浙江體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院 (311200) 徐羽

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》提出,選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式,改變單一講授式教學(xué),注重發(fā)揮情景設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)活動(dòng)的促進(jìn)作用,使學(xué)生在活動(dòng)中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)[1]. 基于此,發(fā)動(dòng)學(xué)生自主思考,積極動(dòng)手探究成為初中數(shù)學(xué)課堂不可或缺的重要教學(xué)形式. 基于探究能力發(fā)展的視角進(jìn)行操作課的設(shè)計(jì),有助于體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)規(guī)律,提高學(xué)生的應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力.

1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.1 內(nèi)容

素材出自浙教版八年級(jí)下冊(cè)課本第五章“特殊平行四邊形”的第3 節(jié)“正方形”課后的設(shè)計(jì)題,如圖1 所示.

1.2 內(nèi)容解析

浙教版教材中“設(shè)計(jì)題”設(shè)置的初衷是為學(xué)生提高分析和解決問(wèn)題的能力,并在數(shù)學(xué)中進(jìn)行探索、實(shí)踐和創(chuàng)新提供了機(jī)會(huì)[2].

在同版教材八年級(jí)上冊(cè)課本第二章“特殊三角形”的第7 節(jié)“探索勾股定理”中同樣安排了設(shè)計(jì)題,主題是勾股定理的證明. 教材配套的教學(xué)參考書(shū)中建議教師借此設(shè)計(jì)題介紹畢達(dá)哥拉斯的證明方法(借助正方形的剪切組合). 兩道設(shè)計(jì)題都用到了正方形剪拼前后面積的不變性,上下冊(cè)的內(nèi)容遙相呼應(yīng),符合學(xué)生認(rèn)知的螺旋上升結(jié)構(gòu).

2 學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)完成了平行四邊形、特殊平行四邊形章節(jié)的學(xué)習(xí),具備在正方形中借助勾股定理尋找或構(gòu)造特定長(zhǎng)度線段的能力.

紙片的拼剪對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常熟悉且有趣的游戲. 不過(guò),剪切之后如何拼成正方形,而且剪痕(分割線)數(shù)要最少,這需要學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并進(jìn)一步思考. 學(xué)生具備一定的自主探究與合作學(xué)習(xí)能力,但是如果問(wèn)題解決的參與度不高或者不完整的話,在利用已知方法解決新問(wèn)題以及提出新想法方面會(huì)有所不足.

根據(jù)以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn): 確定分割線(剪痕),形成解題思路;教學(xué)難點(diǎn): 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并能進(jìn)行類比遷移.

3 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下:

(1)通過(guò)剪拼活動(dòng)前后的尋找分割線以及事后問(wèn)題的證明,復(fù)習(xí)特殊四邊形相應(yīng)的知識(shí)內(nèi)容;

(2)借助方格紙,引導(dǎo)學(xué)生“以形定數(shù)”,總結(jié)“分割線”的尋找思路,培養(yǎng)學(xué)生的推理歸納能力;

(3)通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)置,將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系由特殊過(guò)渡到一般,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,通過(guò)知識(shí)的遷移,“以數(shù)馭形”,提高解決問(wèn)題的能力.

4 教學(xué)策略分析

美國(guó)研究者Tulving 在研究重復(fù)測(cè)試和重復(fù)學(xué)習(xí)對(duì)記憶的不同影響中發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)-測(cè)試-測(cè)試-測(cè)試(STTT)模式在記憶效果上優(yōu)于學(xué)習(xí)-測(cè)試-學(xué)習(xí)-測(cè)試(STST),而學(xué)習(xí)-學(xué)習(xí)-學(xué)習(xí)-測(cè)試(SSST)模式效果最差. 在深度理解效果上則是STST〉STTT〉SSST.心理學(xué)中測(cè)試效應(yīng)告訴我們, 課堂學(xué)習(xí)滿堂灌,課后輔以作業(yè)練習(xí)是低效率的學(xué)習(xí)模式. 教師應(yīng)當(dāng)合理安排方法總結(jié)的時(shí)間節(jié)點(diǎn),通過(guò)設(shè)置同層次的不同問(wèn)題和同一問(wèn)題的不同層次表述來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,借助心理效應(yīng),達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果.

