胡志平，鄒屹東，陳金保，鄭 陽，肖志懷

（1. 湖北白蓮河抽水蓄能有限公司，湖北 黃岡 438600； 2. 武漢大學動力與機械學院，湖北 武漢 430072）

0 引 言

在國家“雙碳”背景下，光伏與風電在電網(wǎng)中的裝機容量不斷擴大。為了加強電網(wǎng)的安全與穩(wěn)定性，水電能源作為一種優(yōu)質(zhì)的調(diào)峰調(diào)頻電源，將更加頻繁地參與電網(wǎng)功率調(diào)節(jié)，對水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)提出了嚴峻挑戰(zhàn)。調(diào)節(jié)系統(tǒng)是水電站系統(tǒng)的重要組成部分，影響著機組乃至互聯(lián)電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運行。針對上述問題，在過去的十年中，水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制技術已得到廣泛研究，極大提高了調(diào)節(jié)系統(tǒng)的運行可靠性、可用性和安全性。

PID 控制是一種經(jīng)典的、廣泛使用的工業(yè)控制方法，在水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)中應用廣泛。文獻［1］提出了光伏功率擾動環(huán)境下的水電機組模糊PID 控制研究。黃金龍等人［2］研究了一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡與智能算法的自適應PID 控制器，以有效提高調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制質(zhì)量。文獻［3］提出了一種基于迭代學習的用于調(diào)節(jié)系統(tǒng)在線參數(shù)優(yōu)化方法，用以提高風電功率波動環(huán)境下水電機組穩(wěn)定性能。盡管PID控制具有在線計算量小、易于程序?qū)崿F(xiàn)、實時性好等優(yōu)點，但其控制參數(shù)的設定通常只針對幾組固定工況。在“雙碳”背景下，電網(wǎng)靈活運行要求越來越高，水電機組運行工況常發(fā)生大范圍變動，固定的PID 參數(shù)可能導致控制器性能下降。隨著控制理論與應用的研究不斷發(fā)展，一些新穎的控制理論被應用到水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)設計中，如自適應控制［4］、魯棒控制［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡控制［6］等，但上述大多數(shù)控制方案都是基于控制器不會失效的假設而提出。

容錯控制可以消除或抑制機電系統(tǒng)控制信號的不確定性與擾動影響［7］。文獻［8］提出了基于模糊觀測器的容錯控制方案，并對故障影響執(zhí)行機構的風機進行控制，從而確保轉(zhuǎn)速跟蹤給定參考轉(zhuǎn)速少受執(zhí)行機構故障影響。文獻［9］使用自適應時間延遲控制對具有同時執(zhí)行器和傳感器故障的風力渦輪機進行容錯控制。上述文獻均針對風電機組進行容錯控制研究，但目前關于水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)容錯控制的研究較少。作為優(yōu)質(zhì)的調(diào)峰調(diào)頻電源，水電機組的調(diào)節(jié)系統(tǒng)能夠在部件或子系統(tǒng)發(fā)生故障的情況下，仍然保持較好的性能十分重要。此外，由于機組過渡過程可能會對水電站系統(tǒng)造成較大損害［10］，而滑?？刂瓶梢员ＷC系統(tǒng)在較短時間內(nèi)穩(wěn)定，具有改善系統(tǒng)過渡過程的優(yōu)點［11］，因此，本文將容錯控制與滑?？刂葡嘟Y合，設計了基于線性矩陣不等式的水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)滑模容錯控制策略，包含等效滑模控制和輔助反饋控制分析兩個子模塊。相較于現(xiàn)有的控制策略，本文所提控制策略能夠有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)容錯控制能力。

1 水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型描述

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個水力、機械以及電氣多物理場強耦合非線性系統(tǒng)。本文重點研究水輪發(fā)電機組及其輸水流道的動態(tài)過程，因此在建模過程中，將負荷在系統(tǒng)中的作用以負荷自調(diào)節(jié)系數(shù)的方式加以簡化。水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的被控對象可如圖1所示。

圖1 調(diào)節(jié)系統(tǒng)被控對象框圖Fig.1 Turbine regulation system control block diagram

1.1 接力器數(shù)學模型

控制器給出的控制律，接力器對控制信號進行放大和變換，以獲得足夠的功率來驅(qū)動水輪機導葉，其數(shù)學模型Gg(s)可以表示為：

式中：Ty為水輪發(fā)電機接力器時間常數(shù)。

1.2 水輪機數(shù)學模型

根據(jù)文獻［1］，水輪機及其有壓引水系統(tǒng)的剛性水擊傳遞函數(shù)Gt(s)為：

式中：Tw為引水系統(tǒng)的水流慣性時間常數(shù)；ey為水輪機主動力矩與其導葉開度之間的傳遞系數(shù)；ex為水輪機力矩與其轉(zhuǎn)速之間的傳遞系數(shù)；eh為水輪機力矩與其水頭之間的傳遞系數(shù)；eqy為水輪機流量與其導葉開度之間的傳遞系數(shù)；eqx為水輪機流量與其轉(zhuǎn)速之間的傳遞系數(shù)；eqh為水輪機流量與其之間水頭傳遞系數(shù)。

