徐華

摘要：在STEM教育理念下，以物理學(xué)科知識為背景、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程為參照，結(jié)合數(shù)學(xué)實驗活動，應(yīng)用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件geogebra，設(shè)計并實施了《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》這節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生通過實際操作深入理解橢圓的定義，在討論辨析中深化橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，在課后作業(yè)中繼續(xù)強化理論和實踐的能力，讓學(xué)生的核心素養(yǎng)落地生根.

關(guān)鍵詞：STEM教育；核心素養(yǎng)；geogebra

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》指出：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)是六大核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.

STEM教育的核心理念強調(diào)以概念為主，通過科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué)之間的合并和融合，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)工具科學(xué)精準(zhǔn)地描述世界.在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，它要求數(shù)學(xué)教師盡可能營造一種積極的、活躍的教學(xué)氛圍，設(shè)計真實的問題情境，盡可能提出一些有挑戰(zhàn)性的問題，來激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲，讓學(xué)生真正主動參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來.同時它也要求數(shù)學(xué)教師應(yīng)該改變固有的教學(xué)經(jīng)驗，把應(yīng)試教育下的碎片化教學(xué)設(shè)計整合更新為STEM教育理念下的綜合研究型項目式學(xué)習(xí).

下面以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，探索在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何實施STEM教育，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

1設(shè)計思路

本節(jié)課的設(shè)計主要有以下六個環(huán)節(jié)：科學(xué)背景、工程逞威、技術(shù)融合、實操為要、數(shù)學(xué)建模、STEM再現(xiàn).

科學(xué)背景：從物理學(xué)科行星運動軌跡中抽象出數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生對橢圓形狀有直觀的印象；以視頻形式展示圓錐曲線數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

工程逞威：學(xué)生通過小組合作自己動手制作簡易畫圖工具，體驗畫出橢圓的過程.

技術(shù)融合：運用geogebra軟件讓數(shù)學(xué)更嚴(yán)謹(jǐn)，突出重難點，幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

實操為要：以問題串引導(dǎo)學(xué)生思考，以模型實際操作為參照，以小組合作的形式探究并共同擬定橢圓的定義.

數(shù)學(xué)建模：類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，將方法遷移運用到橢圓上.

STEM再現(xiàn)：課后作業(yè)布置制作簡易橢圓規(guī)，書面說明原理，小組展示.

2教學(xué)過程

問題1：太陽系中行星的運動軌跡是什么圖形？生活中還有類似的圖形嗎？請舉出一些例子.

學(xué)生：橢圓，實例有：橄欖球，香皂盒，浴盆等

教師：人們最初是如何認(rèn)識到橢圓的？請觀看視頻《圓錐曲線的發(fā)展歷史》，了解橢圓的研究的歷史過程，明確有哪些方法可以快速準(zhǔn)確的畫出橢圓.

設(shè)計意圖：直觀感受橢圓的形狀，在生活中尋找大量實例，建立數(shù)學(xué)和實際的聯(lián)系，通過視頻了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，引出橢圓的畫法.

教師：橢圓有哪些畫法，哪一種最簡單？

學(xué)生：園藝師畫法，橢圓規(guī)畫法，前者更簡單.

根據(jù)園藝師畫法的要求，教師課前將學(xué)生分成兩人一組，每一組都準(zhǔn)備好方形泡沫板，淺色卡紙，雙面膠，長度為定值的細(xì)繩，釘子，塑料吸管，鉛筆.

教師：請按照園藝師畫法自己動手畫出橢圓.

小組合作：教師指導(dǎo)學(xué)生將卡紙貼在泡沫板上，把釘子套上一段小吸管，釘在板上的兩點F1、F2（小于繩長）處，將繩子固定在吸管上（學(xué)生的小創(chuàng)意，畫圖時更方便），用筆尖把細(xì)繩拉緊，并使筆尖在畫板上移動一周，畫出一段封閉的曲線.

