張玨暉

摘 要：錯誤是一種非常重要的學習資源，巧妙運用解題中的錯誤資源，引導學生在錯誤中歸納和分析，逐漸提升自身的解題能力，已經(jīng)成為一線教師關注的重點.本文以此切入，針對學生在數(shù)學解題中常見的錯誤進行了歸類、分析，并據(jù)此提出針對性的解題教學建議，旨在提升初中生的數(shù)學解題能力.

關鍵詞：錯解；歸因分析；初中數(shù)學；解題教學

教育家皮亞杰在研究中認為：“有意義的學習離不開錯誤的促進，若將錯誤認定為學習的不合理因素，那么錯誤就是學習的限制因子.”解題作為初中數(shù)學課堂教學的重要組成，承擔著培養(yǎng)學生思維的責任.但是學生在解題過程中，只要在技巧上、心理上，亦或是知識上存在一丁點兒的錯誤，就會出現(xiàn)偏差，導致其出現(xiàn)解題錯誤.這種現(xiàn)象尤為常見，錯誤也是一種非常重要的學習資源，只要對其合理利用，就能讓學生在錯誤分析中獲得提升和發(fā)展.

1 初中數(shù)學常見錯題歸類分析

學生在解題過程中，受到多種因素影響，不可避免地出現(xiàn)各種錯誤.為了最大限度利用這些錯誤資源，促使學生從錯誤中吸取教訓、在錯誤中獲得提升，必須要對其進行歸類、分析.具體來說，初中數(shù)學常見錯題類型主要包括以下幾種：

1.1 知識型錯誤

數(shù)學解題就是數(shù)學知識的綜合應用，學生掌握的知識越是牢固、知識越是系統(tǒng)，解題突破的可能性也就越大.一旦學生在學習中出現(xiàn)了知識漏洞，或者對某些數(shù)學概念、數(shù)學性質(zhì)認識不清，后期也沒有及時進行填補，就會中斷知識的連續(xù)性、系統(tǒng)性.如此，不僅制約了學生的后續(xù)學習，也導致其在解題時頻頻出現(xiàn)錯誤.

例1 判斷x+1π是分式還是整式？

錯解：部分學生在解答這一題目中，認為：x+1π中含有字母π，因此屬于分式.

解析：學生之所以會產(chǎn)生錯誤，主要原因就是對“分式概念”的認知不夠到位.根據(jù)分式的定義，在判斷一個式子是否屬于分式，主要是看其分母，如果分母中含有字母，則該式子為分式.對此，在書中給出了明確的定義：如果A、B表示兩個整式，其中B中含有字母，那么式子AB就屬于分式.因此，根據(jù)這一定義，即可得知x+1π屬于整式.

例2 已知x=3+2，y=3-2，求：x3y-xy3的值？

錯解：部分學生審題之后，就直接以x3y-xy3為切入點，先求出x3，之后再將其與y相乘，按照同樣的思路，再次求出xy3.在這種情況下，學生將面臨著復雜的數(shù)學運算，致使學生計算到一半就放棄.

解析：這種錯誤也屬于知識性錯誤，主要是學生知識體系存在漏洞，在解題時并未聯(lián)系所學知識，無法對其進行靈活應用和重組，致使學生在解題中出現(xiàn)錯誤.此時，學生只要聯(lián)系所學的知識，就會對x3y-xy3進行因式分解：x3y-xy3=xy（x2-y2）=xy（x+y）（x-y）.通過因式分解之后，這一題目也就迎刃而解［1］.可見，學生在解題時，知識是否結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，導致其在解題時出現(xiàn)了明顯的差異.

1.2 思維型錯誤

數(shù)學解題過程也是思維過程.但在實際解題中，部分學生常常受到定勢思維的制約，遇到簡單問題時，尚可“按圖索驥”進行解答，一旦題目稍有變化，或者稍微復雜一點，學生就無從下手，只會按照定勢思維進行解答.在這種情況下，學生在解題時常常會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.

圖1

例3 如圖1所示，已知拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸相交，交點為C，與x軸則相交于A、B兩點.且點A位于點B的左側(cè)，B的點坐標為（1，0），OC=3OB.

