李明飛，吳在軍，全相軍，朱 玲，李 威，黃仁志

（1.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇省南京市 210096；2.國(guó)電南瑞科技股份有限公司，江蘇省南京市 211106）

0 引言

隨著以并網(wǎng)逆變器（grid-connected inverter，GCI）為接口的風(fēng)電和太陽(yáng)能發(fā)電等新能源電源大規(guī) 模 并 網(wǎng)［1］，同 步 發(fā) 電 機(jī)（synchronous generator，SG）主導(dǎo)特性逐漸減弱，GCI 逐漸成為影響電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的關(guān)鍵因素［2-3］。傳統(tǒng)GCI 采用鎖相環(huán)作為同步單元，在公共耦合點(diǎn)處與電網(wǎng)實(shí)現(xiàn)同步，也被稱為跟網(wǎng)型并網(wǎng)逆變器（grid-following gridconnected inverter，GFL-GCI）［4-7］。GFL-GCI 由 于其低慣量特性，大量接入后使得電網(wǎng)調(diào)節(jié)能力下降，危害電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行。以虛擬同步發(fā)電機(jī)（virtual synchronous generator，VSG）為典型控制方式的構(gòu)網(wǎng)型并網(wǎng)逆變器（grid-forming grid-connected inverter，GFM-GCI）［8-9］通 過(guò) 模 擬SG 搖 擺 方 程 使GCI 具有為電網(wǎng)提供電壓和頻率支撐的能力，受到廣泛關(guān)注。

對(duì)于GFM-GCI 的研究多集中在參數(shù)設(shè)計(jì)［10-12］、控制方法改進(jìn)［13-14］、多機(jī)并聯(lián)［15-16］、小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析［17］等。在微電網(wǎng)中，逆變器遇到大擾動(dòng)故障時(shí)，通過(guò)主動(dòng)脫網(wǎng)來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性［18］。然而，電網(wǎng)中新能源電源大規(guī)模脫網(wǎng)會(huì)嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)的頻率調(diào)節(jié)能力及穩(wěn)定性，因此GFM-GCI 需要具備一定應(yīng)對(duì)大擾動(dòng)故障不脫網(wǎng)的能力［19］。

近年來(lái)，針對(duì)GFM-GCI 在大擾動(dòng)故障期間的暫態(tài)同步穩(wěn)定問(wèn)題已經(jīng)進(jìn)行了許多分析和討論。文獻(xiàn)［20］利用相平面法研究了4 種控制方式的GFMGCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定過(guò)程，可以準(zhǔn)確、快速地分析系統(tǒng)的暫態(tài)同步穩(wěn)定過(guò)程，并且定量揭示控制參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［21］針對(duì)VSG 大擾動(dòng)下的暫態(tài)行為，采用線性模型定性分析和非線性模型定量分析相結(jié)合的方法評(píng)估系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［22］采用相平面法深入研究了采用下垂控制方式的GFMGCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定機(jī)理。文獻(xiàn)［23］考慮了傳統(tǒng)等面積法則（equal area criterion，EAC）忽略阻尼項(xiàng)的缺陷，提出了一種基于阻尼項(xiàng)縮放和線性逼近的改進(jìn)EAC，有效提高了暫態(tài)穩(wěn)定域的估計(jì)精度。文獻(xiàn)［24］借助最小二乘法等數(shù)學(xué)工具對(duì)VSG 暫態(tài)同步穩(wěn)定性進(jìn)行量化分析，提出一種改善暫態(tài)同步穩(wěn)定性的慣量、阻尼參數(shù)靈活切換策略。文獻(xiàn)［25-26］將攝動(dòng)理論中的平均化法和多尺度法應(yīng)用到GFLGCI 的穩(wěn)定性分析中，得到了鎖相環(huán)非線性微分方程的顯式解析解，為新能源暫態(tài)穩(wěn)定研究拓展了新思路。值得注意的是，與GFL-GCI 暫態(tài)特性主要取決于鎖相環(huán)不同，GFM-GCI 的暫態(tài)同步穩(wěn)定特性主要由有功控制環(huán)節(jié)決定。