1.3 發(fā)電機數(shù)學模型

發(fā)電機模型采用傳遞函數(shù)型發(fā)電機負荷動態(tài)方程，其數(shù)學表達式可描述為：

式中：Ta為水輪發(fā)電機慣性時間常數(shù)；xe為機組轉(zhuǎn)速偏差；en為發(fā)電機（負荷）力矩對轉(zhuǎn)速傳遞系數(shù)；mg0(s)表示外負荷對調(diào)節(jié)系統(tǒng)的擾動。

1.4 調(diào)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學模型

在不考慮負載擾動的狀態(tài)下，該水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可以描述為：

其中狀態(tài)矩陣A與B，系統(tǒng)輸出矩陣C與D，以及狀態(tài)向量x(t)定義如下：

式中：y表示主接力器行程相對值；h表示蝸殼水壓相對值；u表示控制輸入。

參考文獻［12］的思想，對水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出變量xe后添加一積分環(huán)節(jié)，即xi=Ki∫xedt（Ki為積分系數(shù)），以消除機組轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差。那么，含積分環(huán)節(jié)的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)狀態(tài)方程可表示為：

其中：

2 容錯滑?？刂破髟O計

水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)頻繁調(diào)節(jié)會導致其出現(xiàn)不同程度的老化。在這種非極端故障出現(xiàn)的情況下，調(diào)節(jié)系統(tǒng)表現(xiàn)出控制信號的調(diào)節(jié)不足，即控制器的輸出信號存在不確定與干擾。在式（5）所描述的理想調(diào)節(jié)系統(tǒng)數(shù)學模型基礎上，此時系統(tǒng)用狀態(tài)空間微分方程可描述為：

其中：不確定與干擾項|Θ(x，t)|≤δf；δf為系統(tǒng)反映出的控制故障上限。

針對式（6）所描述的考慮調(diào)節(jié)系統(tǒng)不確定性與干擾的模型，本文結合基于等效的滑?？刂评碚摵突谳o助反饋的滑?？刂品治觯O計水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的滑模容錯控制律。

2.1 基于等效的滑?？刂评碚?/h3>

定義與狀態(tài)相關的滑模面S(t)如式（7）所示：

其中，矩陣P為一個正定矩陣；通過矩陣P的合理設計實現(xiàn)S(t) →0。

對于水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)，本文所設計的容錯滑模控制器的數(shù)學表達式可描述為：

根據(jù)滑?？刂评碚撝械牡刃г?，取此時的控制不確定與干擾函數(shù)Θ(x，t)為0。由式（5）描述的調(diào)節(jié)系統(tǒng)線性系統(tǒng)的理想數(shù)學模型，可以推導出：

進而，可得到容錯滑模控制器的等效控制律ueq(t)部分的數(shù)學表達式為：

其中，ε0＞0；sgn(*)為符號函數(shù)。

選取Lyapunov函數(shù)為：

其中的S(t)的導數(shù)有以下推導結果：

因此，可以推導求得Lyapunov函數(shù)V(t)的導數(shù)為：

根據(jù)，Lyapunov 穩(wěn)定性定理，當(S) ≤-ε0|S(t)|時，當t→∞，可以使得S(t) →0；但是，由于式（7）中對于S(t)的定義，當式（11）的一階導數(shù)滿足(S) ≤-ε0|S(t)|并不能保證水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的狀態(tài)x(t) →0。對此，需要進一步詳細分析。

采用線性矩陣不等式來設計的正定矩陣P，為了求解控制律當中的矩陣P，參考文獻［13］，將文本所設計的控制律（8）改成為：

其中，v(t) =Kx(t) +ueq(t) +un(t)。

代入式（14）所描述的控制律，此時水電機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)的數(shù)學描述為：

其中，=A′-B′K，通過設計K使得為Hurwitz 矩陣（多項式的所有根都有負實部），這樣可以確保閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

