杜靜恩，許勇，賈云博，劉凌霄，高美妍

（1.201620 上海市 上海工程技術大學 機械與汽車工程學院；2.201620 上海市 上海工程技術大學 航空運輸學院）

0 引言

折紙單元是由二維的紙通過彎曲折疊形成的具有一定功能價值的三維結構，由于其較好的空間可折展性受到了廣泛關注。目前折紙原理廣泛應用于機械超材料[1-3]、自折疊機器人[4]、食品包裝[5]、醫(yī)療器械[6]等領域，越來越多的學者研究折紙單元獨特的力學性能及其應用場景。Liu 等[7]將折紙單元制成能靈活變換位姿的柔性臂；Waitukaitis 等[8]利用三浦折紙自鎖引發(fā)的強化效應設計出剛度可編程的機械超材料；Feng 等[9]發(fā)現(xiàn)水彈折紙管可以通過非剛性扭轉實現(xiàn)變剛度。但是包括折紙單元在內的柔性單元大都存在剛度不足的情況，學界一直都在積極尋找變剛度方案。Amend 等[10]在設計的柔性抓手中加入了固體顆粒，大大加強了負壓狀態(tài)下柔性抓手在抓取與放置重物時的剛度與準確性；Jiang 等[11]制作了基于顆粒阻塞變剛度原理的氣動執(zhí)行器；Zhao 等[12]研究了填充顆粒的空間占用率對顆粒阻塞變剛度的影響。

本文將剛性折紙原理與顆粒阻塞變剛度的原理結合，設計了基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元，建立了折紙單元的數學模型。

1 基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元設計

基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元如圖1 所示，由折紙單元和多個變剛度驅動器組成。變剛度驅動器貼合在折紙單元的折痕處，柔性狀態(tài)時隨折痕一起變化，剛性狀態(tài)時會阻礙折痕彎折。

圖1 變剛度折紙單元三維效果Fig.1 3D effect display of variable stiffness origami unit

如圖2 所示，圖2（a）為由折紙啟發(fā)的折紙單元的立體結構，折紙單元的上下兩平臺由折疊單元連接。圖2（b）為折紙單元平面展開圖，其中實線為山折痕，虛線為谷折痕。

圖2 折紙單元三維結構及平面折痕Fig.2 Three-dimensional structure and plane crease of origami unit

基于顆粒阻塞原理設計了變剛度驅動器，如圖3 所示。變剛度驅動器由密封袋、顆粒阻塞囊和氣孔組成，氣孔外接真空泵可改變密封袋內氣壓，單個顆粒阻塞囊由矩形透氣袋和袋內填充顆粒組成。

圖3 基于顆粒阻塞原理的變剛度驅動器結構Fig.3 Variable stiffness actuator structure based on particle blocking principle

以主動折痕G2O2處為例，變剛度驅動器對稱固定在主動折痕兩側，效果如圖4 所示。其余所有主動折痕處的固定方法一致。

圖4 折紙單元的主動折痕處的變剛度驅動器Fig.4 Variable stiffness driver at active crease of origami unit

2 顆粒阻塞變剛度驅動器剛度分析

變剛度驅動器的剛度k的計算公式為

為獲得顆粒阻塞囊剛度，需分析顆粒阻塞囊的彎曲變形。本文遵循平面內常曲率彎曲假設，如圖5 所示，c為彎曲弧段中心O到彎曲軸線的距離，即彎曲部分曲率半徑。矩形橫截面長、寬為d、L。

圖5 未受載時顆粒阻塞囊高剛度狀態(tài)彎曲變形模型Fig.5 Bending deformation model of particle blockage capsule under high stiffness without load

密封袋內壓強為Pb、袋外壓強為Pa，內外壓強差為Pa-Pb，在此壓強差作用下密封袋會將松散的顆粒擠壓成致密的剛體顆粒團，且隨著內外壓強差的增大，整個驅動器的剛度也增大。當顆粒阻塞囊受到載荷F時，其彎曲角度由未受載時的θ增大至θ+δ，如圖6 所示。

圖6 受載時顆粒阻塞囊高剛度狀態(tài)彎曲變形模型Fig.6 Bending deformation model of particle blockage capsule under high stiffness loading

抽真空后顆粒阻塞囊為高剛度狀態(tài)，填充顆粒在顆粒阻塞囊內的空間占用率定義為

式中：——顆粒阻塞囊中所有填充顆粒的體積總和，由顆粒阻塞囊中填充顆粒的數量N和填充顆粒的半徑r決定，其值為

式中：Vc——變剛度驅動器的密封袋容積，由變剛度驅動器最大體積Vmax真空泵抽氣速率S和抽氣時間t決定，關系式為

且存在邊界條件：Vc≥V0，其中V0為顆粒阻塞囊彎曲部分處于立方體狀態(tài)下占用的空間，其值為

變剛度驅動器為剛性狀態(tài)且顆粒阻塞囊彎曲角為θ時，填充顆粒在顆粒阻塞囊內的空間占用率Δ1為

顆粒阻塞囊在剛度變化后，在不受外力情況下空間占用率為定值，故彎曲角為θ時彎曲部分占用的空間V1=V2。受到外力F的作用，曲率中心由O轉移到O'，此時變剛度驅動器中顆粒在高剛度狀態(tài)下占用的空間V2為

