陸燕

函數(shù)的導數(shù)與其單調(diào)性息息相關(guān).在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，通?？梢詮暮瘮?shù)的導數(shù)入手，討論導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利用導數(shù)法來解題.

函數(shù)的導數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系為：

①在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果函數(shù)的導數(shù)大于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果函數(shù)的導數(shù)小于零，則該函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的導數(shù)恒等于零，則該函數(shù)為常數(shù).

利用導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為：

第一步，對函數(shù)求導，并化簡；

第二步，令導數(shù)為0，求得其零點；

第三步，用零點將函數(shù)的定義域劃分為幾個子區(qū)間，并在每個子區(qū)間上討論導數(shù)的符號；

第四步，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性.若導數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)遞增，其對應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；若導數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)遞減，其對應(yīng)的區(qū)間為函數(shù)的單減遞減區(qū)間.

下面舉例加以說明.

該函數(shù)式較為復雜，在對函數(shù)求導后，還需進行適當?shù)淖冃危蛊錇閹讉€因式的積或商，這樣便于判斷導數(shù)的符號.本題中導函數(shù)的零點中含有參數(shù)a ，且a 的符號可以決定導數(shù)的符號，所以需根據(jù)題意分a ≤0 、a >0 兩種情況進行討論.若導函數(shù)的零點較多，且含有參數(shù)，還需比較各個零點的大??；若無法比較，則需進一步進行分類討論.

對于函數(shù)式較為復雜的函數(shù)單調(diào)性問題，如函數(shù)式中含有多種類型的簡單函數(shù)，函數(shù)式為幾個簡單函數(shù)的商、積等，此時運用導數(shù)法來判斷函數(shù)的單調(diào)性比較奏效.對于一次求導不能判斷出函數(shù)的單調(diào)性的問題，往往需要通過二次求導、多次求導來確定各個層級函數(shù)的最值，以確定上一級導數(shù)的符號.

（作者單位：江蘇省南通啟東市第一中學）