問題2：畫圖過程中哪些量在變化，哪些量是不變的？

學(xué)生：∠F1MF2在不斷變化，MF1和MF2此消彼長，繩子總長度不變.

設(shè)計意圖：小組合作，讓學(xué)生自己動手體驗，直觀感受畫圖過程中量的變化和最終的形狀.

教師利用geogebra軟件展示：首先繪制兩個定點F1、F2，作為橢圓的兩個焦點.其次繪制一條線段AB，固定其長度.在線段AB上取一動點C，作為橢圓動點軌跡的控制點.以F1為圓心，AC長為半徑畫圓和以F2為圓心，BC長為半徑畫圓.取兩圓的交點為P，Q，選擇交點的軌跡即可得到橢圓.選定設(shè)置為虛線，然后拖動C點在線段AB上移動，點P跟隨點C一起在如圖的橢圓上移動.

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合畫圖變化中的不變量，師生一起總結(jié)得出：

橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于?F1F2?）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

設(shè)計意圖：利用技術(shù)手段，精準(zhǔn)畫出橢圓，肯定小組合作得到的結(jié)果，感受和為定值這一特征，抽象概括出橢圓定義.

問題3：在定義中，如果?MF1?+?MF2?≤?F1F2?，動點的軌跡又是什么？

學(xué)生動手實際操作，得出結(jié)論：

當(dāng)?MF1?+?MF2?=?F1F2?時軌跡為線段F1F2；

當(dāng)?MF1?+?MF2?

設(shè)計意圖：學(xué)生通過分類辨析，深入理解橢圓的定義，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題4：觀察橢圓形狀，你認(rèn)為怎樣建立橢圓的方程？

學(xué)生：觀察發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以以兩焦點所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)M（x，y）為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距2c（c>0），則F1和F2的坐標(biāo)分別是（-c，0）、（c，0），M與F1和F2的距離的和等于正常數(shù)2a（2a>2c），即|MF1|+|MF2|=2a.

代入坐標(biāo)得：?（x+c）2+y2?+?（x－c）2+y2?=2a.

請學(xué)生展示化簡過程：

方案一：先移項得

（x+c）2+y2?=2a－?（x－c）2+y2?，

兩邊平方得

（x+c）2+y2=4a2－4a?（x－c）2+y2?+（x－c）2+y2，

整理得a?（x－c）2+y2?=a2－cx，

再平方整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

方案二：直接兩邊平方，整理得

（x2+2cx+c2+y2）（x2－2cx+c2+y2）?=2a－x2－y2－c2.

學(xué)生1：再平方，計算復(fù)雜，還沒算出最終結(jié)果.

學(xué)生2：?［（x2+c2+y2）+2cx］［（x2+c2+y2）－2cx］?=2a－（x2+y2+c2）.

把x2+y2+c2當(dāng)一個整體，利用平方差公式化簡得：

（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），

整理得：?x2?a2?+?y2?a2－c2?=1.

教師：方案一過程簡單，運算量少，方案二本來計算很復(fù)雜，但學(xué)生2巧用整體法簡化了運算過程.后續(xù)在處理運算問題時要多觀察運算式的形態(tài)，學(xué)會尋求最優(yōu)算法.

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)運算能力一直是學(xué)生的弱項，學(xué)生先自己動手計算，再有不同運算思想的碰撞，讓學(xué)生真正動起來，變被動地接受為主動地獲取，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.

問題5：你能在圖中找出表示a，c，?a2－c2?的線段嗎？

學(xué)生：|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|OP|=?a2－c2?，若令|OP|=?a2－c2?=b，方程可簡化為：?x2?a2?+?y2?b2?=1（a>b>0），該方程叫做焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖：強化a，b，c三者之間的關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，感受橢圓方程的簡潔美.

問題6：如果橢圓的焦點F1F2在y軸上，且F1和F2的坐標(biāo)分別是（0，-c）、（0，c），a，b的意義同上，橢圓的方程是什么？

學(xué)生1：猜想方程?y2?a2?+?x2?b2?=1（a>b>0）

學(xué)生2：重復(fù)剛才的推導(dǎo)過程，不想算了.