式中：C'——彎曲中心到矩形橫截面形心的距離；γ——中心角；——帶增量角的彎曲角，即

此狀態(tài)下的空間占用率Δ2為

顆粒阻塞囊體積與填充顆粒的空間占用率間有如下關系

此時彎曲角增量與填充顆粒的空間占用率的關系為

顆粒阻塞囊在剛性狀態(tài)下承受外力時，顆粒與透氣袋間摩擦力產生的曲率中心所在的軸的摩擦力矩為Mf。由流體加壓模型可知，變剛度驅動器內外壁各部分受到的壓力是相等的。施加外力后顆粒阻塞囊會發(fā)生一定的變形，因此顆粒阻塞囊內的壓強會變大，根據兩圓球赫茲接觸模型可知，顆粒間的等效壓力為

由圖7 可知，顆粒阻塞囊與透氣袋間的摩擦力提供的鎖緊力關于軸線SS'對稱，且總的鎖緊力為

圖7 變剛度驅動器內靜態(tài)力f1 及鎖緊力矩Mf 方向Fig.7 Direction of static force f1 and locking torque Mf in variable stiffness driver

鎖緊區(qū)域A1上的靜態(tài)力f1由顆粒與透氣袋間的正壓力P'決定，故單個顆粒阻塞囊由鎖緊力Ff提供的鎖緊力矩為

顆粒阻塞囊的剛度即為變剛度驅動器的剛度。

3 變剛度驅動器性能仿真

變剛度驅動器中顆粒阻塞囊的參數設置：彎曲部分的彎曲中心到矩形橫截面形心距離C=5 mm，矩形橫截面的長L=20 mm，寬d=5 mm，總高H=20 mm，彎曲部分的曲率半徑R=2.5 mm，彎曲部分外側最大長度h=5 mm，填充顆粒半徑r=0.5 mm，材質為ABS，彎曲部分能裝滿該尺寸的顆粒數N=3 819，真空泵抽氣速率S=50 mm3/s，變剛度驅動器內壓強Pb=0.02 MPa，變剛度驅動器外壓強Pa=0.101 MPa。

通過MATLAB 按式（2）—式（5）計算空間占用率，結果如圖8 所示。由圖8（a）可知，隨著真空泵對變剛度驅動器內部抽氣，顆粒的空間占用率會逐漸提高，最大占用率約為72%。由圖8（b）可知，變剛度驅動器內部壓強越小空間占用率越高。

圖8 填充顆?？臻g占用率Δ 隨t 和Pb 的變化Fig.8 Change of space occupancy of filled particles Δ with t and Pb

由式（12）、式（15）可知，變剛度驅動器內壓強Pb與顆粒阻塞囊內填充顆粒半徑都是影響最終鎖緊力矩的因素。由圖9 可知，變剛度驅動器內壓強越大顆粒阻塞囊的鎖緊力矩越小。顆粒阻塞囊的鎖緊力矩隨著填充顆粒半徑的增大而減小，如圖10 所示。

圖9 顆粒阻塞囊內壓強與鎖緊力矩的關系Fig.9 Relationship between pressure and locking torque in particle blocking capsule

圖10 填充顆粒半徑與鎖緊力矩的關系Fig.10 Relationship between filling particle radius and locking torque

由式（1）、式（12）、式（15）可知，顆粒阻塞囊的剛度k隨著Pb的減小而增大，剛度仿真結果如圖11 所示。

圖11 顆粒阻塞囊剛度k 隨Pb 的變換曲線Fig.11 Transformation curve of particle blockage capsule stiffness k with Pb

4 結論

（1）將折紙原理與顆粒阻塞變剛度原理相結合，提出了全新的變剛度折紙單元的設計方案。

（2）建立了變剛度折紙單元的靜力學模型，推導出顆粒阻塞囊剛度的計算方法，以及填充顆粒半徑、變剛度驅動器內負壓強與顆粒阻塞囊剛度間的關系。

（3）使用顆粒阻塞原理設計的變剛度驅動器通過改變內部的壓強實現(xiàn)自身變剛度，改變其填充顆粒的參數，如顆粒半徑、顆粒硬度等，可以改變變剛度驅動器的最大剛度。

顆粒阻塞原理可以很好地彌補包括折紙單元在內的柔性單元或柔性關節(jié)剛度不足的缺點，后續(xù)可利用顆粒阻塞變剛度原理設計變剛度柔性關節(jié)，這樣可以在保留柔順性能的同時保證機構的剛度。