摘 要 練習(xí)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)體的一個重要組成部分，無論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)教學(xué)都離不開一定數(shù)量和高質(zhì)量的課堂練習(xí)。“雙減”背景下，我們有必要在教學(xué)中編制高效的數(shù)學(xué)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)情感，培養(yǎng)學(xué)生靈活地解決問題的能力和綜合運用知識的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)練習(xí) 思維發(fā)展 習(xí)題設(shè)計 說理思辨

作者簡介：林祎珣（1985— ），福建廈門人，廈門市集美區(qū)后溪中心小學(xué)一級教師，碩士研究生，研究方向：主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育。

基金項目：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)生數(shù)學(xué)說題實踐研究”（立項批準(zhǔn)號：FJJKXB20-848）的階段性研究成果。

2021年7月，國家出臺“雙減”政策，旨在減少學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)練習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的重要組成部分。學(xué)生通過練習(xí)可以促進(jìn)新知識的掌握，養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣，鍛煉思維能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。因此，數(shù)學(xué)練習(xí)的設(shè)計要有利于學(xué)生的發(fā)展，我們需要從學(xué)生的實際生活中挖掘素材，精心地設(shè)計每一次練習(xí)，讓數(shù)學(xué)練習(xí)豐富起來、活起來、生動有趣起來、開放起來、生活起來。教師要結(jié)合教學(xué)實際，設(shè)計貼近生活、富于思考的數(shù)學(xué)練習(xí)，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)課堂練習(xí)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，感受到數(shù)學(xué)魅力[1]20。

一、“過程”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心，簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論的應(yīng)用難以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力。隨著課改的深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為大家關(guān)注的焦點，新課程標(biāo)準(zhǔn)更是提倡“在書面檢測中，積極探索可以考查學(xué)生學(xué)習(xí)過程的試題”[1]23。何以如此重視學(xué)習(xí)過程呢？一方面，學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)結(jié)果存在必然的因果關(guān)系，學(xué)習(xí)過程決定學(xué)習(xí)結(jié)果；另一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展的，數(shù)學(xué)情感是在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的。所以，教師要設(shè)計體現(xiàn)“過程性”的練習(xí)，落實“過程”目標(biāo)。

（一）不問“結(jié)論是什么”而問“過程是什么”

習(xí)題1：小朋友們在探究三角形的面積計算公式時，想到了以下幾種方法。

（1）你覺得哪些小朋友的方法是能推導(dǎo)出三角形面積公式的？在名字旁邊的括號里畫“P”。

（2）在你認(rèn)為正確的方法中，你最喜歡誰的推導(dǎo)方法？請你把這種推導(dǎo)過程寫清楚。

習(xí)題2：冰墩計劃5周跑步22.5千米，他平均每周跑多少千米？在計算“22.5 ÷ 5”時，甲、乙、丙三位同學(xué)運用了三種不同的方法，計算過程正確的有（? ? ）。

傳統(tǒng)的《三角形面積》新授課的課堂練習(xí)經(jīng)常是讓學(xué)生熟記公式，然后在已知底和高的條件下求圖形面積，只需套用三角形的面積公式。而計算課的教學(xué)，也往往是教學(xué)豎式計算方法后讓學(xué)生重復(fù)機(jī)械的練習(xí)。以上兩道課堂練習(xí)題一改常態(tài)，不再只關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，更注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗以及邏輯思維的培養(yǎng)。第一道習(xí)題中的四位小朋友的方法都能推導(dǎo)出三角形的面積公式，這樣的設(shè)計讓學(xué)生分析三角形面積的不同推導(dǎo)方法，在解答中自覺尋找原來三角形與拼成的圖形之間的各部分等量關(guān)系，深入體會三角形面積公式的推導(dǎo)過程，更能引導(dǎo)學(xué)生探尋公式推導(dǎo)的本質(zhì)，感悟面積公式推導(dǎo)中的轉(zhuǎn)化思想。第二道題三種方法也都正確，甲同學(xué)借助計量單位的換算把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成了整數(shù)除法進(jìn)行計算，乙、丙同學(xué)則是運用了“商的變化規(guī)律”，但兩位同學(xué)所使用的規(guī)律又有所差別，需要學(xué)生詳細(xì)辨析，而四個選項的設(shè)計正好可以暴露出學(xué)生的知識薄弱點，讓學(xué)生在糾錯中反思，在反思中成長，豐富數(shù)學(xué)的過程性學(xué)習(xí)。

