江露露

【摘要】如何讓小學生理解抽象的數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律，“數(shù)形結合”就是他們學習數(shù)學的支架。文章通過“以形助學”“以數(shù)解形”“數(shù)形結合”的方法，促進學生深度學習。

【關鍵詞】小學數(shù)學；“數(shù)形結合”；深度學習

深度學習，已經(jīng)成為課堂教學改革的主流。深度學習不但要求學生把握數(shù)學知識的本質，更要把握數(shù)學知識的結構，知道是什么和為什么。然而，在教學實踐中，許多學生對數(shù)學知識的學習只是求于表面，實際上并不知道概念的本質屬性和公式、法則的來龍去脈。那么如何在有限的時間內(nèi)，讓小學生的學習更有意義呢？筆者近幾年的教學研究發(fā)現(xiàn)，利用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想不僅可以幫助學生形象理解，更能促進學生思維的提升。

一、“以形助學”，讓學生深刻理解知識內(nèi)涵

在教學“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中，筆者嘗試利用“數(shù)形結合”的方法來解釋算理。此課作為小數(shù)除法的開端課，在整個單元中有著重要的意義。對于“5.34÷3”該怎么計算，教材中通過單位轉化和小數(shù)的組成這兩種方法，將被除數(shù)轉化成整數(shù)，最后呈現(xiàn)豎式解法。在豎式中，學生最容易出錯的地方便是商的小數(shù)點的定位問題。對此，筆者在兩個班級分別用了兩種不同的教學方式，第一個班根據(jù)教材編排進行教學并設計了如下作業(yè)：

你能解釋一下為什么商是1.78，而不是178呢？

在這份作業(yè)中，66.7%的學生知道豎式中的“3”“21”和“24”表示的含義，46.7%的學生結合之前學習過的小數(shù)的意義和單位轉化來解釋小數(shù)除法中“商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊”這一道理，17.8%的學生通過估算給出了解釋。但讓人感到困惑的是，班級中還有約三分之一的學生知其然，但不知其所以然。

為此，筆者通過對教材中的例題進行適當改編和補充，在另一個班級進行了另一種教學方式：

1.出示情境：小胖、小巧、小丁丁想每人做一個手工送給小亞，現(xiàn)在一起買了一包5.34元的彩紙。如果3人平均攤（AA制），平均每人需要付多少元？

2.結合已有知識解決5.34÷3=（? ）。

（1）估算。

（2）小組討論：5.34÷3=（? ）。

（3）小組反饋。方法一：單位轉換；方法二：小數(shù)的組成；方法三：534÷3÷100。

（4）用小數(shù)的組成（方法二）試一試：完成課本P18。

①12.8÷8=（? ）。

12.8是（? ）個0.1，（? ）÷8=（? ），（? ）個0.1是（? ）。

②8.54÷7=（? ）。

（? ）是（? ）個（? ），（? ）÷（? ）=（? ），（? ）個（? ）是（? ）。

（5）說一說這些方法的共同點：都是將小數(shù)除法轉換成整數(shù)除法。

3.嘗試豎式計算并交流反饋：使用除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法算理。

4.小結歸納除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的計算方法。

在理解豎式算理時，媒體動態(tài)演示將5個1、3個0.1、4個0.01平均分成3份（圖1）的畫面。首先，將3個1平均分成3份，每份即1個1。接著，將剩下的2個1轉換成20個0.1，與之前的3個0.1組合，即將23個0.1再次平均分成3份，每份是7個0.1。然后，將剩下的2個0.1轉換成20個0.01，并與4個0.01合并成24個0.01，每份又分得8個0.01。在具體情境中進行了三次動態(tài)的“分與合”，有效實現(xiàn)了豎式的意義建構。

在這一學習活動中，學生結合圖形的演示去理解小數(shù)除法的計算過程，理解除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法豎式計算的關鍵。第一，當整數(shù)部分有剩余時，可以將它轉換為以0.1為計數(shù)單位的數(shù)，并將其與十分位上的數(shù)合并成幾個0.1，以此類推。第二，理解轉化思想，計算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法本質上就是將其轉換成整數(shù)除法進行計算。第三，在圖形“分與合”的過程中，構建了豎式與圖形之間的關聯(lián)，理解商的每一個數(shù)位上的數(shù)字表示的含義，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊的道理。

