廣東省廣州市花都區(qū)教師發(fā)展中心 (510800) 李桃

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》中指出: 教師要把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上,積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式;教師要善于根據(jù)不同的內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)采用不同的教學(xué)方式,優(yōu)化教學(xué),抓住關(guān)鍵的教學(xué)與學(xué)習(xí)環(huán)節(jié),增強(qiáng)實(shí)效[1]. 美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾提出的先行組織者理論旨在構(gòu)建能激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的有意義學(xué)習(xí),恰好契合新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.

1 先行組織者的內(nèi)涵

奧蘇貝爾首次給出“先行組織者”的經(jīng)典定義: 先于學(xué)習(xí)材料之前呈現(xiàn)的,在概括與包容水平上高于新的學(xué)習(xí)材料的引導(dǎo)性材料. 他認(rèn)為先行組織者要比新材料要更具抽象性、概括性和綜合性,并能清晰地反映學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識原式與新的學(xué)習(xí)任務(wù)之間的聯(lián)系[2]. 奧蘇貝爾本人以及后來的研究者發(fā)展了這一概念使之更加寬泛, 在呈現(xiàn)順序上,先行組織者不僅可以在學(xué)習(xí)新材料前呈現(xiàn),也可以在過程中和之后呈現(xiàn);在包攝性上,先行組織者既可以高于學(xué)習(xí)材料,也可以低于學(xué)習(xí)材料. 但都要求先行組織者與新知識有實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系,并能促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)、保持[3].

2 高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)

所謂數(shù)學(xué)命題,指的是數(shù)學(xué)真命題,其外延就是數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)公理、定理、數(shù)學(xué)公式、法則、數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)等.根據(jù)廣義知識學(xué)習(xí)三階段(習(xí)得、鞏固和轉(zhuǎn)化、遷移和運(yùn)用)模型,命題習(xí)得階段包含注意與預(yù)期、命題獲得兩個環(huán)節(jié). 喻平教授指出命題獲得的基本模式包含結(jié)果型、發(fā)生型和問題解決型[4]. 根據(jù)高中數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)及教學(xué)要求,高中數(shù)學(xué)命題獲得的常用模式是問題解決型和發(fā)生型(見圖1、圖2).

圖1: 提出問題→解決問題→獲得命題

問題解決型命題教學(xué)模式,其基本思想是把命題還原為一個抽象的數(shù)學(xué)問題,通過解決問題而得到命題的教學(xué)模式.解決問題的過程對于發(fā)展學(xué)生的批判思維,提高邏輯推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識有積極作用.

圖2: 先行組織者→推理→證明→獲得命題

發(fā)生型命題教學(xué)模式,其基本思想是引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程,為形成命題域和命題系建立認(rèn)知基礎(chǔ). 常用策略是設(shè)計(jì)先行組織者,引導(dǎo)學(xué)生去感知、體驗(yàn)、概括、抽象,從而歸納出命題,再分析證明思路,寫出證明過程. 這一教學(xué)模式有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力、邏輯推理能力等.

3 命題教學(xué)中的先行組織者

結(jié)合國內(nèi)外對先行組織者的研究成果及實(shí)踐思考,課題組對先行組織者作出大致的分類. 按照引導(dǎo)性材料在命題教學(xué)過程中發(fā)揮的教學(xué)功能,將先行組織者分為導(dǎo)學(xué)性、導(dǎo)思性、導(dǎo)知性、整合性這四類;按照其呈現(xiàn)形式,進(jìn)一步細(xì)分有陳述式、問題式、任務(wù)式先行組織者. 接下來,筆者以命題習(xí)得階段的兩個環(huán)節(jié)及鞏固階段為主線,通過五個教學(xué)案例對各類先行組織者的內(nèi)涵進(jìn)行闡述,與專家同行交流.

3.1 導(dǎo)學(xué)性先行組織者

在命題習(xí)得階段的注意與預(yù)期環(huán)節(jié),為激發(fā)學(xué)生對一個單元、一節(jié)課或一個知識點(diǎn)產(chǎn)生積極的學(xué)習(xí)心向,幫助學(xué)生建立新舊知識的聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生對知識的主動建構(gòu),為此所設(shè)計(jì)的引導(dǎo)性材料統(tǒng)稱為導(dǎo)學(xué)性先行組織者,分為導(dǎo)學(xué)任務(wù)式、導(dǎo)學(xué)陳述式.

