周素萍

摘要：判定數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，積極參與，提高學(xué)習(xí)效率。它不僅要求學(xué)生學(xué)會(huì)理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，還更多地注重應(yīng)用、分析、創(chuàng)造等高階思維活動(dòng)。它的最終目標(biāo)指向發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為了讓學(xué)生形成主動(dòng)、積極的深度學(xué)習(xí)，筆者通過(guò)“圓內(nèi)接四邊形”新授課教學(xué)設(shè)計(jì)的分析，提出指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)的三個(gè)立足點(diǎn)：基于單元整體理解及設(shè)計(jì)、基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的變式和整合、基于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的多角度體驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí) ? 幾何學(xué)習(xí) ?圓內(nèi)接四邊形

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是浙江教育出版社《數(shù)學(xué)》九年級(jí)第三章第六節(jié)的內(nèi)容，“圓內(nèi)接四邊形”安排為1課時(shí)。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)課的要求及建議是：“在平面幾何研究的基礎(chǔ)上，拓展與圓有關(guān)的定理系統(tǒng)，進(jìn)一步深入研究平面幾何?！逼渲袑?duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的要求是：“會(huì)解決一些較復(fù)雜的幾何論證和計(jì)算問(wèn)題，提高直覺(jué)思維、歸納猜想和邏輯推理能力?！?/p>

這節(jié)課中，筆者嘗試運(yùn)用實(shí)驗(yàn)幾何與論證幾何相結(jié)合的研究方式，展現(xiàn)幾何研究的完整過(guò)程，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行論證；從多角度探究定理，并發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)都是幾何演繹；進(jìn)一步從“定義→判定與性質(zhì)→運(yùn)用”的基本結(jié)構(gòu)特征演繹推導(dǎo)出圓的內(nèi)接四邊形的判定定理，充分體現(xiàn)化歸思想方法。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（一）經(jīng)歷探索圓內(nèi)接四邊形判定的過(guò)程，體會(huì)研究圖形判定條件的方法。

（二）掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的判定定理，能運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的判定定理解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已熟悉圓周角、弦切角定理、相交線定理、切割線定理等具體知識(shí)，會(huì)利用這些定理解決一些問(wèn)題，也了解可以從性質(zhì)定理的逆命題出發(fā)探索其判定定理。但是對(duì)于為什么研究圓的內(nèi)接四邊形判定，直線型圖形和曲線型圖形之間有何聯(lián)系，學(xué)生還不能抽象出整體的知識(shí)框架，這限制了圓的相關(guān)性質(zhì)和判定的應(yīng)用，所以有進(jìn)一步研究推導(dǎo)判定定理的必要。

四、教學(xué)策略分析

依據(jù)教學(xué)內(nèi)容與要求，針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力和特點(diǎn)，筆者對(duì)本節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行如下設(shè)計(jì)。

在教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)上，注意整個(gè)單元的“瞻前與顧后”，定理探究兼顧“實(shí)驗(yàn)與演繹”，教學(xué)安排選擇“主要與次要”。

（一）瞻前與顧后

本節(jié)課伊始即通過(guò)回顧上一節(jié)學(xué)習(xí)的性質(zhì)，指出幾何的學(xué)習(xí)探索大都通過(guò)“定義→判定與性質(zhì)→運(yùn)用”的基本結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行，讓學(xué)生能夠帶著方法進(jìn)入這節(jié)“似曾相識(shí)”的判定課。完成判定定理演繹論證后，再次從“定義→判定與性質(zhì)→運(yùn)用”的基本結(jié)構(gòu)揭示幾何學(xué)習(xí)的基本方法，并形成知識(shí)框架，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系，對(duì)學(xué)到的知識(shí)進(jìn)行遷移與應(yīng)用。

（二）實(shí)驗(yàn)與演繹

初中平面幾何是從實(shí)驗(yàn)幾何過(guò)渡到演繹幾何的，本章節(jié)作為最末一章，當(dāng)然也要關(guān)注兩者之間的聯(lián)系，以“先畫(huà)圓還是先畫(huà)四邊形”厘清證明的邏輯關(guān)系，再結(jié)合性質(zhì)及其逆命題的關(guān)系導(dǎo)出猜想，進(jìn)行對(duì)比，更加強(qiáng)調(diào)幾何演繹的思想方法。最后再回到具體的證明判定定理中，類比問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到四點(diǎn)，使對(duì)圓的相關(guān)性質(zhì)理解更深刻、準(zhǔn)確。

