楊正朝 熊星月 盧信羽 楊正朝

【摘 要】 ?數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).研究基于已有測(cè)評(píng)模型的研究思路，構(gòu)建了以3個(gè)一級(jí)指標(biāo)（問(wèn)題意識(shí)、構(gòu)建模型、模型應(yīng)用）和9個(gè)二級(jí)指標(biāo)組成的高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型.通過(guò)專家咨詢法，進(jìn)行指標(biāo)修正和完善，結(jié)合測(cè)評(píng)指標(biāo)體系編制調(diào)查問(wèn)卷，結(jié)果顯示調(diào)查對(duì)象對(duì)已構(gòu)建的指標(biāo)體系總體認(rèn)同度較高，信效度較好，并利用因子分析法，得出其測(cè)評(píng)模型的線性表達(dá)式：X=0.32A+0.35B+0.33C.

【關(guān)鍵詞】 ?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；高中生；數(shù)學(xué)建模；測(cè)評(píng)指標(biāo)；測(cè)評(píng)模型

1 ??問(wèn)題提出

在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，往往能夠在一線高中教學(xué)中看到其身影，但是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)很少在教學(xué)中得以體現(xiàn)，很多學(xué)校甚至很少涉獵.大多數(shù)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模在高考試題中占比少、涉及的知識(shí)點(diǎn)較為抽象、學(xué)習(xí)難度大、過(guò)于專業(yè)化等，紛紛對(duì)此望而卻步，沒(méi)有引起重視，認(rèn)為數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是小眾化培養(yǎng)，很少有教師刻意去開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，這就導(dǎo)致了其離課堂漸行漸遠(yuǎn).隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2017年版）》）提出將數(shù)學(xué)建模作為高中六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一［1］，足以見(jiàn)得數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在人才培養(yǎng)中的重要性，是學(xué)生必備的關(guān)鍵能力，是學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要.課標(biāo)頒布以后，關(guān)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的研究也逐漸增多，卻很少看到一個(gè)操作性較好的高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)評(píng)價(jià)體系，盡管課標(biāo)有劃定出數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平，但是介于其操作難度大，讓一線數(shù)學(xué)教師無(wú)從下手.同樣地，從社會(huì)層面來(lái)看，隨著社會(huì)的發(fā)展和進(jìn)步，現(xiàn)實(shí)問(wèn)題愈加凸顯，如何從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中，選取相關(guān)內(nèi)容構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以解決實(shí)際問(wèn)題就顯得尤為關(guān)鍵.測(cè)評(píng)模型作為教育發(fā)展和人的素養(yǎng)發(fā)展評(píng)估的重要檢測(cè)工具，也是一項(xiàng)實(shí)證研究.但由于國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究起步晚，測(cè)量與評(píng)價(jià)研究體系不夠成熟［2］.

在發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的基礎(chǔ)教育階段，評(píng)價(jià)是落實(shí)核心素養(yǎng)的前提和基礎(chǔ).對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)進(jìn)行測(cè)評(píng)模型探索，具有一定的代表性，能夠?yàn)橄嚓P(guān)研究提供參考. 2 ??文獻(xiàn)綜述 2.1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)的研究

