策略。本文聚焦創(chuàng)傷領(lǐng)域,為骨盆骨折患者制定手術(shù)分配策略。第2節(jié)建立馬爾科夫決策過程模型;第3節(jié)設(shè)計實驗,分析得出相關(guān)結(jié)論;第4節(jié)總結(jié)全文,指出文章不足和未來拓展研究。

2 考慮隨機恢復(fù)時間的馬爾科夫決策過程模型

2.1 問題描述

本文將手術(shù)患者分為恢復(fù)期和計劃期兩類,計劃期患者入院時生命狀態(tài)穩(wěn)定,確定骨折類型后制定手術(shù)方案。生命狀態(tài)不穩(wěn)定的患者首先搶救生命,術(shù)后恢復(fù)至穩(wěn)定狀態(tài)再接受骨盆骨折手術(shù),這類患者為恢復(fù)期患者。恢復(fù)時間受到患者年齡、身體狀況和骨折類型等因素影響,設(shè)置隨機恢復(fù)時間。系統(tǒng)中同時存在兩類患者時,從中選擇一類患者進(jìn)行手術(shù),以最大化期望收益。

2.2 模型建立

每次選擇一個患者進(jìn)行手術(shù),產(chǎn)生收益;滿足條件而沒手術(shù)的患者在隊列等候,產(chǎn)生等待成本;規(guī)劃期結(jié)束仍沒手術(shù)的患者產(chǎn)生懲罰成本。

符號的定義和說明如下:

T(t=1,2,…,T):服務(wù)周期總數(shù)α=0.1,2:決策集合c:恢復(fù)期患者s:計劃期患者rti(i=1,2,…,n):恢復(fù)期患者恢復(fù)時間at∈{0,1}:t周期計劃期患者的預(yù)約計劃rc:恢復(fù)期患者每臺手術(shù)收益rs:計劃期患者每臺手術(shù)收益wc:恢復(fù)期患者每周期等待成本ws:計劃期患者每周期等待成本kc:恢復(fù)期患者的懲罰成本ks:計劃期患者的懲罰成本prti∈[0,1]:不同恢復(fù)期患者的到達(dá)概率ps:計劃期患者接受手術(shù)的概率ct:t周期等待手術(shù)的恢復(fù)期患者st:t周期等待手術(shù)的計劃期患者nct:t周期進(jìn)行手術(shù)的恢復(fù)期患者數(shù)量nst:t周期進(jìn)行手術(shù)的計劃期患者數(shù)量cut:t周期后沒有手術(shù)的恢復(fù)期患者數(shù)量sut:t周期后沒有手術(shù)的計劃期患者數(shù)量S=(ct,st):t周期狀態(tài)空間Vαt(ct,rti,st):t周期狀態(tài)S選擇決策α的收益f(cut,sut):懲罰函數(shù)線性形式:f(cut,sut)=-cut·kc-sut·ks非線性形式:f(cut,sut)=-c2ut·kc-s2ut·ks

本文以最大化期望收益為目標(biāo),建立有限階段馬爾科夫決策過程模型,采用后向迭代算法求解。

(1)狀態(tài)空間

系統(tǒng)狀態(tài)采用向量S=(ct,rt0,st)表示,其中,st表示第t周期等待手術(shù)的計劃期患者數(shù)量;ct,rt0表示第t周期恢復(fù)時間為0的恢復(fù)期患者數(shù)量。ct,rti(i=1,2,…,n)表示第t周期恢復(fù)時間為i的恢復(fù)期患者數(shù)量。

(2)決策集合

3種決策,α=1選擇恢復(fù)期患者手術(shù),α=2選擇計劃期患者手術(shù),α=0不選擇患者手術(shù)。

(3)轉(zhuǎn)移概率

計劃期患者以概率pt(st+1|st,αt)轉(zhuǎn)移到t+1周期,如式(1)。

(1)