（三）主要與次要

筆者將教學(xué)的重點(diǎn)放在經(jīng)歷探索圓內(nèi)接四邊形判定的過(guò)程以及體會(huì)研究圖形判定條件的方法上，給予學(xué)生足夠的時(shí)間探索判定定理，體會(huì)演繹幾何的思想方法。而將運(yùn)用判定定理化“隱圓”為“顯圓”融入整節(jié)課的例題中，這樣的設(shè)計(jì)著重探索推導(dǎo)過(guò)程，又涵蓋了深度的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新知

幾何命題的探索應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，也需要符合學(xué)生的認(rèn)知水平，同時(shí)應(yīng)當(dāng)符合學(xué)生的思維邏輯。如何在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究并合理猜想，一直是圓內(nèi)接四邊形判定定理教學(xué)的難點(diǎn)，其原因在于圓的基本要素、相關(guān)要素比較多，判定四點(diǎn)共圓不只是尋找角的關(guān)系，邊的關(guān)系也會(huì)涉及，所以僅依靠簡(jiǎn)單地測(cè)量、觀察很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。事實(shí)上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)——對(duì)角互補(bǔ)，因此，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注互逆定理的推導(dǎo)，進(jìn)而從定理的逆命題引出猜想相對(duì)合理。

浙教版教材的編排也是以這一邏輯呈現(xiàn)的，前后聯(lián)系緊密，便于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移，迅速猜想得到四點(diǎn)共圓的條件，彰顯了教材編寫(xiě)的智慧。

教學(xué)設(shè)計(jì)一

問(wèn)題1：對(duì)于圓，我們已經(jīng)從哪些角度進(jìn)行了研究？

問(wèn)題2：從以前研究三角形、四邊形的過(guò)程來(lái)看，在研究了與圓有關(guān)的角及比例線段后，我們還可以從哪個(gè)角度對(duì)圓繼續(xù)開(kāi)展研究？

問(wèn)題3：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，你能提出一個(gè)合理的猜想嗎？

設(shè)計(jì)意圖：要引出圓的內(nèi)接四邊形的判定定理，應(yīng)該找出新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，做到瞻前顧后，從學(xué)生已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，類比之前三角形、四邊形章節(jié)的判定定理探究過(guò)程，讓學(xué)生從“定義→判定與性質(zhì)→運(yùn)用”的基本結(jié)構(gòu)厘清研究脈絡(luò)，并從整體形成知識(shí)框架。

（二）分析驗(yàn)證，揭示本質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形判定的證明也是本課教學(xué)的難點(diǎn)之一，在此之前，學(xué)生對(duì)于論證點(diǎn)是否在圓上的方法掌握較少，圓的定義、三角形的外接圓具有一定關(guān)聯(lián)，學(xué)生會(huì)運(yùn)用類比的思想，先任意選出三點(diǎn)作一個(gè)圓，然后證明另一個(gè)點(diǎn)也在該圓上。因此，對(duì)于圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明，本課引導(dǎo)學(xué)生類比問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，從三點(diǎn)轉(zhuǎn)化到四點(diǎn)。

教學(xué)設(shè)計(jì)二

問(wèn)題4：教材上有與證明點(diǎn)在圓上相關(guān)的知識(shí)嗎？

追問(wèn)1：證明的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？

追問(wèn)2：請(qǐng)大家先嘗試畫(huà)出圖形，先畫(huà)圓還是先畫(huà)四邊形？

設(shè)計(jì)意圖：借助要證明的結(jié)論尋找相關(guān)圓單元的知識(shí)點(diǎn)，引出圓的定義、不在同一直線上的三點(diǎn)在一個(gè)圓上等相應(yīng)的知識(shí)。通過(guò)是先畫(huà)圓還是先畫(huà)四邊形這一問(wèn)題，厘清證明的邏輯關(guān)系，學(xué)生獨(dú)立思考操作，明確已知和求證，啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的癥結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生一步步深入思考判定定理的本質(zhì)。

問(wèn)題5：如何確定第四個(gè)點(diǎn)在圓上？

問(wèn)題6：如果不好直接論證，那么反過(guò)來(lái)想一想，第四個(gè)點(diǎn)不在上面會(huì)如何？點(diǎn)D在圓上的反面是什么？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生將四點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“三加一”的問(wèn)題進(jìn)行研究，最后啟發(fā)學(xué)生反向思考，即可以用反證法間接證明。