祖丹等基于數(shù)學(xué)建模的過(guò)程性特征，從縱橫的角度構(gòu)建了以模型假設(shè)、模型構(gòu)建、模型檢驗(yàn)為主的數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架，并劃分了具體水平梯度，該框架的專家咨詢和測(cè)驗(yàn)結(jié)果均收獲了較高的信效度［3］.李賀、張衛(wèi)明利用數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題，統(tǒng)計(jì)了與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的試題，并分析其得分和水平層次，以了解初中生數(shù)學(xué)建模發(fā)展現(xiàn)狀［4］.張瀚兮結(jié)合專家咨詢法， 得到高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)，其由5個(gè)一級(jí)指標(biāo)和17個(gè)二級(jí)指標(biāo)構(gòu)成，一級(jí)指標(biāo)分別是：數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)表達(dá)、處理數(shù)學(xué)結(jié)果，再利用層次分析法求出各指標(biāo)權(quán)重值，最后予以驗(yàn)證［5］.朱婭梅針對(duì)義務(wù)教育階段的學(xué)生，將數(shù)學(xué)建模能力由低到高劃分為三個(gè)水平：再現(xiàn)、聯(lián)系和反思，而且提出了各行為測(cè)評(píng)指標(biāo)［6］.田芳將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的行為表現(xiàn)劃分為四個(gè)維度，即發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問(wèn)題，并將每個(gè)維度分為3個(gè)水平，結(jié)合測(cè)試卷和調(diào)查問(wèn)卷對(duì)高中生進(jìn)行施測(cè)，以了解學(xué)生的數(shù)學(xué)建模現(xiàn)狀，以此提出：注重閱讀理解，提高轉(zhuǎn)化能力；注重建模結(jié)果，體會(huì)建模過(guò)程；重視模型思想，提高建模能力；立足高考，提高數(shù)學(xué)建模的重要性等數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)策略［7］.孫凱結(jié)合初中生認(rèn)知心理特征，從問(wèn)題情境、數(shù)學(xué)內(nèi)容、建模過(guò)程、任務(wù)類型、建模水平五個(gè)方面構(gòu)建初中生數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)框架，并對(duì)應(yīng)的提出測(cè)試題案例［8］. 由上可知，數(shù)學(xué)建模的研究更多地涉及內(nèi)涵、培養(yǎng)策略、試題分析及評(píng)價(jià)等方面，盡管有包含數(shù)學(xué)建模測(cè)評(píng)模型的研究，但是相對(duì)較少.2.2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)研究目前，數(shù)學(xué)教育界對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)的研究主要涉及以下4個(gè)領(lǐng)域：一是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題測(cè)評(píng)，如楊正朝等利用喻平的測(cè)評(píng)框架對(duì)2022年高考試題進(jìn)行研究［9］.二是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)框架，如喻平從知識(shí)學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架劃分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新［10］；朱立明以數(shù)學(xué)知識(shí)、問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)思維構(gòu)建的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架［11］.三是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)評(píng)模型，如陳蓓先是自編咨詢表，然后通過(guò)Yaahp層次分析，構(gòu)建了由6個(gè)一級(jí)指標(biāo)14個(gè)二級(jí)指標(biāo)組成的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型，并以此模型為基礎(chǔ)，編制高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測(cè)試卷，用于檢測(cè)模型的普適性［12］.顏飛利用專家咨詢法構(gòu)建了由6個(gè)一級(jí)指標(biāo)和18個(gè)二級(jí)指標(biāo)組成的高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)體系，接著利用層次分析法計(jì)算各指標(biāo)權(quán)重，最后借助模糊綜合評(píng)判法和實(shí)際測(cè)試對(duì)測(cè)評(píng)模型進(jìn)行驗(yàn)證［13］.四是數(shù)學(xué)素養(yǎng)操作定義.如王光明將數(shù)學(xué)內(nèi)容、現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)過(guò)程等作為高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的操作定義［14］.可見(jiàn)，近年來(lái)對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究面越來(lái)較廣，這既為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型研究思路的形成，提供了一定的研究范式，也為后期豐富數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展，起到了推動(dòng)作用.2.3 關(guān)于測(cè)評(píng)模型的研究通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)，在檢索主題中輸入“測(cè)評(píng)模型”，截止至2023年4月19日，統(tǒng)計(jì)到測(cè)評(píng)模型相關(guān)論文發(fā)表趨勢(shì)圖，如圖1所示.由圖可知，近年來(lái)關(guān)于測(cè)評(píng)模型的研究相比以往有一定的增勢(shì)，反映了該研究的熱度較高.