（二）不問“列式是什么”而問“思路是什么”

習(xí)題1：媽媽買來9根10 m長的紅繩做中國結(jié)，做一個中國結(jié)要用1.8 m的紅繩。這些紅繩最多能做多少個這樣的中國結(jié)？（為了美觀，做中國結(jié)時紅繩不拼接）

亮亮的想法：10 × 9 ÷ 1.8 = 50（個）? ? ? ? ? 晶晶的想法：10 ÷ 1.8 ≈ 5.56（個）? ?5 × 9 = 45（個）

你認(rèn)為誰的想法正確？請說明你的理由。

習(xí)題2：陽光小鎮(zhèn)滴滴車收費標(biāo)準(zhǔn)是：3千米以內(nèi)13元；超過3千米的部分每千米2.5元，不足1千米按照1千米計算。林阿姨打車，行駛里程是7.8千米，應(yīng)付多少元？

小雪的想法：13 + 2.5 ×（8-3）? ? ? ? ? ? ?小冰的想法：2.5 ×8 +（13-2.5×3）

你認(rèn)為誰的想法正確？請說明你的理由。

此類問題的完成需要學(xué)生先觀察兩位同學(xué)的解答步驟，先求什么再求什么，找到不同列式中隱藏著的思考的“序”，厘清不同的解題思路，再判斷每一種解答過程的合理或者不合理之處。這樣的習(xí)題設(shè)計能有效考查出學(xué)生是否具備自主學(xué)習(xí)的意識和能力，較之“多少個”、“多少元”的問題更能引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、全面思考，既能防止學(xué)生只關(guān)注“列算式”和“蒙答案”的行為，又很好地關(guān)注了在問題解決過程中學(xué)生對得出結(jié)果的思維過程的考查，從只重列出算式得出結(jié)果轉(zhuǎn)向同時注重解題思路的分析、思想方法的感悟和自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

二、“變式”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力

思維是智力的核心，思維能力的培養(yǎng)對學(xué)生當(dāng)前的學(xué)習(xí)和未來的發(fā)展均有重要的意義[2]。數(shù)學(xué)的課堂練習(xí)中，如果只是靜止地、孤立地解答一個題目，那么即使題目再好，充其量也只不過是解決了一個問題而已。而如果對其加以研究，通過一題多變，克服思維定式的影響，不局限于某一方面的思考，就有利于拓展學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，增強其應(yīng)變能力，發(fā)散學(xué)生的思維。

（一）改變表達(dá)方式，變中不變

習(xí)題：一個圓柱體的體積是48立方厘米，與它等底等高的圓錐體的體積是（? ? ? ）立方厘米。

（根據(jù)等底等高的圓柱與圓錐之間的關(guān)系，學(xué)生很快就可以算出圓錐的體積是16立方厘米。）

變式題1：一個圓柱體的體積是48立方厘米，從這個圓柱體中切割出一個最大的圓錐體，這個圓錐體的體積是（? ? ?）立方厘米。

變式題2：切割完成后，剩下部分的體積是（? ? ?）立方厘米。

這是筆者在教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)六年級《圓柱與圓錐的體積》時使用的一道課堂練習(xí)題，“圓柱中切割出的最大圓錐與這個圓柱等底等高”對于小學(xué)生來說不容易理解，以第一小題為鋪墊，通過這樣層層遞進(jìn)的3道練習(xí)，變中有不變，加深了學(xué)生對等底等高圓柱與圓錐之間關(guān)系的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、辨析能力，提高學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

（二）改變提問對象，不變中變

習(xí)題：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)，基地與該山區(qū)的飛行距離是1200千米。甲直升機(jī)和乙直升機(jī)同時飛往該山區(qū)，甲直升機(jī)比乙直升機(jī)早1小時到達(dá)。甲直升機(jī)的速度是400千米/時，乙直升機(jī)的速度是多少？

變式題1：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)。速度為400千米/時的甲直升機(jī)和速度為300千米/時的乙直升機(jī)同時飛往該山區(qū)。甲直升機(jī)比乙直升機(jī)早1小時到達(dá)。基地與該山區(qū)的飛行距離是多少千米？