由此可見，“以形助學”能夠把看不見、摸不著的思維過程以畫面的形式呈現(xiàn)出來，不但能幫助學生深刻理解，更能讓學生在學習過程中產(chǎn)生興趣，實現(xiàn)深度學習。

二、“以數(shù)解形”，讓學生深度參與知識形成過程

“以數(shù)解形”主要借助于“數(shù)”的精確性、程序性和可操作性來闡明“形”的屬性及用代數(shù)方法解決幾何問題等。

如在三年級第一學期“三角形分類”的教學中，出示以下6組小棒，哪一組的小棒可以圍成三角形？

（1）3cm、4cm、5cm（2）3cm、6cm、9cm

（3）5cm、5cm、5cm（4）4cm、4cm、9cm

（5）4cm、5cm、7cm（6）3cm、3cm、2cm

學生圍繞核心問題：“怎樣的三根小棒才能圍成三角形”展開活動。在拼擺和觀察的過程中，發(fā)現(xiàn)能圍成三角形的只有第（1）、第（3）、第（5）組。另外三組，因為某一根小棒長度較短，所以不具備圍成三角形的條件。接著，引發(fā)了學生的猜想和思考“只有在每組中任意兩根小棒的長度和大于第三根小棒長度的前提下，才能圍成三角形”。為了驗證猜想，學生再次聚焦這些數(shù)據(jù)，隨后例舉更多的數(shù)據(jù)進行驗證，最終歸納發(fā)現(xiàn)其特點。將嚴謹?shù)摹皵?shù)”作為理論的有利支撐，為了讓論點更有說服力，學生再次反向驗證了另外三組不能圍成三角形的數(shù)據(jù)。最終得出結論：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。在拼擺、觀察、猜想、探究、驗證的過程，用數(shù)發(fā)現(xiàn)三角形三邊之間的特殊關系，進一步提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

三、“數(shù)形互助”，讓學生自然分解難點

由于教師在教學時沒有凸顯“乘法分配律”與其他運算定律的本質性區(qū)別，導致學生越學越糊涂。筆者也在設想，能否借助學生的已有經(jīng)驗，嘗試解釋其中的道理?；谝陨纤伎迹诮虒W本課時，以教材中的例題為背景，設計如下教學環(huán)節(jié)：

出示例題1：植樹節(jié)到了，果園里要種一些蘋果樹和梨樹，每行種6棵，蘋果樹種了3行，梨樹種了2行，為了讓小朋友看得更清楚，老師將這些樹用點子圖來表示。請問蘋果樹和梨樹一共有多少棵？如何列示？

1.通過點子圖驗證

（媒體呈現(xiàn)樹圖—點子圖）

（1）展示方法。

方法一：（3+2）×6? 方法二：3×6+2×6

=5×6? ? ? ? ? ? ? =18+12

=30（棵）? ? ? ? ? =30（棵）

（2）交流反饋。生1：先算出有一共有3+2=5行，再乘6得到總棵樹。也可以分別計算蘋果和梨的棵樹，3×6是蘋果樹的數(shù)量，2×6是梨樹的數(shù)量，最后把它們合并起來得出總棵樹。生2：如果把一棵果樹想象成一個點，那么從點子圖上看到，每一行有6個圓，一共有這樣的5行，所以一共有5個6。第二個算式則是分開計算的，紅圓有3個6，黃圓有2個6，3個6加2個6也就是5個6。

（3）小結歸納：借助點子圖，從幾個幾加幾個幾等于幾個幾的角度去分析，也能說明兩種方法解決問題都是正確的。

2.通過面積圖驗證

出示例2：我校的花園是一個長方形，原來長6米，寬3米，擴建后，長不變，寬將增加2米，擴建后的花園面積有多大？你能用兩種方法解答嗎？

（1）交流。生：（3+2）×6=6×3+6×2。

（2）思考：這兩個算式結果相等嗎，為什么？生：第一種算法，先求現(xiàn)在的寬，再根據(jù)長方形面積公式求出擴建后的花園面積。第二種分別求出原來花園的面積和增加部分的面積，最后求兩者之和，合并起來也是大長方形的面積。

