劉常彪，何慶光，王新軍

（廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 中國-東盟統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南寧 530007）

0 引言

帶有不可觀測個體效應(yīng)（個體異質(zhì)性）的面板數(shù)據(jù)離散選擇模型在營銷學(xué)、勞動者就業(yè)選擇、出行方式選擇等社會學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在這些領(lǐng)域的應(yīng)用研究中發(fā)現(xiàn)，個體在做出選擇決策時(shí)除了受個體效應(yīng)的影響外，還會受到不可觀測的時(shí)間效應(yīng)（時(shí)間脈沖）的影響。在面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值選擇模型中考慮不可觀測的個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)，可以使得模型更加靈活。在營銷學(xué)的研究中，通常要考慮廣告或優(yōu)惠券的時(shí)效性、競爭商品價(jià)格隨時(shí)間的變化，以及經(jīng)濟(jì)前景或天氣隨時(shí)間的變動,將這些影響因素稱為時(shí)間脈沖或不可觀測的時(shí)間效應(yīng)。例如，公司在時(shí)變的市場條件下采用新技術(shù)，失業(yè)者隨時(shí)間變化在外來勞動力市場沖擊下找到工作等[1,2]。Chintagunta等（2005）[3]證明了在研究個體品牌選擇時(shí)忽略時(shí)間效應(yīng)會導(dǎo)致平均價(jià)格參數(shù)的估計(jì)是有偏的，同時(shí)夸大了個體之間對價(jià)格敏感參數(shù)異質(zhì)性分布方差的估計(jì)，這將會影響管理層對定價(jià)和促銷策略的決定。關(guān)于帶有個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的雙因素面板數(shù)據(jù)模型的研究非常豐富，如，Hahn和Noon（2006）[4]研究了雙因素面板數(shù)據(jù)AR（1）模型參數(shù)估計(jì)的偏差修正問 題；Kuksov 和Villas Boas（2008）[5]、Andrews 和Currim（2009）[6]、Draganska 和Klapper（2011）[7]使用雙因素隨機(jī)效應(yīng)多項(xiàng)logit 選擇模型來研究營銷學(xué)中的品牌選擇問題。最近，越來越多的文獻(xiàn)使用雙因素效應(yīng)的線性回歸模型來處理考慮個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的問題[8—12]。

對于帶有不可觀測個體效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值模型,當(dāng)個體維數(shù)較大、時(shí)間序列維數(shù)固定時(shí)，估計(jì)模型參數(shù)時(shí)會出現(xiàn)伴隨參數(shù)問題，從而導(dǎo)致模型參數(shù)估計(jì)量不一致。Honore 和Kyriazidou（2000）[13]提出了用條件似然方法估計(jì)動態(tài)二值logit 模型參數(shù)；Bartolucci 和Nigro（2012）[14]、Bartolucci 等（2016）[15]分別提出了用擬條件似然方法和修正輪廓似然方法估計(jì)動態(tài)二值logit模型；Kitazawa（2022）[16]通過構(gòu)造有效的矩條件提出一種方法估計(jì)動態(tài)logit模型；Gao 等（2017）[17]提出了一種方法消除個體效應(yīng)，用來估計(jì)動態(tài)二值probit模型參數(shù)。盡管研究者們對帶有個體效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值選擇模型的參數(shù)估計(jì)和應(yīng)用有了相當(dāng)深入的研究，但對帶有時(shí)間效應(yīng)和個體效應(yīng)的雙因素面板二值選擇logit 模型參數(shù)估計(jì)問題的研究還很少涉及。僅有Thomas（2006）[18]研究了帶有個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的雙因素靜態(tài)二值選擇模型的參數(shù)估計(jì)問題，提出了用雙重條件最大似然估計(jì)方法估計(jì)雙因素靜態(tài)二值logit 模型及半?yún)?shù)方法估計(jì)雙因素靜態(tài)二值選擇模型。

本文提出了一個新的方法來估計(jì)帶有個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的雙因素面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值logit模型，該方法計(jì)算簡單、快捷，不需要像Honore和Kyriazidou（2000）[13]的條件最大似然估計(jì)量那樣構(gòu)造核函數(shù)。同時(shí)，該方法也適用于靜態(tài)二值logit 模型和帶有個體效應(yīng)的動態(tài)二值logit 模型。本文從理論上證明其優(yōu)越性，并通過實(shí)證檢驗(yàn)其應(yīng)用價(jià)值。