問(wèn)題7：說(shuō)出證明這個(gè)問(wèn)題的思路。

活動(dòng)1：結(jié)合圖形（如圖l、圖2），引導(dǎo)學(xué)生完成該過(guò)程的證明。

設(shè)計(jì)意圖：明確命題的三種語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生明確思路。

（三）梳理歸納，解決問(wèn)題

活動(dòng)2：例題分析

例題：已知，如圖3，在△ABC中，AB=AC，O是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且么∠DOE+∠A=180°，求證：OD=OE。

設(shè)計(jì)意圖：可以通過(guò)八年級(jí)學(xué)習(xí)的角平分線性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)添加輔助線解決（如圖4所示）。引導(dǎo)學(xué)生比較不同解法處理同一道題目的優(yōu)點(diǎn)與不足，幫助學(xué)生在理解不同解法的基礎(chǔ)上優(yōu)化解題思路，同時(shí)助其運(yùn)用判定定理化“隱圓”為“顯圓”，利用圓的相關(guān)性質(zhì)解題，體會(huì)圓的工具性。

（四）布置作業(yè)，拓展提高

從下列問(wèn)題中任選其一完成獨(dú)立探究，整理學(xué)習(xí)報(bào)告，在班內(nèi)進(jìn)行展示。

問(wèn)題8：請(qǐng)查閱數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)，是否有可以運(yùn)用本節(jié)課學(xué)習(xí)的判定定理解決B的習(xí)題？

問(wèn)題9：是否可以將圓內(nèi)接四邊形判定定理推廣到圓內(nèi)接五邊形判定定理？

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解與掌握程度，積累研究幾何圖形的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)類比意識(shí)與遷移能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

六、教學(xué)思考

（一）指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是基于單元整體理解及設(shè)計(jì)

單元深度理解是課時(shí)教學(xué)的指引，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須瞻前顧后——本節(jié)內(nèi)容與以往的內(nèi)容有何聯(lián)系？之后的內(nèi)容與現(xiàn)在的內(nèi)容又有何聯(lián)系？

“瞻前”使得當(dāng)下的課時(shí)有切實(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，從幾何學(xué)習(xí)的基本結(jié)構(gòu)及脈絡(luò)類比切入，這樣的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生認(rèn)知構(gòu)成挑戰(zhàn)，形成了新的知識(shí)序列和聯(lián)結(jié)，真正與學(xué)生原有的知識(shí)發(fā)生深刻交融，進(jìn)入高層次的思維系統(tǒng)，讓學(xué)生能夠順利地進(jìn)行遷移和運(yùn)用，并以融會(huì)貫通的方式解決相應(yīng)的問(wèn)題，甚至產(chǎn)生創(chuàng)造性的思考和方案，達(dá)到觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度學(xué)習(xí)效果?！邦櫤蟆笔巩?dāng)下的課時(shí)定位更科學(xué)，立意更深遠(yuǎn)，學(xué)生以學(xué)習(xí)活動(dòng)為意識(shí)對(duì)象，對(duì)思維活動(dòng)進(jìn)行計(jì)劃監(jiān)控與調(diào)節(jié)，從而形成更高階的認(rèn)知能力。

（二）指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的變式和整合

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的資源需要經(jīng)過(guò)加工，這就要求在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行變式和整合。數(shù)學(xué)深度教學(xué)之于課堂需要進(jìn)行變式和整合，先畫(huà)圓還是先畫(huà)四邊形在孤立的場(chǎng)合中呈現(xiàn)為技巧性問(wèn)題，但是在推導(dǎo)定理、介紹教材和證法拓展的深度學(xué)習(xí)過(guò)程中，它展現(xiàn)了圓的內(nèi)接四邊形的判定本質(zhì)這一深刻認(rèn)識(shí)的必然，幾何演繹思想方法呼之欲出。

（三）指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，是基于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的多角度體驗(yàn)

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是一個(gè)過(guò)程，既存在于個(gè)體的思維之中，也通過(guò)群體間互動(dòng)而生的深切體驗(yàn)深化。具體知識(shí)與問(wèn)題是數(shù)學(xué)思維的載體，用不同的方法解決同一問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)這些方法間的關(guān)聯(lián)與統(tǒng)一是思維體驗(yàn)常用的策略。

在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，基于深度學(xué)習(xí)理念的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在思考問(wèn)題的過(guò)程中深化思維。教師還可以根據(jù)數(shù)學(xué)課程知識(shí)拓展內(nèi)容，讓學(xué)生參與到展示活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。