學(xué)生3：比較焦點x軸上的橢圓圖形，兩者關(guān)于直線y=x對稱，所以只要將方程?x2?a2?+?y2?b2?=1中的x，y調(diào)換，可得

y2?a2?+?x2?b2?=1（a>b>0）.

這個方程叫焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計意圖：利用類比對稱，化歸的思想讓學(xué)生深入理解問題的本質(zhì)所在，圖形沒有變，只是位置發(fā)生了變化，進而通過對稱性得出焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生學(xué)會“偷懶”，避免了繁雜的計算.

問題7：橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程有什么異同點？如何從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷橢圓焦點的位置？

學(xué)生：總結(jié)方程特征：

①形式上：平方+平方=1，且c2=a2－b2，a>b>0

②細(xì)節(jié)上：x和y順序交換（焦點位置不同）

③哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上.

3總結(jié)反思

3.1以STEM教育理念為基，促進教學(xué)方法改革

本節(jié)課基于STEM教育理念設(shè)計和實施，融入了科學(xué)、技術(shù)、工程與數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就要求教師不僅要有深厚的專業(yè)素養(yǎng)，還需要了解STEM教育的相關(guān)學(xué)習(xí)理論、教學(xué)理論、課程理論等，改變之前“填鴨式”的教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性.

由于施教對象為普通高中學(xué)生，學(xué)生能力差異較大，也因為概念生成的重要性，為了盡可能讓每一位學(xué)生都有發(fā)揮的空間，都有自己的收獲，本節(jié)課完成了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用.

3.2通過STEM課程實施，讓學(xué)生多“動”多“思”，促核心素養(yǎng)落地生根

本節(jié)課對于橢圓概念的形成，讓學(xué)生動眼觀察，動手操作，動腦思考，動筆計算，體驗從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動過程，深入理解數(shù)學(xué)概念的形成.通過抽象概括，掌握其中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，養(yǎng)成思考問題的一般習(xí)慣，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，讓學(xué)生獨立動腦尋求最佳算法，給予充足的時間動筆運算化簡，逐步培養(yǎng)學(xué)生獨立的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的能力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡潔美和對稱美.

3.3以STEM教育應(yīng)用效果為導(dǎo)向，促教學(xué)反饋和評價更及時有效

STEM教育應(yīng)該注意學(xué)生能否高效地學(xué)到知識或技能，避免浮于活動表面.在本節(jié)課中，為了檢驗教學(xué)成效，我們通過學(xué)生個人展示或小組匯報的形式來了解學(xué)生知識掌握的情況，并且經(jīng)常跟學(xué)生互動解釋相關(guān)問題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情況能及時進行反饋.

3.4課后補償提升，STEM課程延續(xù)

為了激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲，課后作業(yè)選擇了一些具有挑戰(zhàn)性的問題：橢圓規(guī)的制作和原理說明.一方面給課堂內(nèi)容掌握不足的學(xué)生在課下進行補償，另一方面也給學(xué)有余力的學(xué)生予以鞏固和提升，進一步延續(xù)STEM教育課程模式，為橢圓問題的深入學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

3.5反思教學(xué)過程，讓STEM教育和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進一步融合

本節(jié)課，在引入橢圓概念時，以行星運動為背景，交叉融合了物理知識；在探究橢圓的畫法，融入了技術(shù)手段，使用了動態(tài)數(shù)學(xué)軟件geogebra；在歸納橢圓的定義時，設(shè)計了動手操作活動，聚焦于學(xué)生對實驗過程的觀察和理解；在推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程時，放手給學(xué)生自主計算，讓學(xué)生真正體驗知識的形成過程.

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基金項目：南京市教研室第十三期教學(xué)研究重點課題《STEM教育視野下高中生深度學(xué)習(xí)型課程的開發(fā)與應(yīng)用研究》（編號：2019NJJK13—Z19）.