求：（1） 拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）的解析式.

（2） 如果點D位于線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值？

錯解：針對第（1）問解答，學生可得出C點坐標，即（0，-3），接著將B、C點坐標帶入到解析式中，即可得出拋物線的解析式.針對這一問題解答，幾乎所有學生均可得出；但是在對第（2）問解答中，要想求四邊形ABCD面積的最大值，部分學生就按照傳統(tǒng)的思維將其劃分為兩個三角形，即三角形ADC、ABC.三角形ABC面積好求解，但在三角形ADC面積求解中，由于無法確定其高，導致解題陷入到困境中.在這種情況下，學生無法及時轉(zhuǎn)換思路，致使放棄.

解析：學生之所以會出現(xiàn)這種現(xiàn)象，一是因為二次函數(shù)問題本身就非常難，針對簡單的問題學生尚可“按圖索驥”進行解答.一旦題目有所變化，或者難度系數(shù)增加，學生就不知道如何著手，致使其在解題時不是出現(xiàn)錯誤，就是半途而廢.其實，只要學生跳出思維的束縛，過D 點做DM∥y軸，

圖2

分別與線段AC、x軸相交于M、N兩點（如圖2所示），即可形成新的解題思路：結(jié)合已經(jīng)求出來的拋物線的解析式，可得出A點的坐標（-4，0），再結(jié)合C點坐標，即可確定出直線AC的解析式：y=-34x-3，之后再假設D、M點的坐標，即可得出一個關于DM的解析式，并由此得出DM最大值為3，最終即可求出四邊形的最大面積.可見，在這一題目解答中，學生只要跳出了定勢思維的束縛，即可在解題卡殼時，站在宏觀的角度上，選擇出正確的思路和方向，進而完成問題的解答［2］.

1.3 審題型錯誤

審題是解題的第一步，審題就是一個獲取信息、分析信息、處理信息的過程，主要是在閱讀題目和思考中完成.但在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生常常出現(xiàn)審題不清，題目分析不夠到位等問題，最終導致學生在解題時，頻頻出現(xiàn)錯誤.

例4 在△ABC與△DEF中，∠A=60°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，判斷這兩個三角形是否相似？

錯解：部分學生在審題時，常常因為這一題目難度系數(shù)比較低，掃一眼就認為兩個三角形的度數(shù)不同，不滿足相似三角形的條件，據(jù)此便匆匆給出答案：不相似.學生之所以會出現(xiàn)這一錯誤，究其主要原因就是在審題中忽視了“三角形內(nèi)角和為180°”的隱含條件.

例5 為了滿足市場的需求，某超市在端午節(jié)來臨之前，推出了一種品牌粽子.已知每盒粽子的進價為40元.但是根據(jù)當?shù)匚飪r局的規(guī)定，每盒粽子的售價不能高于50元.結(jié)合以往的銷售經(jīng)驗，超市決定將其定價在45元，此時每天可以賣出700盒，如果每盒售價提高1元，銷售量就會減少20盒.

求：（1） 每天銷售量y（盒）與每盒售價x之間的函數(shù)關系式？

（2） 當每盒定價為多少元的時候，每天的銷售利潤P為最大？且最大利潤是多少？

錯解：這一題目難度系數(shù)并不高，但學生在做題時，常常因為審題不清，導致其出現(xiàn)各種各樣的錯誤.有學生得出第（1）問的解析是為y=700-20x，從而得到第（2）問結(jié)果為P=（45-40+x）（700-20x）.這位學生會出現(xiàn)這種解題錯誤就是因為審題不清，誤認為是“提高”的價錢，同時這位學生表示這一類型的題目做過很多，一看到類似，就沒有仔細審題；還有部分學生雖然對第（1）問，將函數(shù)解析式正確解答出來，即：y=700-20（x-45）=-20x+1600；但是在回答第（2）問時，雖然得出了解析式y(tǒng)=-20（x-60）2+8000，并結(jié)合該二次函數(shù)的圖象形式，確定出該函數(shù)存在最大值.但之后便直接得出當x=60時，該函數(shù)擁有最大值，即超市獲得最大利潤，為6000元.學生之所以在最后一步出現(xiàn)錯誤，主要原因也是審題不清，忽略了“根據(jù)當?shù)匚飪r局的規(guī)定，每盒粽子的售價不能高于50元”這一條件，致使其功虧一簣.由此可見，在解答數(shù)學問題時，唯有認真審題，理清題目中的信息和數(shù)量關系，才能在此基礎上正確解答問題，否則就會出現(xiàn)各種各樣的錯誤［3］.