3.1.1 導(dǎo)學(xué)任務(wù)式

這種導(dǎo)學(xué)任務(wù)式先行組織者是基于新舊知識的聯(lián)系而提出的學(xué)習(xí)任務(wù),能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突. 一方面,藉此可以激發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)新知識的預(yù)期,另一方面,這種聯(lián)系對新知識的探索具有導(dǎo)向作用.

案例1 “兩角差的余弦公式”教學(xué)片斷

教師布置任務(wù): 已知α為任意角,請將以下式子進(jìn)行化簡.

學(xué)生利用誘導(dǎo)公式能夠?qū)ⅱ佗趦蓚€式子化簡, 對于③④兩個式子有著多種不確定的猜測. 教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識: (1) 運(yùn)用誘導(dǎo)公式有特殊限制, 有必要去探索任意兩角差公式. 此時, 教師提出本節(jié)課的中心問題: 對于任意角α,β,cos(α-β)與α,β的三角函數(shù)值有什么聯(lián)系? (2)誘導(dǎo)公式是任意兩角差公式的一類特殊情形. 基于這樣的聯(lián)系,可以將探索誘導(dǎo)公式的經(jīng)驗(yàn)遷移運(yùn)用到探索任意兩角差余弦公式[5].

3.1.2 導(dǎo)學(xué)陳述式

這種導(dǎo)學(xué)陳述式先行組織者是教師呈現(xiàn)給學(xué)生的一段材料(文字、圖表、視頻等),幫助學(xué)生建立對本單元或本節(jié)課(其中包括內(nèi)容結(jié)構(gòu)、基本思想和特點(diǎn)等)的整體性認(rèn)識. 這種整體性認(rèn)識隨著學(xué)習(xí)的深入,學(xué)生將習(xí)得的知識置于初期輪廓的適當(dāng)位置歸類并固定下來,這樣既可以促進(jìn)新的學(xué)習(xí)開始,又可以防止歸類以后的消失,這有助于學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展.

案例2 “平面向量及其應(yīng)用”教學(xué)片斷

教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材上的章節(jié)引言, 學(xué)生可以明確:(1)本章的研究對象: 平面向量(既有大小又有方向);(2)研究內(nèi)容: 概念;運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì);應(yīng)用;(3)研究方法: 類比、數(shù)形結(jié)合等.

3.2 導(dǎo)思性與導(dǎo)知性先行組織者

在命題習(xí)得階段的獲得環(huán)節(jié),為促進(jìn)學(xué)生主動思考探索,積極參與獲得知識的過程,在問題解決型、發(fā)生型命題獲得模式中設(shè)計(jì)的引導(dǎo)性材料分別統(tǒng)稱為導(dǎo)思性、導(dǎo)知性先行組織者.

3.2.1 導(dǎo)思性先行組織者

對于問題解決型命題獲得模式,關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生找到解決問題的方法. 當(dāng)問題難以直接解決時,教師要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶?dǎo)思性先行組織者. 學(xué)生經(jīng)歷完成一項(xiàng)具體任務(wù),或者通過閱讀一段材料,從中抽象概括出解決問題的方法,再將方法遷移運(yùn)用到解決一般問題. 對應(yīng)的任務(wù)、材料分別稱為導(dǎo)思任務(wù)式、導(dǎo)思陳述式先行組織者.

案例3 “等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式”教學(xué)片斷,2 種技術(shù)路線

(1)導(dǎo)思任務(wù)式

教師在提出本節(jié)課的研究主題后,給出求具體的等差數(shù)列之和的任務(wù)為先行組織者.

如下圖所示,建筑工地上堆放著一堆鋼管,最上面一層有4 根,下面每一層比上一層多一根,共7 層,請計(jì)算這一堆鋼管的總數(shù).

（49）伏願神明如在，盻蠻來臨。鑒此際之精虔，削多生之罪對。（《北極真武佑聖真君禮文》，《中華道藏》30/587）

學(xué)生用算術(shù)的方法很容易得到運(yùn)算結(jié)果,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,學(xué)生容易觀察到梯形區(qū)域中的部分區(qū)域是平行四邊形,這部分容易計(jì)數(shù). 教師順勢讓學(xué)生回顧梯形與平行四邊形的關(guān)聯(lián). 梯形面積公式的推導(dǎo)采用“平行倒置”的策略.學(xué)生將形的“倒置”遷移到數(shù)式的“倒序”,可自行推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

(2)導(dǎo)思陳述式

教師在提出本節(jié)課的研究主題后,呈現(xiàn)以下閱讀材料為先行組織者.