綜上，目前多通過(guò)相平面法等數(shù)值或仿真方法研究GFM-GCI 的暫態(tài)同步穩(wěn)定問(wèn)題，其優(yōu)點(diǎn)在于能夠直觀反映系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定與失穩(wěn)情況，面向特定系統(tǒng)定量研究控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)穩(wěn)定的影響，但難以從物理角度揭示GFM-GCI 控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)同步穩(wěn)定性的影響機(jī)理。此外，對(duì)于GFM-GCI 的功角解析模型尚未見(jiàn)研究，通過(guò)數(shù)值分析方法求解的GFM-GCI 功角動(dòng)態(tài)軌跡缺乏顯式解析表達(dá)式，難以為面向暫態(tài)同步穩(wěn)定的控制參數(shù)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

本文首先在考慮阻尼特性的基礎(chǔ)上采用EAC，從能量角度闡述GFM-GCI 控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)同步穩(wěn)定性的影響機(jī)理。然后，基于多尺度法求解功角非線性微分方程的解析解，進(jìn)而得到暫態(tài)同步穩(wěn)定邊界，并給出一種面向GFM-GCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法，所提控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法與現(xiàn)有暫態(tài)分析方法相比具有更低的保守性。最后，通過(guò)仿真和硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析、解析模型與所提控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

典型GFM-GCI 控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示，逆變器內(nèi)環(huán)采用電壓電流閉環(huán)控制，外環(huán)采用VSG 控制方式。圖中：Vdc為直流側(cè)電壓；Lf和Cf分別為逆變器濾波電感和電容；Lg為線路電感；if為濾波電流；ig為逆變器端輸出電流；E為逆變器端電壓；Ug為電網(wǎng)電壓；Pe和Qe分別為輸出有功功率和無(wú)功功率。有功控制和無(wú)功控制環(huán)節(jié)分別產(chǎn)生相位信號(hào)θref和電壓幅值Uref，作為輸入電壓電流內(nèi)環(huán)的參考值，產(chǎn)生脈寬調(diào)制（PWM）驅(qū)動(dòng)信號(hào)，最后實(shí)現(xiàn)逆變器并網(wǎng)同步。

圖1 GFM-GCI 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of GFM-GCI control structure

由于電壓電流內(nèi)環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度遠(yuǎn)快于有功控制環(huán)，在分析暫態(tài)問(wèn)題時(shí)將內(nèi)環(huán)控制的輸出視為理想增益，GFM-GCI 的暫態(tài)同步穩(wěn)定特性主要由有功控制環(huán)決定，其控制律可表示為：

式中：J為慣量參數(shù)；ωGFM為有功控制環(huán)輸出角頻率；ωg為電網(wǎng)角頻率；P0為輸出有功功率參考值；D為阻尼參數(shù)。

類比傳統(tǒng)同步發(fā)電機(jī)，定義系統(tǒng)功角δ為電網(wǎng)電壓Ug和逆變器端電壓E的夾角，可表示為：

逆變器側(cè)可以等效成一個(gè)受控電壓源，則逆變器輸出有功功率Pe為：

式中：Xg為線路電抗。

聯(lián)立式（1）—式（3），可以得到描述δ動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的二階非線性數(shù)學(xué)模型為：

2 基于考慮阻尼EAC 的機(jī)理分析

SG 的一次調(diào)頻能力取決于發(fā)電機(jī)自動(dòng)調(diào)速器，而阻尼來(lái)源于阻尼繞組和機(jī)械摩擦等，受實(shí)際物理結(jié)構(gòu)影響一般較小，在進(jìn)行暫態(tài)分析時(shí)可忽略不計(jì)。在GFM-GCI 中，阻尼環(huán)節(jié)同時(shí)承擔(dān)有功功率-頻率下垂功能和阻尼功能，既起到一次調(diào)頻作用，又抑制擾動(dòng)下的功率振蕩，因此，阻尼參數(shù)一般較大。不考慮阻尼參數(shù)會(huì)使GFM-GCI 暫態(tài)穩(wěn)定性判斷結(jié)果非常保守，故其不可忽略。