1.4 缺乏反思型錯誤

學習本身就是一個總結(jié)、歸納與反思的過程，學生在解題的過程中，常常不可避免地出現(xiàn)錯誤，但多數(shù)學生在面對錯題時，常常只關心答案是否正確，僅限于就題論題，并未及時進行反思和總結(jié)，致使其在解題時頻頻出現(xiàn)同類錯誤.

例6 將根號外的因式移到根號內(nèi)部

（1-x）1x-1.

錯解：部分學生在解答這一問題時，忽視了二次根式中需要判斷x的范圍，導致其在解題的時候出現(xiàn)錯誤，即：（1-x）1x-1=1x-1·（1-x）2=x-1.針對這一錯誤，雖然教師進行了講解，明確了在做這一類題目時，需要對x的范圍進行判斷，在不確定（1-x）正負的情況下，不能直接移到根號內(nèi)部.

但是由于學生并未對錯題進行整理，忽視了錯誤原因分析等，致使其并未真正弄懂此類題目的規(guī)律，以至于其在做a-1a題目中，又犯下了同樣的錯誤：a-1a=-1a·a2=-a.

1.5 主觀型錯誤

學生作為學習的主體，其在解題時的心理、態(tài)度和習慣等，也會在很大程度上影響解題的正確率.尤其是針對數(shù)學這一學科，學生在解題時，不僅僅要具備扎實的基礎知識、基本的解題技能、良好的數(shù)學思維，還應具備良好的心理素質(zhì)、嚴謹?shù)慕忸}態(tài)度以及良好的解題習慣，才能真正提升自身的解題效率.但在實踐中，多數(shù)學生都受到這一因素的制約，導致其頻頻失分.

例7 等腰三角形的一個角是80°，它的另外兩個角是多少度？

錯解：這一題目難度系數(shù)非常小，但學生在解答的時候，卻經(jīng)常丟掉一種情況.導致這一現(xiàn)象的原因，就是學生在面臨這一問題時，覺得其比較簡單，產(chǎn)生輕敵心理，就想當然地將80°視為等腰三角形的頂角，據(jù)此確定出剩下的兩個角度數(shù)為（180-80）÷2=50°；完全忽視了80°是底角的可能，致使另外一種答案丟失.

例8 計算（x-6）（x-3），4-xx-5+15-x=3.

錯解：這原本是兩道非常簡單的計算題目，但部分學生在解題時，常常受到自身解題態(tài)度的制約，致使解題中出現(xiàn)了明顯的錯誤，即：（x-6）（x-3）=x2+9x+18；在對4-xx-5+15-x=3解答中，直接在方程的兩邊都乘以（x-5），忽視了第二項分子中變號的現(xiàn)象，致使解題的結(jié)果出現(xiàn)錯誤.這一類型的錯誤幾乎與是否掌握知識無關，基本上都是因為學生不夠認真所導致［4］.

2 教學啟示與建議

在初中數(shù)學學習中，錯題尤為常見，正是因為出現(xiàn)錯誤，教師才能及時發(fā)現(xiàn)學生的學習漏洞，才能通過點撥、引導、解惑等，最終促使學生在“改錯”“分析錯誤”的過程中，真正完成相關知識的深度學習，不斷提升學生的數(shù)學解題能力.

