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摘要：新高考試題發(fā)生了很大的變化，數學教學也跟著發(fā)生變化.新高考更注重對學生素養(yǎng)的考查，引導學生抓住關鍵因素，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質、關鍵和規(guī)律.本文以2022年高考三角函數問題為例，探討如何培養(yǎng)學生數學運算求解能力、數學推理論證能力和數據分析能力.

關鍵詞：新高考；三角函數；課堂教學

2022年全國高考數學一卷解答題第18題三角函數試題滲透了新課程的理念.很多學生覺得該題很難，其實這題考查了學生對三角函數基礎知識和技能的掌握，著重考查學生的思維能力和數學素養(yǎng)，指引著我們正確的教學導向，若學生掌握這些知識并擁有這些能力，便能迎刃而解.

1真題展示

設△ABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1） 若C=2π3，求B;

（2） 求a2+b2c2的最小值.

試題表述簡潔明了，有兩道小題，由淺入深.試題主要考查了三角函數中的二倍角公式、誘導公式、兩角和與差公式，簡單的三角恒等變換、同角三角函數關系、正弦定理、余弦定理重要的基礎知識.此外考查學生對三角基本概念和公式的靈活運用，考查學生的運算、轉化與化歸、逆向思維等能力.

對于第（1）題，由于式子比較容易變形，學生比較容易做出來.方法1：先用二倍角公式化簡cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B，因為B∈0，π3，易得sinB=cos（A+B）=-cosC=12，即可得出角B=π6.方法2：先對角相乘cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA，移項可得cosA-sin2B+cos（A+2B）=0，因為已知的是角C，要求的是角A，所以顯然是把角A用角B、C來表示，得出-cos（B+C）-sin2B+cos（π-C+B）=0，然后兩角和的余弦公式、二倍角公式、誘導公式化簡得出-2cosB（sinB+cosC）=0，即可得出sinB=-cosC.

2障礙分析

障礙一：學生看到a2+b2，就很容易聯(lián)想到余弦定理a2+b2=c2+2abcosC，得a2+b2c2=1+2abcosCc2，然后邊化角得1-2sinAsin2Bsin2C，但無法繼續(xù)做下去.因為題目沒有直接揭示A、B、C間的關系，由第一題得出的sinB=-cosC這個重要結論可知角B和C的關系，這個是本題的突破口.

障礙二：運用正弦定理邊化角a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C，要想往下做也是和障礙一一樣找A、B、C間的關系.

障礙三：學生想到第一題結論的運用，把sinB=-cosC平方得cos2C=sin2B=1-cos2B，聯(lián)想到余弦定理a2+b2-c22ab2+a2+c2-b22ac2=1，運算量很大，不易解出來.

3障礙解除

障礙一和障礙二化簡后的式子相當于有三個變量，要求函數的最小值就是要去消元，即去找角A、B、C間的關系.而如何去找呢？需要抓住第一題得出sinB=-cosC的這個結論.在三角形中sinB=-cosC=sinC-π2，這里得出角C是鈍角，所以角B、C-π2都屬于0，π2，又因為y=sinx在0，π2上是單調遞增的，所以得出B=C-π2，這是本題的突破口.

在三角形ABC中，有一些很重要的結論：若A+B=π2，則有cosA=sinB；反之若sinB=cosA，則有A+B=π2.利用逆向思維，由sinB=-cosC可以得出一些結論？由于sinB=-cosC=cos（π-C），因為是在三角形中，可以得到B+π-C=π2，所以得到C=π2+B.此時找到了角A、B、C間的關系，第二題就迎刃而解.

障礙一解法：因為B=C-π2，這里把角A、B都用角C表示，盡量使分母簡潔A=π-B-C=3π2-2C，所以a2+b2c2=1+2abcosCc2=1-2sinAsin2Bsin2C=1+2sin3π2-2CsinC-π2cosCsin2C=1+2cos2Ccos2Csin2C=1+2（1-2sin2C）（1-sin2C）sin2C=-5+2sin2C+4sin2C≥-5+42，當且僅當2sin2C=4sin2C，即當sin2C=22取到最小值.

障礙二解法：因為B=C-π2，這里把角A、B都用角C表示，盡量使分母簡潔.a2+b2C2=sin2A+sin2Bsin2C=sin23π2-2C+sin2C-π2sin2C，最后化簡和上面的解法一樣.當然，這里只要消元用角B、C表示也可以.

4教學啟示

高考數學從江蘇卷到全國卷，三角函數這個知識點考查有重大的變化，以前江蘇卷的三角函數題基本上放在解答題的第一題或者第二題的位置，學生很快能做出來，大部分可以得滿分，或者因為解題規(guī)范扣很少的分數.現(xiàn)在，全國卷將試題放在解答題位置的第二題，與江蘇卷相比難度有所提升，學生得分明顯下降.三角函數一直是高考卷的得分重頭，我們老師可以在以下幾個方面幫助學生學好三角函數.

4.1立足課本內容，夯實基礎知識

三角是高考考查的重點.三角函數這一章中出現(xiàn)大量的三角公式，這是該章的基本知識點，也是高考考查的重點，這些公式有緊密的聯(lián)系.和差角公式具有一般的意義，誘導公式、倍角公式等都可以看作它的特例.學習時要充分利用這種聯(lián)系，避免對公式的死記硬背.這類題目不難，主要考查學生對三角基礎知識、基本技能的掌握程度.只有讓學生熟練掌握三角公式和對公式的轉化，形成牢固的知識根基，才能使學生思維能力和解題能力有進一步的提升.