基于式（4），系統(tǒng)等效搖擺方程可以表示為：

式中：S+為系統(tǒng)加速面積；δ0為故障前穩(wěn)定平衡點(diǎn)功角值；Pe2為故障后的輸出有功功率；δc為Pm=Pe2時(shí)的功角值；δu為故障后不穩(wěn)定平衡點(diǎn)功角值；S-，max為系統(tǒng)最大減速面積；Pmu為S-，max對(duì)應(yīng)的等效機(jī)械功率；δcu為S-，max對(duì)應(yīng)Pmu=Pe2時(shí)的功角值。

系統(tǒng)在發(fā)生電網(wǎng)電壓跌落故障時(shí)的功角曲線和相圖曲線如圖2 所示。圖中：Pe1為故障前輸出有功功率；Pm1和Pm2為等效機(jī)械功率；ΔS1+和ΔS2+為系統(tǒng)加速面積改變量；δs為故障后穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)功角值；δm為暫態(tài)期間功角最大值；Dref和Jref分別為阻尼參數(shù)D和慣量參數(shù)J的參考值。

圖2 不同控制參數(shù)下GFM-GCI 的Pe-δ 曲線與對(duì)應(yīng)dδ/dt-δ 曲線Fig.2 Pe-δ curves and corresponding dδ/dt-δ curves of GFM-GCI with different control parameters

當(dāng)故障發(fā)生時(shí)，工作點(diǎn)由初始穩(wěn)定平衡點(diǎn)a突變到點(diǎn)b，此時(shí)系統(tǒng)不平衡功率ΔP=Pm-Pe＞0，δ增加。當(dāng)δ增加至ΔP＜0 后，由于Pm與D(dδ/dt)相關(guān)，因此在不同控制參數(shù)下動(dòng)態(tài)軌跡不同。同時(shí)，Pm自身已反映了暫態(tài)情況：當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，Pm保持不變；當(dāng)系統(tǒng)失穩(wěn)后，Pm持續(xù)減小。因此，無(wú)須再對(duì)減速面積進(jìn)行討論。如圖2（a）所示，當(dāng)D=Dref時(shí)，S+＜S-，max，工作點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)d時(shí)dδ/dt=0，然后在ΔP＜0 的作用下向點(diǎn)e移動(dòng)并在點(diǎn)e附近搖擺，最終在阻尼的作用下穩(wěn)定在點(diǎn)e。綜上，δ在暫態(tài)穩(wěn)定過(guò)程中經(jīng)歷a→b→c→e→d→e的變化。當(dāng)D＜Dref時(shí)，系統(tǒng)加速面積增加，S++ΔS1+＞S-，max，在點(diǎn)f后始終有dδ/dt＞0，δ一直增加直至發(fā)散，δ在失穩(wěn)過(guò)程中的軌跡為a→b→c→e→d→f→∞。因此，δm≤δu是保證系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定的條件。慣量參數(shù)J不同時(shí)的曲線如圖2（b）所示。當(dāng)J=Jref時(shí)，S+＜S-，max，系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定；當(dāng)J＞Jref時(shí)，S++ΔS2+＞S-，max，系統(tǒng)暫態(tài)同步失穩(wěn)。

控制參數(shù)D和J對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定性的影響如表1 所示。Pm會(huì)隨阻尼參數(shù)D和功角導(dǎo)數(shù)dδ/dt的改變而改變：一方面，當(dāng)D增加時(shí)，PDm增加，Pm減小，進(jìn)而S+減小，增強(qiáng)了系統(tǒng)的暫態(tài)同步穩(wěn)定性；另一方面，J減小會(huì)增加d2δ/dt2，dδ/dt受d2δ/dt2增加的影響而增加，PDm增加，導(dǎo)致Pm減小，S+減少，增強(qiáng)了系統(tǒng)的暫態(tài)同步穩(wěn)定性。

表1 控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)同步穩(wěn)定性的影響Table 1 Influence of control parameters on transient synchronization stability

綜上，考慮阻尼的EAC 揭示了控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定性產(chǎn)生影響的物理機(jī)制：在故障后平衡點(diǎn)存在的持續(xù)擾動(dòng)情況下，增加D和減小J有利于減小等效機(jī)械功率Pm，進(jìn)而減小系統(tǒng)加速面積S+，改善系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定性。