通過這個矩陣P的設計可以有效地調(diào)節(jié)x的收斂過程，并有利于線性矩陣不等式的求解。定義Lyapunov函數(shù)V(t)為：

對式（15）求一階導數(shù)可以得到：

其中，Q1=P(A′+B′K)；Q=QT1+Q1。

為了能夠?qū)崿F(xiàn)x指數(shù)收斂，即Lyapunov 函數(shù)V(t)的導數(shù)能夠滿足：

可以定義如下的式子：

取式（17）中的αP+Q＜0，α＞0，能夠滿足：

由此可以解得：

如果t→∞，那么V(t) →0，從而有x→0 是以指數(shù)收斂的。

線性矩陣不等式（17）中，矩陣Q中包含有矩陣P和矩陣K，那么通過公式（17）中的Q進行展開可以得到：

對式（20）左右同乘P-1，那么可以得到：

令F=KP-1以及N=P-1，則P-1KT=FT，由式（21）可以得到一個線性矩陣不等式為：

根據(jù)P的定義，可以設計另一個線性矩陣不等式為：

通過聯(lián)立式（22）和（23），并且設置合適的指數(shù)大小α數(shù)值，就可以求得有效的反饋矩陣K。

4 仿真試驗驗證

基于MATLAB/Simulink 仿真環(huán)境，搭建了如圖1 所示的混流式機組調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型，從而驗證所提控制器的有效性。并選取機組實際運行工況進行仿真，機組相關仿真參數(shù)如表1所示。其中，接力器時間常數(shù)Ty= 0.2，機組慣性時間常數(shù)Ta= 9.06。

表1 機組運行參數(shù)Tab.1 Operating parameters of the unit

為了通過對比突出所提控制策略的優(yōu)異性能，使用文獻［14］中的智能優(yōu)化算法設計的 PID 控制器最佳參數(shù)為Kp= 10，Ki= 0.6，Kd= 0.02；最佳PI 控制器參數(shù)為Kp= 20，Ki= 0.663 2。采用的滑模容錯控制器如式（8）所示，定義δf= 0.3，ε0= 0.15，α= 3。并采用飽和函數(shù)sat(*)代替切換函數(shù)sgn(*)，sat(*)中的邊界層厚度為Δ= 0.05。

機組所在某個工況的運行參數(shù)如表1 所示。根據(jù)這些參數(shù)，聯(lián)立矩陣A′與矩陣B′，并結合式（22）和（23）。利用MATLAB 中的線性矩陣不等式求解工具箱（LMI Toolbox）［13］。經(jīng)求解可得到矩陣F和P的具體數(shù)值。

那么，狀態(tài)反饋矩陣K由K=FP可以解得：

4.1 仿 真

本節(jié)仿真水電機組處于表1 參數(shù)所描述的工況。同時，考慮引入控制的不確定性與干擾大小為：Θ(t) = 0.3sint，該函數(shù)用于描述系統(tǒng)時間變化的隨機故障。

機組甩75%負荷擾動后的響應曲線如圖2 所示。從圖2 中可以看出，對于機組甩75%負荷擾動，PI、PID、滑模容錯控制（SMC）都可以穩(wěn)定下來。但是，由于引入了控制不確定性與擾動，PI與PID控制并不能很好地使得系統(tǒng)完全穩(wěn)定下來。此外，PID 與PI 控制下的機組在該工況下蝸殼水壓相對值升上值較大，而SMC 控制下的機組能夠維持機組的蝸殼水壓相對值值保持在合適的范圍內(nèi)。

圖2 甩75%負荷擾動仿真響應曲線Fig.2 Simulation response curve of 75% load dumping disturbance

如圖3 所示，該圖仿真了機組增加10%負荷時系統(tǒng)的響應曲線。從該圖3（a）可以發(fā)現(xiàn)，滑模容錯控制下的機組轉(zhuǎn)速響應穩(wěn)定較為迅速，能夠在不到5 s 時間內(nèi)達到基本穩(wěn)定狀態(tài)。同時，從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)，由于引入了控制的不確定性與干擾，傳統(tǒng)的最優(yōu)PID 與PI 控制無法做到有效的調(diào)節(jié)，此時機組接力器行程以及蝸殼水壓相對值出現(xiàn)了反復的振蕩，這對機組的安全與穩(wěn)定性帶來極大的危險。而滑模容錯控制作用下的機組能夠使得這部分振蕩量維持在極小的范圍內(nèi)。

圖3 增加10%負荷擾動仿真響應曲線Fig.3 Simulation response curve of 10% load increase perturbation

5 結 論

本文針對的水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的控制不確定與干擾，提出了一種基于線性矩陣不等式的狀態(tài)反饋滑模容錯控制器。該控制器利用等效滑模以及輔助反饋滑?？刂品治鲈O計。并分別基于線性矩陣不等式和Lyapunov 穩(wěn)定性實現(xiàn)了控制律調(diào)整和閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。結果表明，在考慮控制不確定性與干擾時， 所提控制方法能夠有效提高機組穩(wěn)定性，并且減少機組蝸殼水壓波動，該方法對于提高機組運行穩(wěn)定與安全具有重要意義。