方永鋒，霍婷婷，苗海東

（寧夏師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，固原 765000）

壓電致動器作為新型的制動工具，被廣泛應(yīng)用于航空航天、醫(yī)療衛(wèi)生、微機電系統(tǒng)等多個領(lǐng)域，越來越發(fā)揮著重要的作用。文獻[1-3]對壓電材料的制備及其壓電性能進行了研究，認(rèn)為壓電新材料為未來可穿戴裝備與智能精密控制裝備的制造提供了新路徑。文獻[4-5]研究了壓電材料在傳感方面的應(yīng)用，認(rèn)為壓電材料在力學(xué)傳感中可以感知微納級的變化，壓電材料在發(fā)展新型傳感裝備中起到重要作用。文獻[6]研究了多層陶瓷壓電致動器的力學(xué)輸出性能，用實驗的方法獲得了多層壓電陶瓷致動器的臨界電壓與最大位移。文獻[7]研究了多層PVDF 壓電懸臂梁的發(fā)電性能，利用仿真與試驗獲得不同層數(shù)不同排列方式壓電片的懸臂梁的發(fā)電效果。文獻[8-9]研究了壓電致動器在機翼減振中的應(yīng)用，認(rèn)為未來無人機機翼的減振裝置中壓電致動器將起到越來越重要的作用。文獻[10]基于Ansys.仿真軟件對壓電雙晶梁進行機電耦合分析表明，隨著電路時間常數(shù)的增加，電氣阻尼增加，對梁振動抑制越顯著。文獻[11]研究了具有不對稱特性的壓電致動器的滯后特性和頻率相關(guān)性，對壓電致動器的位移與速度仿真，認(rèn)為提高壓電致動器的位移控制精度，可以有效提高壓電致動器的魯棒性，進而可顯著提高系統(tǒng)的定位精度。文獻[12]研究了不同智能材料在主動減振中的作用與策略，特別指出壓電堆疊致動器在主動控制中具有良好的阻尼與頻率和很好的機電耦合性，將來會在大跨度的結(jié)構(gòu)主動減振中發(fā)揮重要的作用。到目前為止，暫未發(fā)現(xiàn)利用機電耦合系統(tǒng)對壓電致動器的力學(xué)輸出行為進行有效的研究。

本文在以上文獻的基礎(chǔ)上，將壓電致動器和彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)有機結(jié)合，利用壓電致動器的形變，引起彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的運動，然后利用拉普拉斯變換與逆變換，給出致動器在交流電與直流電激勵下的力學(xué)輸出計算公式，最后利用陶瓷壓電致動器和PVDF 壓電致動器分別進行了計算，并和已有的文獻結(jié)果進行比較，說明本文方法的有效性、易行性與實用性

1 壓電致動器的形變輸出計算

為了對壓電致動器的力學(xué)輸出進行計算，設(shè)計如圖1 所示的機電耦合系統(tǒng)，該系統(tǒng)左邊為彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，右邊為外接電源與壓電致動器系統(tǒng)。

圖1 機電耦合系統(tǒng)Fig.1 Electromechanical coupling system

本機電耦合系統(tǒng)中，利用壓電材料力-電耦合的第一類三維本構(gòu)方程：

式中：ε 是壓電材料的應(yīng)變張量；σ 是壓電材料的應(yīng)力張量；D 是壓電材料的電位移矢量；E 是壓電材料的電場強度矢量；S，e，K 分別為彈性柔順常數(shù)矩陣、壓電應(yīng)變常數(shù)矩陣及自由介電常數(shù)矩陣。

將壓電致動器沿x 方向極化后，式（1）和式（2）中：

x 方向為致動器正方向，則式（1）和式（2）化為一維的形式：

對于電場強度E 由以下計算公式給出：

式中：ui（t）是外加電壓；h 是壓電極板的厚度。

則式（5）可化為

則式（7）為壓電致動器在外部電壓下的應(yīng)變輸出。

機械系統(tǒng)是一個質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，它的運動方程由以下公式給出：