例1（數學必修第二冊第48頁）在△ABC中，已知cosA=45，B=π3，b=3，求ac.

思路分析1：已知兩角和一邊，求另外兩邊，有的同學想到用兩次余弦定理：cosA=b2+c2-a22bc=3+c2-a223c=45，cosB=a2+c2-b22ac=12，進行聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)方程組不容易解出來.

思路分析2：看到b和B即對角和對邊，想到用正弦定理asinA=bsinB，得出a=65是關鍵點，接下來已知兩角和兩角對應的邊，要把另外一邊求出來，學生繼續(xù)想到用正弦定理，需要把sinC求出.根據三角形內角和C=23π-A，所以sinC=sin23π-A，求出sinC=43+310，再由正弦定理csinC=bsinB，得出c=43+35.

思路分析3：由正弦定理得出a=65，學生利用余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，都可以化成關于c的一元二次方程25c2-403c+39=0，從而求出c.

素養(yǎng)回顧：本題是數學必修第二冊第48頁上的一道題，考查了解三角形中正余弦定理的靈活運用和兩角差的正弦公式.在解三角形中，已知兩邊和它們的夾角或者已知三邊，利用余弦定理較為方便.已知兩角和任一邊或者兩邊和其中一邊的對角，則利用正弦定理較為合適.這題思路3較為簡潔.高考中解三角形經常與三角函數的公式結合在一起進行考查，這就要求學生牢固掌握每個知識，靈活運用并選擇最合適的方法進行求解.引導學生在解題過程中如何選擇公式，如何根據條件進行變形，提高學生的推理能力和數學運算能力.

4.2把握高考方向，培養(yǎng)學生運算能力

三角函數這一章要求學生能夠了解同角三角函數的關系式、誘導公式、和差角公式、二倍角公式等運算特點，正確進行運算；能夠根據式中角和函數名的特征，選擇運算方法，設計運算程序，進行合理的三角恒等變換來解決問題.

例2已知cosα+π4=35，π2≤α≤3π2，求cos2α+π4的值.

思路1：看到兩角和的余弦，想到展開得cosα-sinα=325，然后平方得1-2sinαcosα=1825，即sin2α=725.有的同學做到這感覺已經快做出來了，用同角三角函數平方和關系把sin2α求出來就行了，發(fā)現(xiàn)這里π2≤α≤3π2，則π≤2α≤3π，由這個范圍正負沒辦法確定，還要回過去計算并縮小α的范圍.因為π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，又因為cosα+π4＞0，所以角α+π4可以縮小到3π2≤α+π4≤7π4，進一步將角α縮小到5π4≤α≤3π2，即5π2≤2α≤3π，角2α在第二象限，所以cos2α取負的，問題就迎刃而解了.

思路2：看到求cos2α+π4的值，用兩角和的余弦展開，則只要求sin2α、cos2α即可.要產生二倍角則需要對已知條件用二倍角公式，即cos2α+π2=2cos2α+π4-1=-sin2α=-725，然后求cos2α，和思路1步驟一樣.

思路3：求cos2α，也可以把cosα求出來，通過角的變換cosα=cosα+π4-π4=22cosα+π4+sinα+π4，sinα+π4由同角三角函數求出，但是正負號也要通過前文中縮小角的范圍的分析來判斷.

思路4：這里的cos2α還可以通過sin2α+π2=2sinα+π4cosα+π4進行求解.

素養(yǎng)回顧：三角函數公式較多，所以一道題有很多條思路，但是不管是先對條件展開還是由求二倍角，或者從結論展開，知道要從條件得出結論，都要進行計算.這里要求學生熟練運用兩角和差公式、二倍角公式、同角三角函數關系式、誘導公式來進行計算，同時還要注重角的范圍的計算來決定正負.所以我們要進行有效的三角訓練，提高正確率，培養(yǎng)學生的運算素養(yǎng)能力.

4.3重視思考過程

三角高考題要求學生靈活運用三角公式，主動思考，找問題的突破口.西方一位教育家曾說過：“教學，重要的是傾聽學生的想法；學習，重要的是說出自己的思路.”這就說明學習數學注重學生的深度思考過程.數學的學習不只是聽老師傳授，也不是進行題海戰(zhàn)術，而是重在學習數學的思維方法，提升思維能力.學生用數學思維去分析問題和解決問題，通過對問題的研究與思考，提高學生的數學能力和素養(yǎng).

4.4注重知識整合

高考數學命題確實是“以能力立意”，命題者經過深思熟慮的研究所得，經常在知識交匯處設計命題.而這些綜合性的問題，就是源于課本的基本知識和基本問題.學生越注重對知識的整合，認識結構越完善，數學學習的效果就越好.三角的公式比較多，教師在教學中以問題或題目導入，引導學生由淺入深，由點到面找這些公式間的聯(lián)系，構建數學知識體系框架，完善數學認知結構.解題中尋找知識內部聯(lián)系，把握問題的本質，從而探索到解決問題的高效方法.新課程標準強調知識的發(fā)生、發(fā)展過程，這個就是尋找知識間邏輯聯(lián)系和把握知識本質的過程.現(xiàn)在高考更加強調考查知識的綜合性，對同一層面的知識、方法、技能，能夠融會貫通，形成完整的知識體系；對不同層面的知識、方法、技能，能夠緊密聯(lián)系，找到內在的邏輯聯(lián)系.

參考文獻：

［1］ 王思儉.怎樣學會數學思考［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

［2］ 王思儉.高考數學試題從哪兒來［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2018.

［3］ 教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2019.