楊承根

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，好的高考題應(yīng)該是源于教材.所以在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)重視教材，用好教材.在筆者的教學(xué)過程中，就對(duì)一道教材上的習(xí)題進(jìn)行了深入的探究，現(xiàn)將研究過程展示如下，以饗讀者.

一、探究緣起

在人教A版高中數(shù)學(xué)必修四第147頁有如下一道習(xí)題：已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求cos（α－β）的值.

該問題并不復(fù)雜，主要考察同角三角函數(shù)的性質(zhì)以及展開公式，為此只需將前兩式平方相加即可得答案cos（α－β）=－59/72.基于此，筆者根據(jù)該問題改編了如下的一道習(xí)題：

變式 已知cosα+cosβ=1/2，sinα+sinβ=1/3，求sin（α+β）的值.

筆者將此題給學(xué)生練習(xí)后，發(fā)現(xiàn)正確率非常低，其解答過程如下：將上述兩式進(jìn)行平方差可得（cosα+cosβ）2－（sinα+sinβ）2=5/36，化簡(jiǎn)得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=5/36，根據(jù)和差化積等公式得2cos（α+β）［cos（α－β）+1］=5/36，代入cos（α－β）=－59/72的值可得cos（α+β）=5/13，從而得sin（α+β）的值為±12/13.

在上述解法中，計(jì)算過程均正確，錯(cuò)誤的根源在于sin（α+β）正負(fù)值的判斷.在上述解答過程中可知α+β，α－β的余弦值均為唯一值.而如何判斷其正弦值的正負(fù)呢？一般解法在于求解出α，β的正、余弦值，再進(jìn)行求解.此法的運(yùn)算量太大，且忽略了三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).為此，筆者從如下六個(gè)角度對(duì)該問題進(jìn)行了分析.

二、解法分析

解法一：（利用和差化積求解）將上述兩式相乘得（cosα+cosβ）（sinα+sinβ）=1/6，化簡(jiǎn)得sin（α+β）+1/2（sin2α+sin2β）=1/6，利用和差化積等公式得sin（α+β）［1+cos（α－β）］=1/6，代入上面的結(jié)論知sin（α+β）=12/13，僅有唯一解.

解法二：（利用正弦的平方差公式）將題干兩式整理得2（cosα+cosβ）=3（sinα+sinβ），移項(xiàng)得2cosα－3sinβ=3sinα－2cosβ.兩邊平方后整理得12sin（α－β）=13（sin2α－sin2β）.根據(jù)正弦的平方差公式sin2α－sin2β=sin（α－β）sin（α+β），又sin（α－β）≠0，從而sin（α+β）=12/13.

解法三：（綜合運(yùn)用恒等變換相關(guān)公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得2cosα+β/2cosα－β/2=1/2；同理由sinα+sinβ=1/3得2sinα+β/2cosα－β/2=1/3.兩式相除得tanα+β/2=2/3.從而sin（α+β）=2tanα+β/2/1+tan2α+β/2=12/13.

解法四：（綜合運(yùn)用恒等變換相關(guān)公式求解）由cosα+cosβ=1/2，得cos（α+β－β）+cos（α+β－α）=1/2，化簡(jiǎn)得sin（α+β）（sinα+sinβ）+cos（α+β）（cosα+cosβ）=1/2，即1/3sin（α+β）+1/2cos（α+β）=1/2；同理，由sinα+sinβ=1/3，可得1/2sin（α+β）－1/3cos（α+β）=1/3.化簡(jiǎn)后可得sin（α+β）=12/13.

評(píng)注：上述四種解法的本質(zhì)均值在對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行等價(jià)變形，充分地利用恒等變換的相關(guān)公式，要求學(xué)生熟悉相關(guān)的公式并能夠靈活運(yùn)用.

解法五：（構(gòu)造等差數(shù)列求解）由cosα+cosβ=1/2，可得cosα，1/4，cosβ三者成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d1，從而得cosα=1/4－d1，cosβ=1/4+d1；同理由sinα+sinβ=1/3，可得sinα，1/6，sinβ三者成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2，從而得sinα=1/6－d2，sinβ=1/6+d2.由于sin2α+cos2α=1，所以（1/6－d2）2+（1/4－d1）2=1，即d21+d22－1/2d1－1/3d2=131/144；同理可得d21+d22+1/2d1+1/3d2=131/144，結(jié)合兩式得d1=－2/3d2，代入上式計(jì)算得d21=131/468，d22=131/208，其中sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（1/6－d2）（1/4+d1）+（1/6+d2）（1/4－d1），整理得sin（α+β）=1/12+3d21=12/13.

評(píng)注：該解法將三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，最終通過解方程求得結(jié)果，形式雖然新穎，但其本質(zhì)仍是利用同角函數(shù)的性質(zhì).其亮點(diǎn)主要在于溝通了兩個(gè)知識(shí)板塊之間的聯(lián)系，但轉(zhuǎn)化后的運(yùn)算量較大，不易于推廣至一般情況.

解法六：（構(gòu)造向量求解）

構(gòu)造向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）.由題意得+=（1/2，1/3）.

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知向量，的終點(diǎn)均屬于單位圓x2+y2=1.設(shè)

=（1/2，1/3），由==1，可設(shè)<，>=<，>=θ，向量，，在單位圓中對(duì)應(yīng)的角度為α，β，φ.則有α=φ－θ，β=φ+θ，由此即可得α+β=2φ.所以sinφ=213/13，cosφ=313/13，tanφ=2/3，代入得sin（α+β）=12/13.

評(píng)注：與上述解法相比，該解法通過幾何的角度進(jìn)行解釋，直觀明了，運(yùn)算量小，且易于推廣.

三、背景探究及變式推廣

前四種解法的關(guān)注點(diǎn)在于條件的變形，以及和差化積等公式的運(yùn)用上.其本質(zhì)上是相同的，但并不能說明所求式是否有兩解.解法五屬于構(gòu)造證明，若繼續(xù)求解可求出所有角的三角函數(shù)值，但也不易于推廣.解法六通過構(gòu)造向量及單位圓，從幾何層面進(jìn)行解釋，可以很好的解釋其存在唯一解的原因.我們還可以基于解法六探究該問題的一般形式.

根據(jù)向量，為單位向量，則可得向量的終點(diǎn)的軌跡為x2+y2≤4（以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓面）.

設(shè)cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，則sin（α+β）的值為2st/s2+t2，同理還可得cos（α+β）=s2－t2/s2+t2，其中s2+t2≤4.

基于上述分析，還可編制如下變式.

變式 設(shè)cosα+cosβ+sinα+sinβ=m（2

證明：設(shè)cosα+cosβ=s，sinα+sinβ=t，由題意得s+t=m（表示一條直線）.由于該直線需與圓面s2+t2≤4相交，從而可得m≤22.

2st/s2+t2=2/s/t+t/s，設(shè)k=s/t，從而有sin（α+β）=2/k+1/k.現(xiàn)在僅需研究k的范圍即可，顯然當(dāng)k=1時(shí)，sin（α+β）取到最大值1；當(dāng)（s，t）為上述直線與圓面的交點(diǎn)時(shí)，sin（α+β）取到最小值m2－4/8，從而可得sin（α+β）的范圍是［m2－4/8，1］.