操作性的數(shù)學(xué)實(shí)踐課堂,要讓學(xué)生動(dòng)手更要讓學(xué)生動(dòng)腦.通過(guò)實(shí)踐幫助理解,理解之后又能進(jìn)一步指導(dǎo)實(shí)踐. 要達(dá)到這一目標(biāo),需要提高學(xué)生的參與度,讓盡可能多的學(xué)生更為完整地參與到問(wèn)題解決的全過(guò)程當(dāng)中.

5 課堂展示過(guò)程

課前向?qū)W生發(fā)放印有大小相同正方形格子的A4 紙和空白A4 紙以及一張平行四邊形紙片(角)各一張.

5.1 問(wèn)題提出

問(wèn)題1: 怎樣用最少的分割線把一個(gè)平行四邊形紙片割補(bǔ)成一個(gè)矩形?

預(yù)設(shè)學(xué)生能很快作出分割方案: 如圖2 所示.

討論: 如果沒(méi)有“用最少的分割線”這一條件,會(huì)有什么影響?

形成想法: 如果沒(méi)有限制條件的話可以“隨意”割補(bǔ),剪幾刀都可以. 那樣目標(biāo)矩形的形狀不再唯一,但是面積不會(huì)改變.

問(wèn)題2: 怎樣用最少的分割線吧一個(gè)矩形割補(bǔ)成含有角的平行四邊形?

預(yù)設(shè)學(xué)生能夠較快作出分割方案: 如圖3 所示.

討論: 結(jié)合這這兩題總結(jié)你是怎樣想到這些分割線的?請(qǐng)選擇其中一個(gè)問(wèn)題證明最后割補(bǔ)的圖形符合目標(biāo)圖形要求.

形成想法: 抓住起始圖形和目標(biāo)圖形的幾何特征,借助分割線在起始圖形上構(gòu)造目標(biāo)圖形的關(guān)鍵元素后進(jìn)行割補(bǔ).

設(shè)計(jì)意圖: 起始的問(wèn)題相對(duì)容易. 在解決問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中,讓學(xué)生明確“用最少的分割線”這一條件的意義,與此同時(shí),明確了面積這一重要幾何量在此類問(wèn)題中的不變性. 要求學(xué)生給出證明目的是引導(dǎo)學(xué)生將拼剪過(guò)程當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系提取出來(lái)并明確解決問(wèn)題之后是需要推理論證的,這是與日常剪紙游戲不一樣的地方.

5.2 問(wèn)題對(duì)比

問(wèn)題3: 如何用最少的分割線把一個(gè)長(zhǎng)為2 寬是1 的長(zhǎng)方形紙片割補(bǔ)成一個(gè)正方形? 請(qǐng)用發(fā)下來(lái)的方格紙嘗試.

預(yù)設(shè)學(xué)生能較快作出分割方案: 如圖4 所示.

問(wèn)題4: 圖5 是由8 個(gè)全等的邊長(zhǎng)為1 的正方形構(gòu)成的圖形. 能否只剪兩刀,將它分成三塊,拼成一個(gè)大正方形?

預(yù)設(shè)學(xué)生通過(guò)討論交流,合作嘗試,在問(wèn)題3 的基礎(chǔ)上明確: 借助面積的不變性,得知目標(biāo)正方形的邊長(zhǎng)為由此可見(jiàn),剪痕應(yīng)為2×2 方格的對(duì)角線. 最后可以給出分割方案. 如圖6 所示.

設(shè)計(jì)意圖: 通過(guò)問(wèn)題3,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)的思考引導(dǎo)解決形的問(wèn)題. 問(wèn)題4 難度增加了,所以明確剪兩刀分成三塊組成大正方形,以求降低問(wèn)題難度,讓學(xué)生圍繞數(shù)形結(jié)合的思考難度相對(duì)一致且更為連續(xù). 學(xué)生通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題的嘗試,已經(jīng)熟悉“找——剪——拼”這一操作流程. 通過(guò)角度與長(zhǎng)度兩方面特征來(lái)確定分割線,通過(guò)對(duì)互余或者互補(bǔ)角的組合以及相等邊的重合來(lái)完成大正方形的拼圖.

5.3 獨(dú)立嘗試

問(wèn)題5: 圖7 都是由5 個(gè)邊長(zhǎng)為1 的正方形構(gòu)成的圖形,任選一種圖形用最少的分割線將其剪拼成一個(gè)大正方形.