1 模型與估計(jì)

1.1 雙因素動態(tài)二值logit模型

考慮帶有個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)的雙因素動態(tài)二值logit模型：

其中，I(·)是示性函數(shù)；yit是可觀測的因變量，如果潛變量y*it＞0，則yit=1，否則yit=0；αi表示不可觀測的第i個個體效應(yīng)；ξt表示t時(shí)刻固定的時(shí)間效應(yīng)；εit為誤差項(xiàng)；個體i和時(shí)間t相互獨(dú)立，服從標(biāo)準(zhǔn)的logistic 分布；xit=(xi1，…，xiK)′是K×1 的協(xié)變量，協(xié)變量xit關(guān)于誤差項(xiàng)εit是嚴(yán)格外生的；β是K×1 的偏好參數(shù)；γ是動態(tài)參數(shù)。本文的目的是在面板數(shù)據(jù)周期T固定的條件下估計(jì)模型結(jié)構(gòu)參數(shù)θ=(β′，γ，ξ1，…，ξT)′。

在模型（1）中，考慮面板數(shù)據(jù)二值logit 模型的三種情形：第一，當(dāng)ξt≡0，γ≡0（情形1）時(shí)，模型轉(zhuǎn)化為面板數(shù)據(jù)靜態(tài)二值logit 模型；第二，當(dāng)ξt≡0（情形2）時(shí)，模型轉(zhuǎn)化為帶有個體效應(yīng)的面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值logit 模型；第三，考慮帶有個體效應(yīng)和時(shí)間效應(yīng)（情形3）的雙因素面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值logit模型。

1.2 周期T=2 時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)

不失一般性，先考慮T=2 時(shí)的模型參數(shù)估計(jì)問題。當(dāng)T=2 時(shí)，模型（1）簡化為如下形式：

在模型（2）中，為了得到模型參數(shù)θ=(β′，γ，ξ1，…ξ2)′的一致估計(jì)量，需要消除個體效應(yīng)αi，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：設(shè)個體效應(yīng)αi為隨機(jī)的，與誤差項(xiàng)εit（t=1，2）相互獨(dú)立，且α1，…，αN之間獨(dú)立同分布，其密度函數(shù)具有如下形式：

其中，g(·)是概率密度函數(shù)，其均值為0、方差為1；μα和σα是相應(yīng)的位置參數(shù)和尺度參數(shù)。

記logistic 概率分布函數(shù)為L(x)=exp(x)/(1+exp(x))，誤差項(xiàng)εi1、εi2相互獨(dú)立且服從logistic 分布，其個體效應(yīng)αi的密度函數(shù)為f(x)，則yi1，yi2的聯(lián)合分布形式如下：

在某些情形下，個體之間的差異可能比較大，基于這種情形，考慮αi的分布是厚尾的，這意味著它的方差可以足夠大?；谏厦娴姆匠淌剑?dāng)σα充分大時(shí)，給出如下兩個引理。

引理1：在假設(shè)1滿足的條件下，有：

證明：在假設(shè)1成立的條件下，有：

當(dāng)M足夠大時(shí)，對固定的ξ1、ξ2和xi1、xi2，L(-M-可以充分小。當(dāng)M足夠大時(shí)，積 分和∫t＜-M L(-t-ξ1-x′i1β)L(t+ξ2+x′i2β)dt也可以足夠小。當(dāng)σα足夠大時(shí)，積分可以足夠小。

因此，有：

引理1成立。

引理2：在假設(shè)1和引理1成立的條件下，有：

其中，G(x)=x/(ex-1)。在假設(shè)1成立的條件下，結(jié)合引理1，通過簡單的計(jì)算可以得到上面的等式。

在假設(shè)1滿足的條件下，應(yīng)用引理2，可以得到如下條件概率：

基于式（4），模型參數(shù)θ的條件似然函數(shù)定義如下：

最大化上面的條件似然函數(shù)可以得到模型參數(shù)θ的估計(jì)量，即：

使用Newton-Raphson 迭代算法求解目標(biāo)函數(shù)，可以得到參數(shù)的估計(jì)量。本文得出的估計(jì)量具有通常的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：一致性和漸近正態(tài)性。下面的定理指出了模型參數(shù)估計(jì)量滿足一致性和漸近正態(tài)性。