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，關(guān)于測(cè)評(píng)模型的研究也在如火如荼地開(kāi)展.例如小學(xué)生幾何直觀能力測(cè)評(píng)模型［15］、高中生數(shù)學(xué)推理能力測(cè)評(píng)模型［16］、高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型［17］、高中生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)體系［18］等.不難發(fā)現(xiàn)，盡管研究的主題不一樣，但是研究的思路大同小異，尤其是測(cè)評(píng)模型方面的研究都是基于專家咨詢法、因子分析法、層次分析法等，采用定性和定量相結(jié)合的方法進(jìn)行測(cè)評(píng)模型構(gòu)建，這對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型的構(gòu)建具有重要的借鑒意義. 3 ??高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)體系的構(gòu)建

3.1 高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)的初步構(gòu)建《課標(biāo)（2017年版）》指出數(shù)學(xué)建模的主要表現(xiàn)是：發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問(wèn)題［1］.根據(jù)課標(biāo)和現(xiàn)有研究成果，初步構(gòu)建了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)，如表1所示.

3.2 專家對(duì)測(cè)評(píng)指標(biāo)的修正和完善 為了使數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的測(cè)評(píng)指標(biāo)更為科學(xué)、合理，研究基于專家咨詢法編制專家咨詢問(wèn)卷，以問(wèn)卷星的方式發(fā)放給10位數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的專家，邀請(qǐng)其對(duì)上述測(cè)評(píng)指標(biāo)提出相應(yīng)的意見(jiàn)和建議.經(jīng)過(guò)兩輪專家咨詢，專家對(duì)測(cè)評(píng)指標(biāo)總體較為認(rèn)可，但是也存在一些指標(biāo)劃分的問(wèn)題：一是將一級(jí)指標(biāo)“模型意識(shí)”改為“問(wèn)題意識(shí)”，主要原因在于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)更多是以數(shù)學(xué)問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合課標(biāo)可知，數(shù)學(xué)建模初始階段為發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)問(wèn)題提出在數(shù)學(xué)建模研究中的重要性.二是將二級(jí)指標(biāo)“對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算”改為“建立模型的表征信息”，數(shù)學(xué)建模不單單包含計(jì)算，還涉及圖表信息、幾何、公理、表達(dá)式等問(wèn)題，可將其歸納為“建立模型的表征信息”過(guò)程.

3.3 高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)體系的確立

通過(guò)上述專家對(duì)指標(biāo)的修訂和完善，最終得到高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)體系，見(jiàn)表2.

4 ?高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)認(rèn)同度的分析

為了驗(yàn)證上述測(cè)評(píng)指標(biāo)體系的合理性，研究采用李克特五點(diǎn)評(píng)分法進(jìn)行問(wèn)卷設(shè)計(jì)，以問(wèn)卷星的形式，向數(shù)學(xué)教育專家、中學(xué)數(shù)學(xué)教師等160名調(diào)查對(duì)象發(fā)放問(wèn)卷，最終收回問(wèn)卷156份，回收率97.5%.4.1 測(cè)評(píng)指標(biāo)的總體認(rèn)同度分析

通過(guò)統(tǒng)計(jì)各指標(biāo)分?jǐn)?shù)的平均值情況，繪制條形圖，如圖2所示.其中，一級(jí)指標(biāo)中的問(wèn)題意識(shí)、構(gòu)建模型認(rèn)同度較高，

二級(jí)指標(biāo)中確定數(shù)學(xué)要素間的關(guān)系、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、正確使用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模 型認(rèn)同度較高.總體來(lái)看，各調(diào)查對(duì)象對(duì)上述測(cè)評(píng)指標(biāo)體系認(rèn)同度較高，均在4.00以上.

