戚 丹, 包騰飛, 趙 珍

(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學院 水利工程學院, 陜西 楊凌 712100; 2.河海大學 水利水電學院, 江蘇 南京 210098)

1 前 言

內(nèi)外環(huán)境的復雜性導致了水工混凝土結(jié)構(gòu)中裂縫的產(chǎn)生具有不可預見性,裂縫擴展寬度是裂縫發(fā)展及壩體變形的重要參量,建立相應(yīng)的裂縫開度預測模型,就能準確預測裂縫開度及其變化趨勢,判斷裂縫是否會發(fā)生失穩(wěn)擴展,監(jiān)控大壩結(jié)構(gòu)是否安全。國外主要研究塑料光纖傳感器如何監(jiān)測建筑物應(yīng)變、位移等,在裂縫監(jiān)測方面涉足較少;國內(nèi)主要研究混凝土壩裂縫定量監(jiān)測及POF布設(shè)和開裂條件下塑料光纖的力光轉(zhuǎn)換特性等[2-3],對基于POF傳感裝置的裂縫開展預測研究較少,本文將在以往研究不同光纖方位下光損耗值與裂縫開度的關(guān)系特性的基礎(chǔ)上,嘗試將不同光纖方位下光損耗值與裂縫開度關(guān)系進行量化,建立不同方位下裂縫開度預測模型,利用此預測模型由測量所得的光損耗值確定裂縫的擴展寬度,為后續(xù)進一步研究打下基礎(chǔ)。

2 多項式回歸預測模型

2.1 多項式回歸分析

回歸分析是一種傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法,建立在對有相互關(guān)系的客觀事物大量試驗和觀察的基礎(chǔ)上,用來尋找聯(lián)系不確定的客觀現(xiàn)象之間的統(tǒng)計規(guī)律,即處理變量x與y之間關(guān)系的一種統(tǒng)計方法和技術(shù)[4]?；貧w分析模型揭示事物間相關(guān)變量的數(shù)量關(guān)系,模型的建立涉及幾個重要步驟,如圖1所示。首先通過分析實際問題的目的設(shè)置因變量y,并選取影響y值的自變量x;其次進行這些變量數(shù)據(jù)的收集、整理,以便后期建立模型;然后尋找適當?shù)臄?shù)學形式來描述這些變量之間的關(guān)系(通過繪制散點圖來選擇數(shù)學模型,即將數(shù)據(jù)點繪制在坐標系中,根據(jù)這些點的分布狀況最接近哪種曲線就用相應(yīng)的函數(shù)來描述);最后,在回歸模型建立之后,為了驗證這個模型是否準確,進行回歸模型的統(tǒng)計檢驗(包括擬合優(yōu)度檢驗等)[5-6]。

圖1 回歸模型建模步驟圖

多項式回歸分析是研究一個因變量與一個自變量或與多個自變量間的多項式關(guān)系的回歸分析方法,包括一元多項式回歸和多元多項式回歸。舉例如下:

一元n次多項式回歸方程:

yi=ao+a1x+a2x2+…+anxn+εa

(1)

二元二次多項式回歸方程:

(2)

式中:a0、b0為回歸常數(shù);εa、εb為隨機誤差;al、a2、…、an以及b1、b2、…、b12稱為回歸系數(shù)。

當兩變量呈曲線關(guān)系時,需要用曲線方程式來擬合兩個變量的數(shù)學關(guān)系,設(shè)其中的因變量為y,自變量為x,則兩變量之間的關(guān)系可用式(2)來描述[7]。

2.2 裂縫開度預測模型

在已知不同光纖方位下裂縫開度與光損耗值對應(yīng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,以這些數(shù)據(jù)作為樣本,建立以光損耗值為自變量的裂縫開度預測模型。建立的裂縫開度預測模型涉及兩個變量,分別為光損耗值和裂縫開度,從所研究問題的目的出發(fā),設(shè)置裂縫開度為因變量,光損耗值為自變量。由以往的研究[8]可知光損耗值與裂縫開度關(guān)系呈曲線變化趨勢,因此用式(2)來描述兩變量之間的關(guān)系。

然而當所建模型中自變量的最高次數(shù)小于等于3時,回歸系數(shù)容易解釋,回歸函數(shù)較穩(wěn)定,回歸模型的應(yīng)用不會受到影響。因而,冪次超過3的模型不常使用[1],本文嘗試建立二次多項式回歸模型和三次多項式回歸模型來預測裂縫開度,隨后通過試驗對比確定最優(yōu)的多項式回歸預測模型。

綜上,建立二次多項式回歸模型和三次多項式回歸模型如式(3)、式(4)所示:

y=a0+a1x+a2x2

(3)

y=b0+b1x+b2x2+b3x3

(4)

式中:x為光損耗值;y為裂縫開度;a0、al、a2、a3以及b0、b1、b2、b3為回歸系數(shù)。

3 實例分析

3.1 試驗環(huán)節(jié)

由于塑料光纖傳感器僅停留在試驗研究階段,還未用于實際工程的裂縫監(jiān)測,本次試驗將采用一種簡單的塑料光纖(Plastic optical fiber,簡稱為POF)裂縫傳感器裝置展開。該簡易POF裂縫傳感器如圖2所示,由三部分構(gòu)成,分別為光源(功率為10 mW的紅光筆,發(fā)射光波長為650 nm,與塑料光纖工作波長一致且對人體不造成傷害)、光強度傳感介質(zhì)(為三菱塑料光纖,包括與光源、光功率計連接的0.25 mm直徑塑料光纖尾纖和測裂縫的塑料光纖裸纖)以及光強度測量設(shè)備(型號JW3233的光功率計)。