第一，增強知識的厚度，引領學生開展深度學習.深度學習是建立在基礎知識之上，也是學生促進知識系統(tǒng)化，提升學生解題能力的關鍵.而要達到這一點，初中數(shù)學教師在日常教學之前，必須要對現(xiàn)行的教材內(nèi)容進行全面、深刻地分析，在深度理解教材內(nèi)容的基礎上，對其進行合理地拓展和延伸.同時，在組織和開展課堂教學時，還應立足于學生當前的知識水平、認知思維特點等，科學設計數(shù)學學習活動，引導學生以知識探究者的身份，經(jīng)歷知識的生成、發(fā)展、應用等過程，最終促使學生在探究學習的過程中，將知識從感性認識上升到理性認知，最終在深度理解的基礎上，促進知識的遷移、應用.

第二，加強基礎知識教學，奠定解題基礎.鑒于數(shù)學學科的特點，基礎知識是根基、關鍵，唯有夯實學生的基礎知識，熟練掌握基本的數(shù)學概念、數(shù)學形式和公式，才能將其靈活應用到解題中.鑒于此，教師不僅僅要重視數(shù)學基礎知識的教學，力求將每一個數(shù)學知識點講透.同時，為了提升基礎知識的教學效果，還應關注教學手段創(chuàng)新，并借助典型的例題輔助，以便于學生在實踐中促進基礎知識的理解與內(nèi)化.

第三，關注閱讀，提升審題能力.當學生在做題時，如果對題目都不理解，根本不可能做出正確的答案.學生在做題的時候，第一步就是審題.學生的審題能力，直接決定了學生自身的解題能力.鑒于當前學生審題能力低下的現(xiàn)狀，教師不僅要強化學生的審題意識，還應在日常教學中，有意識地引導學生“該如何閱讀題目”，理解語言的陳述，還應理解題目、熟悉題目，充分挖掘其背后的蘊含的隱性條件，以便于學生更好地進行解題.

第四，開展變式，強化思維.數(shù)學解題過程也是思維發(fā)展的過程，對學生的邏輯、抽象、發(fā)展思維等都提出了很高的要求.尤其是面對難度系數(shù)比較高的數(shù)學題目，學生唯有具備一定的高階思維能力，才能快速、精準地解答出問題.鑒于此，教師在日常教學中，必須要緊緊圍繞數(shù)學概念、數(shù)學性質(zhì)和公式等開展變式訓練，促使學生在改變條件、改變問題等訓練中，促進思維的發(fā)展，并逐漸摒除思維定式的束縛.

第五，引導學生做好反思，養(yǎng)成良好的解題習慣.積極反思不僅僅是養(yǎng)成良好解題習慣的關鍵，也是提升學生解題能力的重要途徑.反思就是引導學生針對錯題進行反思，明確錯誤產(chǎn)生的原因，并將其歸類，從而真正實現(xiàn)“知其然知其所以然”，促使學生在反思的過程中，從錯誤中得到教訓；另一方面，還應準備錯題集，做好日常錯題的收集、分析等工作，在日常學習中及時進行翻看，以便于學生在分析中進行反思，在反思中進行改進，真正提升學生的數(shù)學解題能力［5］.

3 結(jié)束語

綜上所述，錯題是一種非常重要的學習資源，屬于有意義學習的促進者，無論是教師還是學生都要從思想上重視錯題.教師還應充分發(fā)揮錯題資源的教育價值，以錯題為切入點，對其進行歸類，分析其錯誤產(chǎn)生的原因，并據(jù)此“對癥下藥”，調(diào)整課堂教學方案，有針對性地強化等，不斷提升初中生的數(shù)學解題能力.

參考文獻：

［1］ 黃赟.關注錯解歸因，提升解題能力——以初中數(shù)學為例［J］.數(shù)學教學通訊，2022（20）：40-41.

［2］ 蔡永芳.初中數(shù)學“錯題集”的整理和應用［J］.數(shù)學學習與研究，2022（14）：26-28.

［3］ 周琴.初中數(shù)學“易錯題”的分析及總結(jié)［J］.現(xiàn)代中學生（初中版），2020（12）：43-45.

［4］ 易善思.初中數(shù)學解題反思能力的培養(yǎng)途徑［J］.數(shù)學大世界（中旬），2018（10）：87.

［5］ 陳學云.初中數(shù)學教學中解題反思的作用與途徑［J］.校園英語，2017（38）：214.