αt為第t周期決策;nst為第t周期手術(shù)的計劃期患者數(shù)量,αt=2時,nst=1。

恢復(fù)時間為0的恢復(fù)期患者,其轉(zhuǎn)移概率為式(2)。

pt(cr+1,rt0|ct,rt0,αt)

(2)

nct表示第t周期手術(shù)的恢復(fù)期患者數(shù)量,αt=1時,nct=1?；謴?fù)時間為i的恢復(fù)期患者,其轉(zhuǎn)移概率如式(3)。

pt(cr+1,rti|ct,rti,At,rti)

(3)

At,rti為患者的聯(lián)合到達(dá)概率。

(4)收益函數(shù)

(4)

式(4)是一個遞歸結(jié)構(gòu),其詳細(xì)展開式如式(5)。

(5)

(6)

t周期有ct,rt0個恢復(fù)期患者和st個計劃期患者,等待成本為-ct,rt0·wc-st·ws。若恢復(fù)時間為1的恢復(fù)期患者在t周期到達(dá),且無計劃期患者,概率為pt,rt1·(1-ps·at+1),系統(tǒng)進(jìn)入新狀態(tài)(ct,rt0+1,st);若計劃期患者按時接受手術(shù),且恢復(fù)時間為1的恢復(fù)期患者在t周期到達(dá),概率為pt,rt1·ps·at+1,系統(tǒng)進(jìn)入新狀態(tài)(ct,rt0+1,st+1)。最優(yōu)決策見式(6)。

式(6)的最終狀態(tài)見式(7)。

(7)

式(7)為未手術(shù)患者的懲罰成本。

該問題的目標(biāo)函數(shù)如式(8)。

(8)

3 案例分析與討論

采用Matlab R2013a自帶求解器,筆記本電腦的操作系統(tǒng)為Windows 7,CPU為:Intel Core i3-3227U,主頻為1.90 GHz,內(nèi)存為4GB。

3.1 數(shù)據(jù)收集和參數(shù)設(shè)定

收集上海市第一人民醫(yī)院2015～2020年骨科的數(shù)據(jù),設(shè)置3種恢復(fù)期患者,其恢復(fù)時間分別為1,2和3,參數(shù)設(shè)置見表1。等待成本等于每日住院費用加每日平均工資,等待幫助恢復(fù)期患者達(dá)到更穩(wěn)定的生命狀態(tài),因此其等待成本小于計劃期患者。規(guī)劃期末沒有安排手術(shù)的患者將流失,恢復(fù)期患者有更高的收益和風(fēng)險,因此其懲罰成本大于計劃期患者。

表1 參數(shù)設(shè)置

3.2 實驗結(jié)果與討論

(1)決策路徑分析

初始狀態(tài)(期初各患者數(shù)量)和各服務(wù)周期患者到達(dá)情況已知,考慮8個服務(wù)周期,求解MDP模型得到狀態(tài)路徑(各周期等待患者數(shù)量)和決策路徑(各周期決策),見表2。

表2 決策路徑分析

(2)最優(yōu)分配策略——開關(guān)曲線

任一周期患者的最大數(shù)量為ct,rt0=st=5·t。第三個周期中患者最多等待人數(shù)為15,本文采用第三個周期來解釋最優(yōu)分配策略。

采用非線性懲罰函數(shù)得到最優(yōu)分配策略,如圖1。該場景有3個恢復(fù)期患者,其恢復(fù)時間分別為1,2和3,ct,rti=1,i=1,2,3,記為S1(1-1-1)。

圖1 S1(1-1-1)的最優(yōu)分配策略(t=3)

在任一服務(wù)周期,給定計劃期患者數(shù)量,當(dāng)恢復(fù)期患者數(shù)量小于關(guān)鍵指標(biāo)時,選擇計劃期患者手術(shù),反之,選擇恢復(fù)期患者手術(shù)。開關(guān)曲線展示了實時動態(tài)資源分配情況。