圖2 塑料光纖裂縫傳感器簡易裝置圖

光源傳輸出來的光經(jīng)過POF尾纖和POF裸纖后到達光功率計,POF裸纖因為外力作用發(fā)生彎曲變形時將出現(xiàn)光的外溢,使得到達光功率計的光的強度發(fā)生改變(變小)。圖3為本次試驗的裂縫模擬試驗示意圖。此時隨著活動玻璃板移動距離越遠(模擬建筑物裂縫擴展),光外溢越厲害,則光損耗越厲害。記錄活動玻璃移動之前的光強度值,再記錄活動玻璃移動時對應(yīng)的光強度值,前者減去后者,可得到由于活動玻璃移動而產(chǎn)生的光強損耗值。重復以上工作便可通過POF裂縫傳感器簡易裝置和裂縫模擬裝置得到多組裂縫開度-光損耗值試驗實測數(shù)據(jù)。

圖3 裂縫模擬試驗示意圖

借助于試驗設(shè)備,同時為了保證所建立模型的精度,增加試驗實測數(shù)據(jù)的樣本量,本次試驗將采用精度為0.1 mm的游標卡尺來測量裂縫開度。最終通過多組試驗,量測裂縫開度為0 mm、0.2 mm、0.4 mm、0.6 mm、……、5.8 mm、6 mm時的光損耗值,共計31組數(shù)據(jù),如表1所示。其中,前21組數(shù)據(jù)用來建立預測模型,后10組數(shù)據(jù)用來驗證模型精度。

表1 試驗實測數(shù)據(jù)表

3.2 預測模型建立

以表1前21組數(shù)據(jù)(即0 mm、0.2 mm、……、3.8 mm、4 mm縫寬及對應(yīng)光損耗值)作為樣本,結(jié)合式(3)和式(4),建立塑料光纖裂縫傳感器在方位角30°、45°、60°、75°下的二次多項式裂縫開度預測模型和三次多項式裂縫開度預測模型,分別如式(5)～式(8)及式(9)～式(12)所示,其中裂縫開度為因變量(單位:mm),光損耗值為自變量(單位:μW)。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

實測裂縫開度-光損耗值關(guān)系曲線及二次多項式模型曲線和三次多項式模型曲線如圖4、圖5所示。

圖4 不同方位角下裂縫開度-光損耗值實測曲線及二次多項式預測曲線

圖5 不同方位角下裂縫開度-光損耗值實測曲線及三次多項式預測曲線

所得的不同方位下的二次多項式預測模型回歸系數(shù)及樣本決定系數(shù)見表2,三次多項式預測模型相關(guān)參數(shù)見表3。

表2 不同方位下二次多項式回歸模型參數(shù)表

表3 不同方位下三次多項式回歸模型參數(shù)表

表中R2為擬合優(yōu)度,又稱樣本決定系數(shù),表示預測值與實測值擬合優(yōu)度的相對指標。R2取值介于0到1之間,R2越小,擬合優(yōu)度越差,反之,擬合優(yōu)度越好。八個回歸模型的擬合優(yōu)度R2全部大于0.984,且四個三次多項式回歸模型的擬合優(yōu)度超過了0.993,可見所建的二次多項式回歸模型和三次多項式回歸模型均較成功,且三次多項式的擬合精度更高。

3.3 裂縫開度預測

參考表1,將不同方位下大于4 mm縫寬對應(yīng)的光損耗值代入式(5)～式(12)中,可得裂縫開度預測值,如表4～表7所示。

表4 30°方位角下裂縫開度預測值與實測值對比分析表

表5 45°方位角下裂縫開度預測值與實測值對比分析表

表6 60°方位角下裂縫開度預測值與實測值對比分析表

表7 75°方位角下裂縫開度預測值與實測值對比分析表

3.4 預測結(jié)果分析

由表4～表7可知,建立的八個裂縫開度預測模型的預測值相比于實測值,相對誤差值基本小于1.0%,塑料光纖在30°、45°、60°、75°方位角下的二次多項式預測模型殘差平方和分別為0.017、0.019、0.007、0.028,塑料光纖在30°、45°、60°、75°方位角下的三次多項式預測模型殘差平方和分別為0.008、0.001、0.004、0.008,最大相對誤差為0.92%,由此可知建立的八個預測模型均有較好的擬合精度,且三次多項式精度更高,這與3.2中的結(jié)論是一致的。

4 小結(jié)與展望

本文在介紹多項式回歸基本理論知識的基礎(chǔ)上,基于POF裂縫傳感器建立了不同方位下二次和三次多項式回歸裂縫開度預測模型,預測模型成功預測了裂縫的開展寬度,通過與實測數(shù)據(jù)的對比分析,驗證了預測模型在預測裂縫開度方面的可行性,兩種模型預測精度較高,且三次多項式模型精度更高。

但是,本文試驗研究均是建立在模擬裝置基礎(chǔ)上,在實際工程中會遇到其他不可知的影響因素,因此所見模型的精度還需要結(jié)合實際工程進行進一步的研究和驗證。