3 基于多尺度法的解析分析

由于式（4）中阻尼項(xiàng)D（dδ/dt）的存在，應(yīng)用EAC 進(jìn)行定量分析難以實(shí)現(xiàn)。本章借鑒奇異攝動(dòng)理論中的方法展開定量研究。目前已經(jīng)有多種非線性微分方程的解析求解方法，如小參數(shù)法、平均法［25］、多尺度法等［26］。多尺度法不僅可以分析周期運(yùn)動(dòng)，也可以分析耗散系統(tǒng)的衰減振蕩，在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析中具有優(yōu)越性。因此，本文采用多尺度法進(jìn)行解析分析。

3.1 解析求解

應(yīng)用攝動(dòng)理論求解析解時(shí)要求非線性微分方程的非線性項(xiàng)為自變量的多項(xiàng)式函數(shù)，因此，首先通過(guò)泰勒公式擬合式（4）。為保證擬合方程與原方程具有相同的初始值，在系統(tǒng)故障前，穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)δ0對(duì)sinδ進(jìn)行二階泰勒展開，則δ0可以表示為：

假設(shè)故障后電網(wǎng)電壓為Ugf，對(duì)sinδ進(jìn)行二階泰勒展開并代入式（4），得到擬合后的非線性二階微分方程為：

擬合解與真實(shí)解的對(duì)比結(jié)果如附錄A 圖A1 所示。附 錄A 圖A1（a）為 當(dāng)Ugf=0.5Ug時(shí) 的δ-t曲線，擬合解與真實(shí)解結(jié)果完全一致。圖A1（b）為當(dāng)Ugf=0.3Ug時(shí)δ-t曲線的失穩(wěn)軌跡，擬合解在失穩(wěn)后略大于真實(shí)解，這是由于泰勒展開時(shí)忽略了高階項(xiàng)，在暫態(tài)分析尺度上擬合解滿足要求。綜上，式（8）可以代替式（4）作為描述GFM-GCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。

對(duì)式（8）采用多尺度方法求δ（t）的解析解，引入小參數(shù)ε，將式（8）寫成以下形式的擬線性微分方程：

式（10）中，ε[β(dδ/dt)+γδ2]是只與δ、dδ/dt有關(guān)的非線性項(xiàng)，可以視為對(duì)線性系統(tǒng)的擾動(dòng)項(xiàng)，即攝動(dòng)理論中的攝動(dòng)項(xiàng)。應(yīng)用多尺度法求式（10）的一階解析解，取兩個(gè)時(shí)間尺度t0和t1：

不同時(shí)間尺度視為互相獨(dú)立的量，因此設(shè)解析解的形式為：

式中：δ0(t)為時(shí)間尺度t0對(duì)應(yīng)的解；δ1(t)為時(shí)間尺度t1對(duì)應(yīng)的解；o(ε2)為ε的高階項(xiàng)。

對(duì)時(shí)間的微分可以表示為：

式中：D0和D1為偏微分算子，如式（15）所示。

將式（13）、式（14）代入式（10）并略去高階項(xiàng)o(ε2)得到：

式中：a0和φ0為復(fù)系數(shù)A（t1）中的待求常系數(shù)。

根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以求得常系數(shù)a0和φ0，得到δ（t）的數(shù)學(xué)解析模型如式（26）所示。

其中

式（26）為δ的數(shù)學(xué)解析模型，由正弦項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)組成。其中，正弦項(xiàng)的幅值隨時(shí)間衰減，體現(xiàn)耗散系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中的衰減振蕩特性，而常數(shù)項(xiàng)體現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。

3.2 暫態(tài)穩(wěn)定判據(jù)及參數(shù)設(shè)計(jì)方法

系統(tǒng)保持暫態(tài)同步穩(wěn)定的判定條件為δ首次增加過(guò)程中不越過(guò)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)δu的位置，因此功角首次振蕩的幅值δm與δu的關(guān)系可以作為判斷系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的條件。定義GFM-GCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定判據(jù)Δ=δm-δu：當(dāng)Δ≤0 時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定；當(dāng)Δ＞0 時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)同步失穩(wěn)。