變式題2：某基地派甲、乙兩架直升機(jī)去某山區(qū)執(zhí)行搶救任務(wù)，基地與該山區(qū)的飛行距離是1200千米。速度為400千米/時的甲直升機(jī)和速度為300千米/時的乙直升機(jī)同時飛往該山區(qū)。經(jīng)過多長時間后兩機(jī)相距300千米？

本組習(xí)題雖然對調(diào)了題目中的已知條件和問題，但是題目中所隱含的等量關(guān)系沒變，只要學(xué)生能夠抓住這一點，便可以以不變應(yīng)萬變。面對當(dāng)前大題量的考試和較多的練習(xí)資料，選準(zhǔn)例題，采用一題多變方法讓學(xué)生練習(xí)，并總結(jié)解題特征、解題方法，不但能夠幫助學(xué)生鞏固有關(guān)的基本概念，掌握各種題型的解題方法和技巧，而且能幫助學(xué)生把平時所學(xué)的知識進(jìn)行歸納整理，學(xué)會同中求異、異中求同，有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力，完成由例及類的學(xué)習(xí)，大大簡化了學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，真正實現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)。

三、“操作”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思維實踐應(yīng)用能力

知識的綜合對提高學(xué)生的綜合素質(zhì)和解決實際問題的能力有很大幫助。知識的相互穿插、相互利用可以拓寬知識的范圍，發(fā)揮知識的遷移作用[2]，而數(shù)學(xué)的實踐活動能夠把抽象的綜合知識具體化，把數(shù)學(xué)知識和具體的切身體驗聯(lián)系在一起。

習(xí)題1：右圖是一個幾何體從上面看到的圖形，圖形上的數(shù)字表示這個位置上所用小正方體的個數(shù)。

（1）這個幾何體是由多少個小正方體搭成的？

（2）取走哪個小正方體后，從正面、上面、左面看到的圖形仍然保持不變？

習(xí)題2：聰聰為了測量一塊不規(guī)則石頭的體積，按如下步驟進(jìn)行實驗：

（1）拿一個長方體的玻璃缸，從里面量長10 cm，寬6 cm，高8 cm。（2）倒入一部分水，水高度6 cm。

（3）放入石頭并完全浸沒水中，水溢出120 mL。（4）取出石塊后，水位下降3.5 cm。

根據(jù)以上信息，你能用兩種方法算出這塊石頭的體積嗎？

以上兩道習(xí)題均屬于“圖形與幾何”模塊，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)非常關(guān)注學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。這兩道練習(xí)題對于空間想象能力還比較薄弱的小學(xué)生而言是有一定難度的，故而脫離實踐而一味強調(diào)空間想象能力的培養(yǎng)和鍛煉是比較不科學(xué)的，所以習(xí)題1中應(yīng)該讓孩子們先根據(jù)題目所給俯視圖拼出對應(yīng)的幾何體，給予充分的自由時空讓學(xué)生動手、動腦、動情地拼擺，完成知識的自我建構(gòu)[3]。

針對習(xí)題2，讓孩子們拿一塊石頭在盛水的長方體玻璃缸中進(jìn)行操作，可以促進(jìn)他們對題目的理解，降低解題的難度。待練習(xí)完成后，還可以進(jìn)一步鼓勵學(xué)生尋找各種各樣自己喜歡的玩具，比如瓷器玩偶、機(jī)器人、跳跳球等，放到盛滿水的長方體或正方體容器中，根據(jù)水面上升或者下降的高度來計算不規(guī)則物體的體積，讓學(xué)生在“玩”的過程中充分體會不破壞玩具就可以測出體積的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)智慧。筆者在這道練習(xí)中，給了孩子們充分的時間“自由發(fā)揮”，孩子們不僅掌握了兩種解決問題的方法，而且還有額外的收獲——并不是所有的物體都能夠沉入水中，比如乒乓球，它浮在水面上怎么辦呢？這一問題的提出和解決，不僅加深了學(xué)生對知識的理解，更促使學(xué)生獲得運用數(shù)學(xué)知識解決問題的思維方式，從而實現(xiàn)在觀察操作中發(fā)展空間想象能力。