4.2 調(diào)查問(wèn)卷的信效度分析

針對(duì)上述問(wèn)卷數(shù)據(jù)，利用SPSS26.0進(jìn)行信度分析，其結(jié)果為0.961，顯示了較高的信度.再對(duì)其進(jìn)行效度分析，一方面，調(diào)查問(wèn)卷是圍繞測(cè)評(píng)指標(biāo)體系而設(shè)計(jì)，因此保證了良好的內(nèi)容效度；另一方面，用SPSS26.0進(jìn)行分析，其KMO值為0.945，表明該問(wèn)卷具有較高的效度.4.3 一階驗(yàn)證性因子分析

研究提出的測(cè)評(píng)指標(biāo)能否正確表達(dá)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，需要實(shí)際檢驗(yàn)考證.其主要從測(cè)評(píng)指標(biāo)與實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)的適配性來(lái)體現(xiàn).下面對(duì)調(diào)查問(wèn)卷數(shù)據(jù)進(jìn)行一階驗(yàn)證性因子分析，以了解一級(jí)指標(biāo)與二級(jí)指標(biāo)之間的關(guān)系.利用AMOS26.0進(jìn)行分析，擬合優(yōu)度指標(biāo)如表3，其中χ2/df值在1～3之間，P小于0.001，GFI，NFI，RFI，IFI，CFI等均大于0.9，RMSEA=0.063<0.08，SRMR=0.025<0.08，表明模型適配度較好.

進(jìn)一步開(kāi)展一階驗(yàn)證性因子分析（見(jiàn)圖3），圖中3個(gè)一級(jí)指標(biāo)和9個(gè)二級(jí)指標(biāo)的因子載荷量都大于0.6，表明適配度良好.

5 ?高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型的構(gòu)建

在一階驗(yàn)證性因子分析中，三個(gè)潛在變量（一級(jí)指標(biāo)）因子載荷量分別為0.90，0.92，0.84（大于0.6），說(shuō)明三個(gè)潛在變量還能夠被另一個(gè)潛在變量 （稱為“高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)”）解釋，利用調(diào)查問(wèn)卷數(shù)據(jù)，繼續(xù)進(jìn)行二階驗(yàn)證性因子分析（見(jiàn)圖4），適配指標(biāo)值和一階驗(yàn)證性因子一樣，這里不再贅述.

通過(guò)上述二階驗(yàn)證性因子分析，研究基于高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型的假設(shè)，利用二階標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算權(quán)重值，結(jié)果見(jiàn)表4.

利用表格中歸一化后數(shù)值，將其用線性方程表示出來(lái)，得到高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)指標(biāo)模型：

X=0.32A+0.35B+0.33C，其中，A=0.35A1+0.35A2+0.30A3，

B=0.34B1+0.32B2+0.34B3，C=0.33C1+0.34C2+0.33C3.

6 ??結(jié)論及反思

研究借鑒相關(guān)測(cè)評(píng)模型研究思路，利用專家咨詢法，修訂和完善測(cè)評(píng)指標(biāo).結(jié)合測(cè)評(píng)指標(biāo)體系編制調(diào)查問(wèn)卷，結(jié)果表明專家認(rèn)同度總體較高.借助因子分析法，檢測(cè)結(jié)果顯示其測(cè)評(píng)指標(biāo)適配性較好，能夠很好地體現(xiàn)高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，最終得到高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測(cè)評(píng)模型：X=0.32A+0.35B+0.33C，其中A表示問(wèn)題意識(shí)，B表示構(gòu)建模型，C表示模型應(yīng)用.

對(duì)于上述研究，提出幾點(diǎn)反思：一是三個(gè)一級(jí)指標(biāo)中，構(gòu)建模型權(quán)重值較大，一方面反映了相關(guān)專家較為看重構(gòu)建模型的過(guò)程，另一方面也體現(xiàn)了這一過(guò)程對(duì)于學(xué)生而言難度較大，需要學(xué)生具備一定的知識(shí)儲(chǔ)備和方法積累.二是模型應(yīng)用是學(xué)生學(xué)以致用能力的體現(xiàn)，學(xué)生能否正確應(yīng)用模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的根本體現(xiàn)，是適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需求.三是由于時(shí)間和條件限制，無(wú)法根據(jù)上述測(cè)評(píng)模型編制測(cè)試卷，模型的適切性有待今后進(jìn)一步探究.

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作者簡(jiǎn)介 ?楊正朝（1990—），男，貴州榕江人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

熊星月（1999—），女，貴州畢節(jié)人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

盧信羽（1997—），女，貴州納雍人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.