劉健康

摘要：本文利用數(shù)學(xué)GGB軟件，探究高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)，通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形激發(fā)學(xué)生興趣，拓廣思路，避免畏難情緒，減少?gòu)?fù)雜運(yùn)算，有效提高教學(xué)質(zhì)量與效率.

關(guān)鍵詞：GGB軟件；圓錐曲線；數(shù)學(xué)教學(xué)

GeoGebra（以下簡(jiǎn)稱GGB）是一款集代數(shù)運(yùn)算和幾何畫(huà)圖于一體的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件，以其動(dòng)態(tài)化、過(guò)程化的圖象演示，可以展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，利于學(xué)生觀察圖象，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，總結(jié)規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

高中數(shù)學(xué)新教材對(duì)圓錐曲線教學(xué)的要求比較高，內(nèi)容豐富，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有一定的要求.教師在圓錐曲線的教學(xué)過(guò)程中缺乏對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的積極性的調(diào)動(dòng)；創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境比較單一；教師在教學(xué)中容易忽視幾何探索，忽視新教材中的“信息技術(shù)運(yùn)用”等數(shù)學(xué)活動(dòng)，教學(xué)效果不好，學(xué)生感覺(jué)圓錐曲線難學(xué).本文以《圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題》為例，對(duì)GeoGebra軟件與高中數(shù)學(xué)教學(xué)融合進(jìn)行探討.

1教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1：

兩條直線y=kx和y=－kx分別與拋物線y2=2px（p>0）相交于不同于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)，直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)？

生1：把直線y=kx與拋物線y2=2px（p>0）聯(lián)立，求A點(diǎn)坐標(biāo)，B點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線AB的方程.

教師引入GGB操作：（1）利用GGB做出拋物線y2=2px（p>0）和兩條直線y=kx和y=－kx的圖象.（2）形成k和p兩個(gè)滑動(dòng)條，確定交點(diǎn)A，B兩點(diǎn).（3）用直線工具做出直線AB，明確焦點(diǎn).（4）分別拖動(dòng)k和p兩個(gè)滑動(dòng)條.

師：請(qǐng)問(wèn)大家，通過(guò)GGB的演示，能發(fā)現(xiàn)那些情況？

生2：通過(guò)觀察，A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等.所以只要計(jì)算點(diǎn)A的橫坐標(biāo).

生3：要讓直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，由對(duì)稱性，只要點(diǎn)A的橫坐標(biāo)等于焦點(diǎn)的橫坐標(biāo).

生4：k=±2時(shí)直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，k>2或k<－2，直線AB與x軸的交點(diǎn)在拋物線焦點(diǎn)與原點(diǎn)之間，－2

生5：改變p時(shí)，不影響上述結(jié)論.

師：大家觀察很仔細(xì)，總結(jié)很到位.

點(diǎn)評(píng)：用信息技術(shù)把知識(shí)的難點(diǎn)和重點(diǎn)向?qū)W生呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生有更多機(jī)會(huì)和時(shí)間去完成各種探索和實(shí)踐活動(dòng)，有利于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和邏輯推理能力.

問(wèn)題2：動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）在直線2x－y+6=0上，由點(diǎn)P引拋物線y2=2x的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，證明直線MN恒過(guò)定點(diǎn).

師生活動(dòng)：學(xué)生思考問(wèn)題，教師實(shí)時(shí)提問(wèn)：如何證明直線過(guò)定點(diǎn)？

學(xué)生回答：兩個(gè)切點(diǎn)情況不清楚，容易失去解題方向，還怕運(yùn)算復(fù)雜.

教師引入GGB操作：如圖1，（1）做出拋物線y2=2x，直線2x－y+6=0;

（2）在直線取點(diǎn)P，利用GGB切線工具做出兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N;

（3）作直線MN，拉動(dòng)點(diǎn)P，新的位置作直線M′N(xiāo)′，設(shè)兩次直線的交點(diǎn)為C;

（4）再拉動(dòng)點(diǎn)P，注意觀察，多次變動(dòng)，直線始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

經(jīng)上述實(shí)驗(yàn)證明：直線MN恒過(guò)定點(diǎn).

解：因?yàn)?x0－y0+6=0，由切點(diǎn)弦方程得直線MN方程：y0y=x+x0，消去y0得（2y－1）x0+6y－x=0，由于x0的任意性，有2y－1=0，∴定點(diǎn)為（3，?1/?2?）.

教師：通過(guò)此題，除了學(xué)習(xí)切點(diǎn)弦方程，我們還可以推出一般結(jié)論：

推論：動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）在直線Ax+By+C=0上，由點(diǎn)P引拋物線y2=2px的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（ C?A?，－?pB?A?）.

學(xué)生6：此結(jié)論可以推廣到橢圓和雙曲線嗎？

師：當(dāng)然可以，大家可以課后探索證明.

點(diǎn)評(píng)：學(xué)習(xí)最怕的是失去興趣，解析幾何歷來(lái)就是學(xué)生不愿意多接觸的，利用GGB可以激發(fā)學(xué)生思維，體驗(yàn)到定點(diǎn)的存在，從而產(chǎn)生對(duì)切點(diǎn)弦方程學(xué)習(xí)的迫切性，從而提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

問(wèn)題3：（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）第20題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0，－2），B（ 3?/2?，－1）兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，－2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT〖TX→〗=TH〖TX→〗.證明：直線HN過(guò)定點(diǎn).