式中：M 為質(zhì)量矩陣；c 為阻尼矩陣；K 為彈簧剛度矩陣；F（t）為所受外力向量。

以x 方向為主方向，式（8）為一維形式，可化為

2 壓電致動器的力學(xué)輸出計算

2.1 壓電致動器在交流電激勵下的力學(xué)輸出

壓電致動器在x 方向產(chǎn)生應(yīng)變引起位移，即：

對于壓電致動器，如果施加交流電，則輸入信號可視為

式中：A1是幅值；ω 是頻率；φ 是初相，初相對于致動器的最大力學(xué)輸出沒有影響，可以忽略不計，則式（15）拉氏變換如下：

壓電致動器在交流電作為輸入信號，其力學(xué)輸出為

上式進一步化簡，可得到在交流電輸入下的壓電致動器的最終力學(xué)輸出為

2.2 壓電致動器在直流電激勵下的力學(xué)輸出

對于壓電致動器，如果施加直流電，則輸入信號可視為一階躍信號：

壓電致動器在直流電作為輸入信號，其力學(xué)輸出為

上式進一步化簡，可得到在直流電輸入下的壓電致動器的最終力學(xué)輸出為

式（22）為壓電致動器在直流電下的力學(xué)輸出計算公式。

2.3 力學(xué)輸出計算公式中D33 的計算

D33作為壓電本構(gòu)方程中電位移矢量一直參與運算，作為沿z 軸極化后電位移量在壓電致動器的力學(xué)輸出中起到了重要的作用，同時對于計算過程增加了難度，因此對于D33作進一步的簡化處理是有必要的。

電位移矢量由致動器表面電荷量與致動器有效面積決定，由以下公式給出：

式中：A 是致動器的有效面積；q 是致動器表面電荷量，由以下公式給出：

式中：C 為等效電容；f 為壓電片施加的預(yù)應(yīng)力；兩者分別由以下公式給出：

式中：w 是壓電片的寬度；l 是壓電片的長度；ls為機械系統(tǒng)中彈簧預(yù)變形量；ap為壓電片的等效剛度，根據(jù)文獻[7]方法，經(jīng)過推理計算可得，a 為壓電材料剛度與彈簧的剛度比，一般取4～15：

至此，給出了壓電致動器在交流電與直流電激勵下的簡便可行的力學(xué)計算公式。

3 算例

為了驗證本算法的有效性、準(zhǔn)確性、易行性，用2 個算例分別進行了驗證，具體如下文所述。

算例1 在文獻[6]中，利用多次實驗和回歸分析獲得的數(shù)據(jù)，根據(jù)該文獻方法，經(jīng)過計算，在500 V 電壓的激勵下，單個壓電陶瓷致動器的力學(xué)輸出為3.08 N，該文獻提供的壓電陶瓷相關(guān)數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 壓電陶瓷的參數(shù)Tab.1 Parameters o piezoelectric ceramics

由式（22）以激勵電壓為500 V 直流電，計算一次的力學(xué)輸出為3.08 N，以式（18）計算輸入電壓為500 V，頻率為50 Hz 的交流電激勵電壓計算一次的力學(xué)輸出如圖2 所示。

圖2 交流電激勵下壓電陶瓷致動器的力學(xué)輸出Fig.2 Force output of piezoelectric ceramics actuator under AC excitation

從圖2 可以看出，即使激勵是電壓幅值為500 V，頻率為50 Hz 的交流電，其在30 s 的力學(xué)輸出也是在［-3.08，3.08］N 之間。以上結(jié)果和文獻[6]高度一致，從而說明本文方法在計算陶瓷壓電致動片的力學(xué)輸出時是可行的、易行的和有效的。

算例2 在文獻[7]中，計算多層PVDF，給出了電壓與致動器的功率之間的關(guān)系，根據(jù)該文提供的參數(shù)以及方法，經(jīng)過計算，在34 V 電壓的激勵下，單層PVDF 致動器的力學(xué)輸出為0.6832 N，該文獻提供的PVDF 相關(guān)提供數(shù)據(jù)如表2 所示。

表2 PVDF 參數(shù)Tab.2 Parameters of PVDF

由式（22）以激勵電壓為34 V 直流電，計算一次其力學(xué)輸出為0.7202 N，以式（18）計算輸入電壓為500 V，頻率為50 Hz 的交流電激勵電壓計算一次其力學(xué)輸出如圖3 所示。

圖3 交流電激勵下PVDF 致動器的力學(xué)輸出Fig.3 Force output of PVDF actuator under AC excitation

從圖3 可以看出，即使激勵電壓幅值為34 V，頻率為50 Hz 的交流電，其在10 s 的力學(xué)輸出也是在［-0.6832，0.6832］N 之間。以上結(jié)果和文獻[7]高度一致，從而說明本文方法在計算PVDF 壓電致動片的力學(xué)輸出時是可行的、簡單的和有效的。

4 結(jié)語

本文針對單層壓電致動器力學(xué)輸出計算困難的問題，將壓電致動器和彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)有機結(jié)合，由壓電致動器的形變導(dǎo)致彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的運動，建立運動微分方程，然后利用拉普拉斯變換與逆變換，給出致動器在交流電與直流電激勵下的力學(xué)輸出計算公式，最后利用陶瓷壓電致動器和PVDF 壓電致動器分別進行了計算，計算結(jié)果和已有的文獻結(jié)果進行比較，說明了本文方法的有效性、易行性與實用性。