圖3 展 示 了 由D、J和δ組 成 的GFM-GCI 三 維空間。其中，δu曲面中δ恒等于δu，δm曲面為不同D、J和相應(yīng)解析模型得到的δm所組成的三維曲面。從圖3 可以看出，隨著J的減小和D的增加，δm減小，這與第2 章結(jié)論一致?；诜€(wěn)定判據(jù)，當(dāng)δm曲面位于δu曲面下方時(shí)，Δ≤0，系統(tǒng)在故障后保持暫態(tài)同步穩(wěn)定；當(dāng)δm曲面位于δu曲面上方時(shí)，Δ＞0，系統(tǒng)在故障后暫態(tài)同步失穩(wěn)。

圖3 電網(wǎng)故障時(shí)不同J 和D 參數(shù)下的δm 和δu 曲面Fig.3 δm and δu surface with different J and D when grid fault occurs

基于解析解和暫態(tài)同步穩(wěn)定判據(jù)，提出一種面向GFM-GCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法。當(dāng)慣量參數(shù)初始值J0一定或阻尼參數(shù)初始值D0一定時(shí)，阻尼參數(shù)的最小值Dmin和慣量參數(shù)的最大值Jmax可表示為：

式中：f(δ)為關(guān)于δ0和δs的函數(shù)，與系統(tǒng)運(yùn)行工況直接相關(guān)，如式（29）所示。

式（28）給出了故障時(shí)保證系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定的D取 值 下 限 和J的 取 值 上 限，即D≥Dmin∩J≤Jmax，可以有效指導(dǎo)暫態(tài)同步穩(wěn)定下GFM-GCI 的控制參數(shù)設(shè)計(jì)。

綜上，本文面向暫態(tài)同步穩(wěn)定的GFM-GCI 控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法流程如附錄A 圖A2 所示，分為以下3 個(gè)步驟進(jìn)行。

步驟1：輸入系統(tǒng)運(yùn)行工況參數(shù)P0、E、Ug、Xg，根據(jù)式（7）求出故障前穩(wěn)定平衡點(diǎn)功角值δ0。

步驟2：輸入故障電網(wǎng)電壓Ugf，根據(jù)式（20）求出故障后穩(wěn)定平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)功角值δs和δu，其中δu=π-δs。

步驟3：輸入控制參數(shù)初始值D0和J0，根據(jù)式（28）分別確定慣量參數(shù)J的最大值Jmax和阻尼參數(shù)D的 最 小 值Dmin。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證理論分析的準(zhǔn)確性，在MATLAB/Simulink 中搭建仿真模型，主要仿真與實(shí)驗(yàn)參數(shù)如附錄A 表A1 所示。

4.1 不同控制參數(shù)結(jié)果

在不同阻尼參數(shù)D和慣量參數(shù)J下驗(yàn)證第2 章的分析，其仿真結(jié)果見(jiàn)附錄B 圖B1 和圖B2。圖B1為電網(wǎng)電壓跌落時(shí)不同D下的δ-t曲線與相圖。當(dāng)D從1 592 （N·m·s）/rad 減小到1 092 （N·m·s）/rad時(shí)，暫態(tài)過(guò)程中δm增加但仍小于δu。當(dāng)D繼續(xù)減小至592 （N·m·s）/rad 時(shí)，δ越過(guò)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)位置后持續(xù)增加，系統(tǒng)暫態(tài)失穩(wěn)。圖B2 表示在電網(wǎng)電壓跌落時(shí)不同J下系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)特性。當(dāng)J由57.1 kg/m2增加 到114.2 kg/m2時(shí)，dδ/dt減小，暫態(tài)過(guò)程中δm增加，但系統(tǒng)仍保持暫態(tài)同步穩(wěn)定。當(dāng)J增加至342.6 kg/m2時(shí)，δ在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處dδ/dt仍大于0，δ繼續(xù)增加直至與電網(wǎng)失去同步。

4.2 解析解結(jié)果

如圖4 所示，δ隨時(shí)間變化逐漸收斂，最終dδ/dt為0，系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定。此時(shí)，δ解析解的軌跡與實(shí)際仿真軌跡完全相同。圖5 表示當(dāng)Ugf=0.55Ug時(shí)，解析解的幅值和振蕩周期與仿真解相比存在微小的誤差，但仍可以較準(zhǔn)確地反映暫態(tài)期間功角情況。