第（1）問(wèn)橢圓E的方程為：?y2?4?+?x2?3?=1.

師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀題意，動(dòng)手畫(huà)圖，反饋此圖形比較復(fù)雜，相關(guān)點(diǎn)多，解題困難.

教師引入GGB操作：

如圖2：（1）用GGB畫(huà)出橢圓，描出點(diǎn)P，A，B三點(diǎn)，

（2）利用直線工具，過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，

（3）過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，連接MT并延長(zhǎng)兩倍到H，

（4）拖到N點(diǎn)的位置，觀察動(dòng)態(tài)直線.

教師：點(diǎn)P作的動(dòng)態(tài)直線有哪些情形？

生7：由圖3，有4種情形：（1）直線一般情形，（2）直線斜率為0，（3）直線斜率不存在，（4）直線過(guò)原點(diǎn).

教師：通過(guò)這幾種情形，可以看出直線HN過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)？生齊答：過(guò)點(diǎn)A.

教師：非常好！先把斜率不存在的情形說(shuō)明驗(yàn)證好，可以得分.對(duì)一般情形我們?nèi)绾翁幚恚?/p>

生8：把直線和橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，表示點(diǎn)T和點(diǎn)H的坐標(biāo)，最后表示直線HN的方程，計(jì)算很繁瑣.

教師：既然我們已經(jīng)知道直線恒過(guò)點(diǎn)A，是否可以想辦法減少運(yùn)算，優(yōu)化解答過(guò)程？

生9：不用求直線HN的方程，只要證明AN和AH的斜率相等就好.

教師：很好！如果大家細(xì)心的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)PA，PB都是橢圓的切線，繼續(xù)探索，可得下面推論：

推論：過(guò)橢圓Ax2+By2=1外一點(diǎn)P（x0，y0）得任一直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為C，D，與橢圓切點(diǎn)弦的交點(diǎn)為Q，則?1?|PC|?+?1?|PD|?=?2?|PQ|?成立，反之亦然.

生10：估計(jì)把橢圓改成雙曲線和拋物線，也會(huì)成立，圓錐曲線真的有很多神奇.

教師：我們還可以猜想直線TN是否定點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：利用GGB作出的動(dòng)態(tài)課件就可以直觀生動(dòng)地將動(dòng)態(tài)直線展現(xiàn)在課堂上，方便學(xué)生的學(xué)習(xí)，這是傳統(tǒng)課堂做不到的，就是可以利用GGB將三大圓錐曲線統(tǒng)一起來(lái).有利于提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率.

2教學(xué)反思

課堂教學(xué)中，并不是把題目解出來(lái)，求得運(yùn)算結(jié)果就大功告成，對(duì)于這類圓錐曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，要通過(guò)以下提問(wèn)去幫助學(xué)生總結(jié)：

（1）如何刻畫(huà)直線過(guò)定點(diǎn)？

（2）如何通過(guò)數(shù)學(xué)GGB作圖，觀察圖象的對(duì)稱性，特殊位置如直線的水平位置，垂直位置，斜率等于0或斜率不存在.采用先猜后證的策略？

（3）如何引進(jìn)參數(shù)，研究變化的量與參數(shù)沒(méi)關(guān)系，如何從特殊到一般，探索出定點(diǎn)，再證明？

現(xiàn)階段部分學(xué)生對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)存在偏差，過(guò)于強(qiáng)調(diào)圓錐曲線幾何問(wèn)題代數(shù)化，沒(méi)有充分進(jìn)行幾何研究，而且學(xué)生的運(yùn)算能力有欠缺，造成學(xué)習(xí)圓錐曲線積極性不高.課堂中圓錐曲線的教學(xué)主要停留在教師根據(jù)題意分析思路，例題示范，然后變式訓(xùn)練，其實(shí)這種做法沒(méi)有從根本上解決問(wèn)題，學(xué)生興趣不大，計(jì)算淺嘗輒止，最后一事無(wú)成.很多教輔資料也主要是進(jìn)行圓錐曲線的代數(shù)解法歸納，提出齊次化思想，設(shè)而不求或者定比分點(diǎn)思想等等，這些都沒(méi)有抓住圓錐曲線的本質(zhì)！圓錐曲線首先就是個(gè)幾何圖象，沒(méi)有把所有的幾何特征摸清楚，問(wèn)題解決就肯定困難.因此我們教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該擺在幾何的直觀展示，運(yùn)用平面幾何知識(shí)，結(jié)合信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，才能有助于坐標(biāo)法的開(kāi)展.

但是大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師GGB軟件功底不高，使用熟練度不好，而且用GGB做課件很耗時(shí)，平時(shí)教學(xué)任務(wù)比較重，關(guān)鍵用GGB輔助教學(xué)不能做到恰到好處，導(dǎo)致使用GGB教學(xué)不能展開(kāi).隨著時(shí)代的進(jìn)步，伴隨著人教版新教材的多處對(duì)GGB的需求，會(huì)有越來(lái)越多的教師提高技術(shù)水平，對(duì)圓錐曲線的教學(xué)研究會(huì)越來(lái)越多，教學(xué)手段會(huì)越來(lái)越豐富.

基金項(xiàng)目：廣州市教育科學(xué)規(guī)劃課題（教育科研協(xié)作基地項(xiàng)目）《信息技術(shù)與學(xué)科教學(xué)深度融合的實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：202213858）.