李賢江　黃信

圓錐曲線(xiàn)一些解答題常常含有極點(diǎn)與極線(xiàn)的背景.極點(diǎn)與極線(xiàn)是高等幾何的重要理論，是解決圓錐曲線(xiàn)一些復(fù)雜問(wèn)題的巧妙方法.學(xué)生如果了解極點(diǎn)與極線(xiàn)理論，那么就可預(yù)知結(jié)果并且減少大量繁瑣運(yùn)算.

極點(diǎn)與極線(xiàn)的定義：如圖1，圓錐曲線(xiàn)外一點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)S作圓錐曲線(xiàn)的兩條割線(xiàn)SA和SC，分別交圓錐曲線(xiàn)于A、B，C、D四點(diǎn)，直線(xiàn)AD和BC交于點(diǎn)E，直線(xiàn)AC和BD交于點(diǎn)T，直線(xiàn)ST是點(diǎn)E關(guān)于該圓錐曲線(xiàn)的極線(xiàn).

定理1 圓錐曲線(xiàn)Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0內(nèi)一定點(diǎn)E（x0，y0），過(guò)點(diǎn)E作圓錐曲線(xiàn)的兩條割線(xiàn)SA和SC，分別交圓錐曲線(xiàn)于A、B，C、D四點(diǎn)，直線(xiàn)AD和BC交于點(diǎn)E，直線(xiàn)AC和BD交于點(diǎn)T，則點(diǎn)E關(guān)于該圓錐曲線(xiàn)的極線(xiàn)ST的方程為Ax0x+B·x0y+y0x2+Cy0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0.顯然，圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)即為對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)關(guān)于該曲線(xiàn)的極線(xiàn).

定理2 如圖2，過(guò)圓錐曲線(xiàn)內(nèi)一定點(diǎn)E作兩直線(xiàn)分別交圓錐曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于該圓錐曲線(xiàn)的極線(xiàn)是直線(xiàn)MN，若直線(xiàn)AD過(guò)定點(diǎn)F，直線(xiàn)EF與直線(xiàn)BC和直線(xiàn)MN分別交于點(diǎn)H和S，則點(diǎn)H為定點(diǎn)，并滿(mǎn)足EFEH=SFSH.特別地，若E是線(xiàn)段FH的中點(diǎn)，則點(diǎn)S在無(wú)窮遠(yuǎn)處.

例1 （2022高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷甲卷理科改編）過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，D（2，0），MD交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)A，ND交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B，設(shè)直線(xiàn)AB、直線(xiàn)MN的傾斜角分別為α，β，當(dāng)α－β取最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

分析：設(shè)AB的延長(zhǎng)線(xiàn)與NM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)S，且AN的延長(zhǎng)線(xiàn)與BM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H，連結(jié)SH，記SH與x軸的交點(diǎn)為E，記AB與x軸的交點(diǎn)為G，記直線(xiàn)AM與SH交于點(diǎn)K.由極點(diǎn)極線(xiàn)的定義可知，D關(guān)于該拋物線(xiàn)的極線(xiàn)是SH.再由定理1知，極線(xiàn)的方程是x=－2，所以E（－2，0）.由定理2知G是定點(diǎn)，且DGDF=EGEF.于是G的坐標(biāo)為（4，0）.其次，tanα=SEEG，tanβ=SEEF，于是可知2tanα=tanβ，由S在y軸的左側(cè)可知tanα，tanβ同號(hào)，所以，要使α－β取最大值，應(yīng)使tanα，tanβ<0.