我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出了這樣一個問題:“今有圭垛草一堆,頂上一束,底闊八束,問共幾束? 答: 36 束. ”他的計(jì)算方法可以用下圖來表示.

楊輝設(shè)想有另外一堆同樣的草,將其倒置,并和原來的草堆拼在一起,這就得到8×9 的草堆,一共72 束,因此原來的草堆共有36 束. 學(xué)生通過分析計(jì)數(shù)方法,可明確關(guān)鍵因素是各行的數(shù)量依次構(gòu)成等差數(shù)列,即可采用“平行倒置”的策略計(jì)數(shù). 學(xué)生將形的“倒置”遷移到數(shù)式的“倒序”,可自行推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

3.2.2 導(dǎo)知性先行組織者

對于發(fā)生型命題獲得模式,關(guān)鍵是設(shè)計(jì)出符合邏輯,適切的導(dǎo)知性先行組織者. 學(xué)生在問題鏈的啟發(fā)下,逐步發(fā)現(xiàn)新命題,或者發(fā)現(xiàn)新舊命題之間的聯(lián)系,由舊命題推理得到新命題; 又或者學(xué)生根據(jù)閱讀材料(操作實(shí)驗(yàn))歸納出新命題. 對應(yīng)的問題鏈、廣義的閱讀材料(操作實(shí)驗(yàn))分別稱為導(dǎo)知問題式、導(dǎo)知陳述式先行組織者.

案例4 “對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)片斷,2 種技術(shù)路線.

教師設(shè)計(jì)以下問題鏈:

問題1. 從運(yùn)算的角度看,同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有怎樣的聯(lián)系?

問題2. 以上聯(lián)系反映到兩者的函數(shù)圖象上有什么幾何意義?

學(xué)生根據(jù)兩個函數(shù)的自變量與函數(shù)值的關(guān)聯(lián),由點(diǎn)的對稱可知同底的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱. 由此,學(xué)生可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象作出同底的對數(shù)函數(shù)的大致圖象,進(jìn)而對照指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),梳理出對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

(2)導(dǎo)知陳述式

利用計(jì)算工具畫圖,將底數(shù)a作為變化的控制量,教師

給學(xué)生演示動態(tài)圖象或者學(xué)生動手操作. 學(xué)生觀察這些圖象的位置、公共點(diǎn)和變化趨勢,類比指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),歸納出對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

3.3 整合性先行組織者

在命題鞏固階段,教師引導(dǎo)學(xué)生辨別新舊命題的區(qū)別與聯(lián)系,利用學(xué)習(xí)任務(wù)幫助學(xué)生形成命題域、命題系,這都有利于學(xué)生將新舊知識整合到認(rèn)知體系中, 不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),促進(jìn)記憶的保持和增進(jìn). 這類學(xué)習(xí)任務(wù)或問題統(tǒng)稱為整合性先行組織者.

案例5 “基本不等式”教學(xué)片斷

由重要不等式推導(dǎo)出基本不等式后,教師布置以下2 個學(xué)習(xí)任務(wù).

任務(wù)1: 在圓O中,AB是圓的直徑,點(diǎn)C是AB上的動點(diǎn),AC=a,BC=b. 過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD. 請?jiān)谶@個圖形中對基本不等式進(jìn)行解釋說明.

學(xué)生完成任務(wù)1,則獲得基本不等式的幾何表征,直觀形式有助于學(xué)生理解記憶這個命題.

任務(wù)2: 已知a,b∈R,請證明

學(xué)生完成任務(wù)2,一方面,基本不等式與這個常用不等式組成一個命題域,幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu),另一方面,教師引導(dǎo)學(xué)生對從試誤到頓悟的解答過程進(jìn)行反思,有利于深化學(xué)生對基本不等式與重要不等式的準(zhǔn)確認(rèn)識.

結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)中,教師應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)中對命題的教學(xué)要求和學(xué)生認(rèn)知水平為依據(jù),制定恰當(dāng)?shù)拿}教學(xué)方案,以促進(jìn)學(xué)生主動參與命題的學(xué)習(xí)過程;以深刻理解命題本質(zhì)為目的,合理設(shè)計(jì)先行組織者,發(fā)揮好先行組織者的橋梁作用、導(dǎo)向作用,切實(shí)提升命題教學(xué)的實(shí)效,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).