設(shè)計(jì)意圖: 問(wèn)題5 的設(shè)置是一方面為了學(xué)生可以全員參與,讓每一個(gè)同學(xué)可以自主選擇問(wèn)題,獨(dú)立的完成問(wèn)題提升了問(wèn)題的解決能力也提高了信心. 動(dòng)作快的同學(xué)可以完成多個(gè)圖形的剪拼. 同學(xué)之間亦可相互比對(duì). 另一方面,通過(guò)對(duì)5個(gè)小正方形的不同排列方式,讓學(xué)生在確定長(zhǎng)度為的剪痕中比較不同的拼剪方法.

5.4 問(wèn)題提升

問(wèn)題6: 如圖8,一大一小兩個(gè)正方形,請(qǐng)用最少的分割線將其剪拼成一個(gè)大正方形并給出數(shù)學(xué)證明.

經(jīng)過(guò)之前五個(gè)問(wèn)題步步鋪墊,層層推進(jìn),此時(shí)給出設(shè)計(jì)題的最后一問(wèn). 會(huì)有學(xué)生注意到問(wèn)題5 中的兩層圖形和這個(gè)問(wèn)題形狀極其相似. 不同之處在于前者大正方形面積恰為小正方形面積的4 倍,而后者更具有一般性,正方形的邊長(zhǎng)關(guān)系不再確定.解決該問(wèn)題,需要學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步抽象,在前題所得經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上抓住問(wèn)題的前后聯(lián)系點(diǎn),運(yùn)用類比手段,遷移解題方法,進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力.

預(yù)設(shè)部分學(xué)生可以給出拼割方案,如圖9 所示.

5.5 課堂總結(jié)及作業(yè)布置

小結(jié): 在今天的拼剪活動(dòng)中,你有那些收獲?

(1)類比歸納簡(jiǎn)單問(wèn)題,會(huì)給解決復(fù)雜問(wèn)題帶來(lái)思路;

(2)數(shù)與形是一體兩面的關(guān)系. 圖形中暗含有數(shù)或者數(shù)量之間的關(guān)系,還可以依靠數(shù)來(lái)思考圖形問(wèn)題;

(3)剪切問(wèn)題不是僅僅依靠嘗試就可以的,需要數(shù)學(xué)的思考找到最少的分割線,完成后要通過(guò)數(shù)學(xué)證明來(lái)檢驗(yàn).

作業(yè)布置: 圖10 所示為三個(gè)全等的正方形構(gòu)成的幾何圖形,請(qǐng)你切成最少的塊數(shù),使其能拼成一個(gè)大正方形. (答案如圖11)

設(shè)計(jì)意圖: 學(xué)生的探究活動(dòng)不應(yīng)該隨著課堂的結(jié)束而結(jié)束. 該作業(yè)題不再提及正方形的邊長(zhǎng)(對(duì)比問(wèn)題5),相信此時(shí)學(xué)生已經(jīng)心中有“數(shù)”,會(huì)主動(dòng)以數(shù)馭形,完成拼剪要求. 雖然正方形的個(gè)數(shù)在減少,但是問(wèn)題的復(fù)雜程度在增加. 由此題所引,部分同學(xué)會(huì)去思考如果正方形的個(gè)數(shù)是其他數(shù)目的時(shí)候,又會(huì)出現(xiàn)怎樣的拼剪方案.

6 教學(xué)反思

課堂教學(xué)方式應(yīng)當(dāng)是多種多樣,多姿多彩的. 或注重啟發(fā)引導(dǎo),或強(qiáng)調(diào)合作探究,不一而足. 豐富的教學(xué)方式,多樣的教學(xué)手段,合理的問(wèn)題編排,目的都是讓學(xué)生可以在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、反思、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、感悟基本思想[1].

當(dāng)數(shù)學(xué)課堂上有機(jī)會(huì)讓學(xué)生“動(dòng)手”探究且活動(dòng)可以伴隨課堂始終的時(shí)候,如何不失時(shí)機(jī)的讓學(xué)生“動(dòng)腦”? 如何設(shè)置問(wèn)題讓學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)表達(dá)? 如何通過(guò)引導(dǎo),讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)、理解、表達(dá)真實(shí)世界的工具? 相信只要教師在教學(xué)過(guò)程當(dāng)中,積極思考,精心準(zhǔn)備,勇于嘗試,定會(huì)給出美麗答卷,讓我們的學(xué)生在獲得解題經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)也能提升數(shù)學(xué)智慧,發(fā)展核心素養(yǎng).