饒紹斌 呂小俊 聶家升 郝冰

摘 要：一階半線性微分方程的歐拉差分在過去十幾年里得到了迅速的發(fā)展，并得出了一些很好的結(jié)果。因此，各種歐拉差分方法已成為非常重要的研究課題。本文主要研究了帶有時(shí)滯的模糊分?jǐn)?shù)階廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用分?jǐn)?shù)階微積分中的常數(shù)變分公式，建立了一類具有時(shí)滯的模糊分?jǐn)?shù)階廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的差分模型，并對(duì)該差分模型進(jìn)行了定性分析。首先，利用壓縮映射原理證明了差分模型有界解和平衡點(diǎn)的存在唯一性；其次，利用不等式放縮技巧和反證法，證明了差分模型解的指數(shù)穩(wěn)定性。本文的研究成果，一方面可以豐富這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論成果；二方面可以拓展這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用范疇。

關(guān)鍵詞：Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；差分方程；平衡點(diǎn)；指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O175.13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

分?jǐn)?shù)階微積分^［1-2］作為整數(shù)階微積分的推廣，它是將整數(shù)階微積分推廣到任意階，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部的，它未來的狀態(tài)不僅取決于當(dāng)前狀態(tài)，還取決于之前的狀態(tài)。這使我們能夠非常準(zhǔn)確地描述問題，比傳統(tǒng)的“整數(shù)階”方法更好。如今，很多實(shí)際問題被描述為分?jǐn)?shù)階微分模型，如熱傳導(dǎo)^［3-4］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)^［5］、生物系統(tǒng)^［6］、機(jī)器人^［7］等。分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為描述記憶和遺傳特性提供了一種有效的方法，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展過程中發(fā)揮著重要的作用。近年來，分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展十分迅速，其動(dòng)態(tài)特性一直是一個(gè)非常重要的研究課題，如周期性^［8］、同步^［5］、Hopf分岔^［6］、穩(wěn)定性^［9］和混沌^［10］等。

離散時(shí)間的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型更加的貼近現(xiàn)實(shí)。該模型有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是可以將適用技術(shù)應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)的數(shù)字控制器而不是模擬的控制器；二是同步控制器可以在數(shù)字處理器中直接實(shí)現(xiàn)。因此，研究離散非線性系統(tǒng)的控制方法，可以更有效地應(yīng)用于真實(shí)的系統(tǒng)中。近年來，從數(shù)學(xué)到計(jì)算機(jī)科學(xué)，從工程學(xué)到生物學(xué)，各種形式的數(shù)值方法^［11］被提出，用來求解整數(shù)階微分方程。眾所周知，Euler在18世紀(jì)提出了最簡單的數(shù)值方法（即Euler差分法）用差商代替微分方程的導(dǎo)數(shù)，得到差分方程。1883年，Bashforth和Adams首先提出了線性多級(jí)差分方法來討論差分方程，該方法在Euler差分法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展，充分的利用了先前近似解的多級(jí)信息。1900年左右，Runge和Kutta引入了另一種重要的數(shù)值方法（即Runge-Kutta差分法）通過取多點(diǎn)斜率的加權(quán)平均值作為平均斜率的近似值。除此之外，在討論整數(shù)階微分方程時(shí)還可以應(yīng)用其他的數(shù)值方法，如泰勒級(jí)數(shù)法^［12］、指數(shù)Euler差分方法^［13］、有限差分方法^［14］和有限元方法^［15］等。

模糊邏輯是由ZADEH^［16］在1965年提出的，它考慮了不確定性和模糊性，是模擬現(xiàn)實(shí)最常用和最重要的工具之一。YANG^［17］在1999年提出了模糊細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其在圖像處理中的應(yīng)用。除了乘積和求和運(yùn)算之外，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模板輸入和輸出具有模糊邏輯。近年來，模糊Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其在圖像處理和模式識(shí)別方面的優(yōu)越性而受到越來越多的關(guān)注^［18］。

論文其余部分的組織如下，第二部分主要證明和介紹了一些重要的定義和引理；第三部分利用分?jǐn)?shù)階微積分中的常數(shù)變分公式，建立了具有時(shí)滯的Caputo分?jǐn)?shù)模糊廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間離散差分模型和一些性質(zhì)；第四部分利用壓縮映射原理證明了離散時(shí)間差分模型有界解和平衡點(diǎn)的存在性、唯一性；第五部分利用不等式放縮技巧和反證法，證明了離散時(shí)間差分模型解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。

1 預(yù)備知識(shí)

2 時(shí)間離散及其性質(zhì)

3 有界解和平衡點(diǎn)的存在性和唯一性

4 指數(shù)穩(wěn)定性分析

5 結(jié)語

本文主要利用分?jǐn)?shù)階微積分中的常數(shù)變分公式，提出了分?jǐn)?shù)階模糊廣義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的Euler差分模型。此外， 還討論了該差分模型的全局有界解和平衡點(diǎn)的存在性唯一性，以及解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。在本文的研究基礎(chǔ)上，未來可以進(jìn)行如下的拓展研究：

1）本文主要針對(duì)的是α∈（0，1］階進(jìn)行討論，未來可以把它擴(kuò)展到其它階數(shù)進(jìn)行研究；

2） 本文是在Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程下進(jìn)行研究的，未來可以在其它類型的分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行類似的研究。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

Qualitative Analysis of a Class of Fuzzy Fractional-Order

Generalized Neural Networks with Time Delays

RAO Shaobin1， LV Xiaojun^*1， NIE Jiasheng1， HAO Bing2

（1.College of Applied Technology，Soochow University， Suzhou 215325， China; 2.College of Oxbridge，Kunming University of Science and Technology， Kunming 650106， China）

Abstract： Euler difference of first order semilinear differential equations has been developed rapidly in the last decade and some good results have been obtained. Therefore， various Euler difference methods have become very important research topics. This paper mainly studies fuzzy fractional-order generalized neural networks with time delay. A kind of difference model of fractional-order generalized neural network with time delay is established using the constant variational formula in fractional-order calculus. Firstly， the existence and uniqueness of the bounded solution and the equilibrium point of the difference model are proved by the compression mapping principle. Secondly， the exponential stability of the solution of the difference equation is proved by means of inequality reduction technique and inverse proof. The research results of this paper can enrich the theoretical achievements of this kind of neural networks and expand their application scope.

Key words： Caputo fractional derivative; generalized neural networks; difference equation; equilibrium point; exponential stability