(3)關(guān)鍵指標(biāo)單調(diào)性

圖2 S3(1-1-2)最優(yōu)分配策略

圖3 S4(1-4-1)最優(yōu)分配策略

(4)關(guān)鍵指標(biāo)與恢復(fù)期患者數(shù)量的關(guān)系

假設(shè)恢復(fù)時間為1,2和3的恢復(fù)期患者數(shù)量最多為6,4和2個,構(gòu)造48(6×4×2)種場景。i-j-k分別表示3類恢復(fù)期患者數(shù)量。定義5種場景:S1,1-1-1;S2,0-0-0;S3,1-1-2;S4,1-4-1;S5,6-1-1。表3比較了各場景下ncp,Δn和Δcr的值。ncp表示恢復(fù)期患者數(shù)量,Δn表示S1與其他場景ncp的差值,Δcr表示S1與其他場景關(guān)鍵指標(biāo)的差值。

表3 不同場景下關(guān)鍵指標(biāo)值的比較(t=3)

綜上,ncp相同的場景有相同分配策略,ncp=6和ncp=7除外。ncp相同,恢復(fù)時間為1的恢復(fù)期患者為1個時,最初的2-3個關(guān)鍵指標(biāo)與其他場景不同,后續(xù)值一樣。當(dāng)恢復(fù)時間為1的恢復(fù)期患者數(shù)量大于1時,恢復(fù)期患者比計劃期患者享有優(yōu)先權(quán)。

S1與其他場景關(guān)鍵指標(biāo)差值≤S1與其他場景間ncp差值;隨著計劃期患者的增加,不同場景間關(guān)鍵指標(biāo)差值不斷增加,直至到達(dá)最大值ncp。關(guān)鍵指標(biāo)值越大,恢復(fù)期患者優(yōu)先權(quán)越低;ncp越大,恢復(fù)期患者優(yōu)先權(quán)越高。

(5)恢復(fù)期患者數(shù)量對最優(yōu)策略的影響

圖4 S5(6-1-1)最優(yōu)分配策略

4 結(jié)論

本文在有限規(guī)劃期內(nèi),研究了計劃期和恢復(fù)期兩類骨盆骨折創(chuàng)傷患者的手術(shù)安排問題。收集上海市第一人民醫(yī)院的數(shù)據(jù),設(shè)計患者參數(shù),得到如下結(jié)論:

(1)懲罰函數(shù)采用二次函數(shù)形式時,最優(yōu)分配曲線呈現(xiàn)出開關(guān)曲線形式。懲罰函數(shù)為一次函數(shù)時,選擇哪一類患者手術(shù)取決于患者參數(shù)。

采用二次函數(shù)形式的懲罰函數(shù)時,有以下結(jié)論成立。

(3)在任一服務(wù)周期,恢復(fù)期患者總數(shù)相同的場景通常有相同的分配策略,ncp=6和ncp=7時存在例外?；謴?fù)期患者數(shù)量越多,其享有的優(yōu)先權(quán)越高。此外,各場景關(guān)鍵指標(biāo)差值小于等于不同場景中ncp的差值,隨著計劃期患者數(shù)量增加,關(guān)鍵指標(biāo)的差值呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢。

本文也存在較多不足:首先,初始狀態(tài)隨機設(shè)置患者數(shù)量;其次,沒有考慮患者批量到達(dá)的情況,模型中假設(shè)每個服務(wù)周期只有一個患者到達(dá)。再者,由于骨盆骨折類型、患者身體情況和手術(shù)方案不同,手術(shù)時間因人而異,文中假設(shè)手術(shù)時間為一個服務(wù)周期。未來研究中,應(yīng)考慮上一規(guī)劃周期未手術(shù)的患者數(shù)量,設(shè)置合理的系統(tǒng)初始值。根據(jù)實際情況修改患者的到達(dá)模式,延長規(guī)劃周期,作出連續(xù)決策,更符合現(xiàn)實情況。