（3）追問：如果將（3+2）×6這一算式進行展開，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

（4）結合媒體在方格圖上演示。

生1：（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）+（3+2）。

生2：（3+3+3+3+3+3）+（2+2+2+2+2+2）。

生3：6個3連加就是6×3，6個2連加也就是6×2。

（5）歸納小結：乘法分配律的特征以及字母表達式。

首先，通過具體的情境，從實物圖逐漸抽象成點子圖（圖2），讓“形”對“數(shù)”的實際意義給予了合理的解釋，為后續(xù)建立乘法分配律模型埋下伏筆。其次，通過面積圖讓學生在腦海中初步感受了乘法分配律的特點，并順勢將長方形的長和寬改為字母（圖3）。最后，再次回到乘法分配律的數(shù)學模型，將面積圖與乘法意義建立聯(lián)系，感受乘法分配律的內(nèi)涵。在這一教學過程中，筆者利用幾何模型和數(shù)學模型，幫助學生從不同角度發(fā)現(xiàn)乘法分配律的特點，難點自然化解。

四、“數(shù)形結合”，讓學生掌握學習方法

在幾何教學中，如何讓抽象的題干變得具體，這就需要學生“數(shù)形結合”，利用直觀的圖示幫助其獲得學習的路徑，找到解決問題的方法。學生在審題的過程中，逐步根據(jù)題目的信息畫出具體的圖示，讓復雜繁瑣的題目變成一幅清晰、簡單的“圖示說明書”，也讓數(shù)學學習更有趣、更直觀。

例如五年級第二學期“體積與容積” 中有這樣一題：有一個長12.5cm，寬10cm，高8cm的長方體水缸，原來水面高度為6cm，放入一個棱長為5cm的鐵塊后，現(xiàn)在水面高度是多少厘米？

兩位學生在草稿上給出了不同的圖示：

本題主要考察的是學生對于體積與容積的掌握情況，對于五年級的學生來說，具有一定難度。第一位同學是班上一位學習能力中等的孩子，對于此類較復雜的幾何題，她沒有直接寫算式，而是在草稿上（圖4）分別畫了鐵塊進入水缸前后的草圖。此同學根據(jù)所畫的兩幅圖，先算出了水缸中原有水的體積，再算出加入鐵塊后，水缸中物體的總體積，最后求得現(xiàn)在水的高度。第二位學生的草稿（圖5）與第一位同學不同的是，該學生只畫了一幅示意圖。在計算時，也并沒有算出水缸中現(xiàn)有物體的總體積，而是只求出了鐵塊的體積（水缸中物體增加的體積），最后根據(jù)體積公式，得出了水面上升的高度。

可以看到兩位同學雖然解題方法不同，但都是借助幾何圖形的直觀性，在頭腦中形成有關體積和容積的表象，將抽象的數(shù)學概念轉換為形象的圖形表征，以“數(shù)形結合”的方式找到了學習路徑，從而作出準確判斷。

相信教師在日常教學中經(jīng)常合理使用“數(shù)形結合”，孩子們會潛移默化地感受到“數(shù)形結合”的魅力，自覺地應用到自己解決實際問題的過程中，學習的主體性、能動性、獨立性會不斷生成、發(fā)展和提升，實現(xiàn)主動的深度學習。

總之，深度學習是一種浸潤體驗、建構知識、反思消化的學習過程。在深度學習中，教師首先要轉變自己的教學觀念和教學行為，抓住教學內(nèi)容的本質屬性，把握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，設計合理的“數(shù)形結合”教學內(nèi)容，發(fā)揮學生的主體作用。只有師生的傾情投入，深度學習才能真正發(fā)生。

【參考文獻】

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀（上） [J].小學數(shù)學教師，2013（06）.

[2]張詩德，廖云，張文勇.探索“導主和諧”教育模式，培養(yǎng)師生發(fā)展性學力[J].北京教育學院學報，2003（02）.