圖4 當(dāng)Ugf=0.7Ug時(shí)δ-t 曲線與對(duì)應(yīng)相圖Fig.4 δ-t curves and corresponding phase portraits when Ugf=0.7Ug

圖5 當(dāng)Ugf=0.55Ug時(shí)δ-t 曲線與對(duì)應(yīng)相圖Fig.5 δ-t curves and corresponding phase portraits when Ugf=0.55Ug

如圖6 所示，仿真結(jié)果中δ在越過(guò)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)后，由于dδ/dt仍大于0，δ持續(xù)增加，系統(tǒng)失穩(wěn)。而解析解在應(yīng)用多尺度法時(shí)假設(shè)其解析表達(dá)式形式為幅值衰減的正弦函數(shù)，所以解析解與仿真時(shí)的失穩(wěn)發(fā)散軌跡并不相同。但是，解析解的首次振蕩幅值可以反映仿真的情況，系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定與否取決于δm與δu的關(guān)系，解析解依然能作為判斷系統(tǒng)暫態(tài)同步情況的工具。

圖6 當(dāng)Ugf=0.38Ug時(shí)δ-t 曲線與對(duì)應(yīng)相圖Fig.6 δ-t curves and corresponding phase portraits when Ugf=0.38Ug

功角最大值可以反映解析解的準(zhǔn)確程度，故障前穩(wěn)定平衡點(diǎn)和故障后穩(wěn)定平衡點(diǎn)的差值可以體現(xiàn)系統(tǒng)非線性程度。定義相對(duì)誤差值e=(δmaδmr)/δmr，其中，δma為解析解功角最大值，δmr為仿真解功角最大值。定義非線性程度n=δs-δ0。表2對(duì)不同故障程度下的解析解與仿真解相對(duì)誤差進(jìn)行量化評(píng)價(jià)。由表2 分析可知，相對(duì)誤差e隨著非線性程度n的增加而增加，解析解偏離仿真解的程度增大，但仍能較準(zhǔn)確地反映仿真解的情況。

表2 解析解與仿真解相對(duì)誤差Table 2 Relative error of analytical solution and simulation solution

4.3 穩(wěn)定判據(jù)與參數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)果

系統(tǒng)在不同J和D參數(shù)下的暫態(tài)同步穩(wěn)定邊界如圖7 所示。圖中：淺藍(lán)色部分（Δ≤0）保證該區(qū)域控制參數(shù)下系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定；而白色部分（Δ＞0）為系統(tǒng)暫態(tài)失穩(wěn)區(qū)域。

圖7 當(dāng)Ugf=0.373Ug時(shí)不同J 和D 下的暫態(tài)同步穩(wěn)定邊界Fig.7 Transient synchronization stability boundary with different J and D when Ugf=0.373Ug

圖8 為Ugf=0.373Ug時(shí)不同控制參數(shù)對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果，其中a到f中的控制參數(shù)分別對(duì)應(yīng)圖7 中a點(diǎn)到f點(diǎn)，其控制參數(shù)、穩(wěn)定判據(jù)值、評(píng)判結(jié)果及仿真結(jié)果如表3 所示，對(duì)應(yīng)的不同控制參數(shù)初始值J0和D0下的控制參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Jmax和Dmin如表4所示。

表3 不同控制參數(shù)下穩(wěn)定判據(jù)結(jié)果與仿真結(jié)果Table 3 Stability criterion and simulation results with different control parameters

表4 控制參數(shù)D 和J 的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Table 4 Optimal design results of control parameters D and J

圖8 當(dāng)Ugf=0.373Ug時(shí)不同控制參數(shù)下δ-t 曲線Fig.8 δ-t curves with different control parameters when Ugf=0.373Ug