四、“說理”練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力

思辨能力是什么？簡而言之，就是思考、分析、辨別的能力，具體指的是以獲取的信息為基礎(chǔ)，對問題進(jìn)行仔細(xì)的推敲、透徹的分析、客觀的評測，最終形成解決問題的綜合能力。打個比方，小時候父母教育我們要誠實守信，卻不會告訴我們遇到危險的時候可以“不誠實”。許多結(jié)論都是有適用范圍的，考慮適用范圍的問題就是一種思辨的問題。思辨能力決定一個人的發(fā)展?jié)摿?。那么，如何通過數(shù)學(xué)的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力呢？我們以下面兩道說理題為例。

習(xí)題1：教練要從兩名運動員中挑選一名參加跳繩比賽，以下是這兩名運動員一分鐘的跳繩次數(shù)。

（1）如果你是教練，選誰去參加比賽呢？請說明理由。

（2）如果對手的平均成績是136下/分，該選誰？請說明理由。

（3）如果對手的平均成績是140下/分，該選誰？請說明理由。

習(xí)題2：“共享單車，綠色出行”，現(xiàn)如今騎共享單車出行不但成為一種時尚，也成為共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài)。樂樂在“五一”假期的5月1—3日的上午分別調(diào)查了一些騎共享單車出行的市民：5月1日用了[4/3]小時調(diào)查了50人，選擇騎A品牌共享單車的有9人；5月2日用了[6/5]小時調(diào)查了45人，選擇騎A品牌共享單車的有10人；5月3日用了[7/6]小時調(diào)查了63人，選擇騎A品牌共享單車的有11人。

（1）樂樂在這3天中，哪一天調(diào)查用的時間最少？（請寫出比較過程）

（2）根據(jù)樂樂收集到的數(shù)據(jù)，比較一下，這三天A品牌共享單車被市民選擇的情況哪一天最好？哪一天最差？請說明理由。

什么樣的數(shù)學(xué)練習(xí)能夠幫助學(xué)生獲得真正的能力提升？是源自于學(xué)生生活的充滿挑戰(zhàn)性和思辨性的問題?！皝碓从谏睢钡男畔W(xué)生容易理解，喚醒已知，才能有更多的未知被開啟?！八急嫘缘膯栴}”易于激發(fā)起學(xué)生的作答興趣，引發(fā)學(xué)生主動思考，不斷探索。我們編制的習(xí)題要做到能引起學(xué)生的好奇心，習(xí)題1中的問題“你是教練，選誰去參加比賽呢？”就能點燃學(xué)生的好奇心，“如果對手……該選誰？”使學(xué)生重新審視原有的認(rèn)知，開啟嶄新的思考。

習(xí)題2取材于生活中的共享單車，以共享經(jīng)濟(jì)為背景設(shè)置了兩個問題，第一問是分子分母相差1的3個假分?jǐn)?shù)的比較，比較的方法有很多，學(xué)生只要能夠自圓其說，“比”的過程有理就行。第二問具有一定的迷惑性和思辨性，“選擇A品牌的情況”中的“情況”不能簡單地理解為具體的數(shù)量。如果是具體的數(shù)量，那么調(diào)查的時間和人數(shù)選擇A的越多，數(shù)量可能就越多了。這時候需要學(xué)生仔細(xì)地推敲、透徹地分析，才能領(lǐng)會到這里的“情況”是指選擇A品牌的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的幾分之幾。好的問題總是帶有啟發(fā)性。做這樣的習(xí)題時，我們可以組織學(xué)生進(jìn)行課堂辯論，讓學(xué)生通過說理、傾聽、辯論，不斷地思考，啟發(fā)智慧，發(fā)現(xiàn)知識真理之所在。

總之，數(shù)學(xué)練習(xí)的使用是一門科學(xué)，充滿著藝術(shù)性。教師一定要精心編制數(shù)學(xué)練習(xí)，才能夠有效促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，打開學(xué)生心靈的窗扉，讓學(xué)生的思維能力得到發(fā)展，綜合能力得到全面提高，在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，靈活運用基礎(chǔ)知識分析問題、解決問題的同時，領(lǐng)略到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科不同的精彩。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]陳彩治.建構(gòu)小學(xué)生數(shù)學(xué)解題模型的策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021：61-62.

[3]陳鈺婷.小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”小組合作學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與對策研究：以第二學(xué)段為例[D].揚州：揚州大學(xué)，2021：11.

[4]蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學(xué)出版社，1984：35.

（責(zé)任編輯：楊紅波）