圖8 中a和b為在相同D和不同J下δ（t）的仿真結(jié) 果，當(dāng)J從80 kg/m2減 小 至40 kg/m2，對(duì) 應(yīng) 圖7 中點(diǎn)a變 化 到 點(diǎn)b，穩(wěn) 定 判 據(jù)Δ由0.065 0 rad 變 為-0.061 6 rad，系統(tǒng)狀態(tài)由失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定，仿真與判斷結(jié)果一致；a和d為在相同J和不同D下的δ(t)仿 真 結(jié) 果，當(dāng)D從1 500 （N·m·s）/rad 增 加 至1 925 （N·m·s）/rad，對(duì)應(yīng)圖7 中點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)d，穩(wěn)定判據(jù)Δ由0.065 0 rad 變?yōu)?0.037 0 rad，判斷結(jié)果由失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定，與仿真一致；e對(duì)應(yīng)穩(wěn)定判據(jù)Δ=-0.119 1 rad，相比圖8 中其他情況穩(wěn)定性更好，穩(wěn)定判據(jù)Δ的值越小，表明其暫態(tài)同步穩(wěn)定性越好。上述結(jié)果既證明了第2 章中分析的正確性，也驗(yàn)證了穩(wěn)定判據(jù)的有效性。

圖8 中c對(duì)應(yīng)穩(wěn)定判據(jù)Δ=0 rad，當(dāng)D由1 667 （N·m·s）/rad 減小至1 600 （N·m·s）/rad 時(shí)，穩(wěn)定判據(jù)Δ=0.011 2 rad，判定結(jié)果為失穩(wěn)，而仿真結(jié)果表明系統(tǒng)穩(wěn)定。這是由于解析解在泰勒展開時(shí)忽略了高階項(xiàng)，同時(shí)解析方法本身存在誤差，使穩(wěn)定判據(jù)具有一定的保守性，其結(jié)果有利于為系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷提供一定的裕度。

4.4 與現(xiàn)有暫態(tài)分析方法對(duì)比結(jié)果

現(xiàn)有暫態(tài)穩(wěn)定分析方法主要有EAC 和暫態(tài)能量函數(shù)（transient energy function，TEF）法，兩者從數(shù)學(xué)角度完全一致，因此本文稱其為忽略阻尼的TEF/EAC 法［3，6］。文獻(xiàn)［27］針對(duì)GFM-GCI 的大阻尼特性提出了一種阻尼能量函數(shù)法，即DRTEF 法，相比經(jīng)典方法降低了穩(wěn)定范圍估計(jì)的保守性［28］。

為驗(yàn)證本文提出的解析法估計(jì)穩(wěn)定邊界的優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)與忽略阻尼的TEF/EAC 法、DRTEF 法和數(shù)值仿真法進(jìn)行比較。4 種方法得到的暫態(tài)同步穩(wěn)定邊界如圖9 所示，本文解析法得到的穩(wěn)定邊界和忽略阻尼的TEF/EAC 法、DRTEF 法相比，更接近數(shù)值仿真法得到的真實(shí)穩(wěn)定邊界，具有更大的穩(wěn)定范圍，保守性更低，體現(xiàn)了本文解析法的優(yōu)勢(shì)。

圖9 4 種方法的穩(wěn)定邊界比較Fig.9 Comparison of stable boundary of four methods

進(jìn)一步進(jìn)行時(shí)域仿真驗(yàn)證，在Ugf=0.373Ug時(shí)，圖9 中點(diǎn)A（1 820，80）和點(diǎn)B（1 820，72）控制參數(shù)下的dδ/dt-δ仿真結(jié)果如附錄B 圖B3 所示，系統(tǒng)均保持暫態(tài)同步穩(wěn)定?；诒疚慕馕鼋?，點(diǎn)A和點(diǎn)B的穩(wěn)定判據(jù)Δ≤0 rad 成立，判定結(jié)果均為穩(wěn)定；忽略阻尼的TEF/EAC 法會(huì)得到點(diǎn)A和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)參數(shù)失穩(wěn)的錯(cuò)誤結(jié)果；DRTEF 法會(huì)得到點(diǎn)A對(duì)應(yīng)參數(shù)失穩(wěn)和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)參數(shù)穩(wěn)定的錯(cuò)誤結(jié)果。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論與仿真分析的準(zhǔn)確性，本章進(jìn)行硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如附錄B 圖B4 所示，主要由5 個(gè)部分組成：上位機(jī)（PC）；數(shù)字信號(hào)處理器（DSP）（TI TMS320F28377D）；連 接 器（DB37-G2）；RT-LAB 實(shí) 驗(yàn) 平 臺(tái)（OP5700）；示 波 器（Tektronix MOS54）。其中，主電路搭建在RTLAB 平臺(tái)中；控制部分搭建在DSP 中；RT-LAB 和DSP 通過(guò)連接器進(jìn)行信息交換；PC 作為兩臺(tái)實(shí)驗(yàn)設(shè)備的上位機(jī)實(shí)現(xiàn)控制功能。

實(shí)驗(yàn)采用與仿真部分相同的系統(tǒng)參數(shù)，分別在以下工況中進(jìn)行：運(yùn)行工況1，Ugf=0.55Ug，控制參數(shù)如附錄A 表A1；運(yùn)行工況2 至4，Ugf=0.373Ug，控制參數(shù)分別對(duì)應(yīng)圖7 中b、e、a點(diǎn)；運(yùn)行工況5 和6，Ugf=0.373Ug，控 制 參 數(shù) 分 別 對(duì) 應(yīng) 圖9 中A、B點(diǎn)。具體硬件在環(huán)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如附錄C 圖C1 和圖C2所示。

當(dāng)Ugf=0.55Ug時(shí)，如 附 錄C 圖C1（a）所 示，輸出電流ig經(jīng)過(guò)振蕩后恢復(fù)穩(wěn)定且幅值有所增加，δ在故障發(fā)生后約1 s 由初始穩(wěn)態(tài)值0.38 rad 到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)值0.74 rad，其穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)情況與解析結(jié)果基本一致。圖C1（b）和（c）表示Ugf=0.373Ug時(shí)，運(yùn)行工況2 和3 對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)可以保證系統(tǒng)的暫態(tài)同步穩(wěn)定，新的穩(wěn)態(tài)功角值為1.44 rad。圖C1（d）表明在運(yùn)行工況4 所對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)下，δ發(fā)散，系統(tǒng)暫態(tài)同步失穩(wěn)。圖C2（a）和（b）對(duì)應(yīng)工況下系統(tǒng)保持暫態(tài)同步穩(wěn)定，證明本文所提方法相比忽略阻尼的TEF/EAC 法和DRTEF 法具有保守性更低的優(yōu)勢(shì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提解析解、穩(wěn)定邊界和面向暫態(tài)同步穩(wěn)定的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法的有效性。

6 結(jié)語(yǔ)

本文首先在傳統(tǒng)EAC 的基礎(chǔ)上考慮阻尼特性，從能量角度分析GFM-GCI 控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)同步穩(wěn)定性的影響機(jī)理。然后，借鑒多尺度法求解功角模型的顯式解析解，基于解析解得到GFM-GCI 暫態(tài)同步穩(wěn)定邊界，并在此基礎(chǔ)上給出了一種面向系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法。通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文理論分析、功角解析模型以及控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法的有效性，具體結(jié)論如下：

1）基于考慮阻尼的EAC 揭示了控制參數(shù)對(duì)暫態(tài)同步穩(wěn)定性產(chǎn)生影響的物理機(jī)制：增大阻尼參數(shù)D和減小慣量參數(shù)J有利于減小等效機(jī)械功率，進(jìn)而減小系統(tǒng)加速面積，改善系統(tǒng)暫態(tài)同步穩(wěn)定性。

2）基于多尺度法提出的功角解析模型能較為準(zhǔn)確地反映大擾動(dòng)故障下GFM-GCI 的功角穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性。

3）基于解析解提出的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法，能有效指導(dǎo)暫態(tài)同步穩(wěn)定下GFM-GCI 的控制參數(shù)設(shè)計(jì)，與現(xiàn)有傳統(tǒng)暫態(tài)分析方法相比保守性更低，為GFM-GCI 控制參數(shù)設(shè)計(jì)提供新的理論支撐。

本文尚未分析多構(gòu)網(wǎng)型逆變器并聯(lián)系統(tǒng)中所提解析建模方法的有效性。在多機(jī)并聯(lián)系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)更復(fù)雜的暫態(tài)同步穩(wěn)定問(wèn)題，適用于多機(jī)并聯(lián)系統(tǒng)暫態(tài)分析的解析模型是需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

附錄見(jiàn)本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網(wǎng)絡(luò)全文。