定理1：在假設(shè)1 滿足且g(x) 可導(dǎo)的條件下，如果a＞0，則有：

（1）一致性：模型參數(shù)估計(jì)量一致收斂到真實(shí)參數(shù)θ，即當(dāng)N→∞時(shí)，^→pθ。

（2）漸近正態(tài)性：模型參數(shù)估計(jì)量θ^ 滿足漸近正態(tài)性，即kn(-θ)→LN(0，c∑-1，其中：

在定理1 中，→L表示依分布收斂，→p表示依概率收斂,在假設(shè)1 成立的條件下，推廣Gao 等（2017）[17]論文中的定理1，可以得到該定理的證明。接下來，將提出的條件似然估計(jì)方法推廣到T≥2 的情形下。

1.3 周期T ≥2 時(shí)模型的參數(shù)估計(jì)

記事件As={(yi1，…，yiT):yi1+…+yiT=s}，其中，s=0，1，…，T。定義條件選擇概率函數(shù)如下：當(dāng)s=0 時(shí)，有p(yi1，…，yiT|A0，xi1，…，xiT，θ}≡1；當(dāng)s=T，有p(yi1，…，yiT|AT，xi1，…，xiT，θ}≡1。這意味著yit（t=1，…，T）取值全部為0 或1 時(shí)，不能為估計(jì)量提供有效的信息。當(dāng)s=1，…，T-1時(shí),有：

其中，ms為滿足下面方程式的歸一化常數(shù)：

利用引理2，經(jīng)過簡單的計(jì)算，可以得到如下的條件概率：

基于上式中的條件概率，最大化下面的條件似然函數(shù)得到模型參數(shù)θ的估計(jì)量：

使用Newton-Raphson迭代算法求解目標(biāo)函數(shù)。

2 模擬研究

進(jìn)行數(shù)值模擬研究旨在說明本文提出的估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)。在模擬研究中考慮了三種不同的模型：（1）帶有個體效應(yīng)的靜態(tài)二值logit模型，也就是ξt≡0，γ≡0；（2）帶有個體效應(yīng)的動態(tài)二值logit模型，也就是ξt≡0；（3）雙因素動態(tài)二值logit模型。為了保持模擬框架的簡潔性，在所有的模擬研究中假設(shè)協(xié)變量xit是一維的，每次模擬實(shí)驗(yàn)重復(fù)了500次，樣本數(shù)量N≡200，500，1000，2000。

（1）先考慮T=2 時(shí)的靜態(tài)二值logit模型，即yit=I{αi++εit＞0}，t=1，2。對不同的模型參數(shù)β=-0.5，0，0.5，將本文的估計(jì)量和Chamberlain（1980）[19]的條件最大似然估計(jì)量對比，結(jié)果顯示在表1中。從表1中可以發(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量N的增加，對不同的模型參數(shù)β，本文的估計(jì)量的偏差（Bais）和均方根誤差（RMSE）都逐漸減小，對于較大的N，估計(jì)量的Bais接近于0，從模擬角度說明本文估計(jì)量一致收斂到真實(shí)的模型參數(shù)，模擬結(jié)果驗(yàn)證了定理1中一致性結(jié)論是成立的。根據(jù)模型參數(shù)估計(jì)量的Bais和RMSE發(fā)現(xiàn)，本文估計(jì)方法和條件最大似然估計(jì)方法的效果幾乎是一樣的。作為雙因素動態(tài)二值logit模型參數(shù)估計(jì)方法的附屬產(chǎn)品，可以認(rèn)為本文的估計(jì)方法同樣適用于靜態(tài)logit模型，且該方法和條件最大似然估計(jì)方法相比同樣有效。

表1 靜態(tài)logit模型中，本文估計(jì)量 和條件最大似然估計(jì)量進(jìn)行對比

表1 靜態(tài)logit模型中，本文估計(jì)量 和條件最大似然估計(jì)量進(jìn)行對比

注：T=2，重復(fù)500次，αi，xi1，xi2～N(0，π2/3)。

β N-0.5 0 0.5 RMSE(β^C)0.113 0.080 0.045 0.034 0.078 0.052 0.035 0.023 0.149 0.075 0.059 0.045 200 500 1000 2000 200 500 1000 2000 200 500 1000 2000 Bias(β^L)0.011 0.015 0.008 0.001 0.005 0.005 0.003 0.002 0.028 0.014 0.009 0.001 RMSE(β^L)0.118 0.079 0.049 0.038 0.100 0.051 0.044 0.022 0.150 0.090 0.048 0.039 Bias(β^C)0.009 0.014 0.003 0.001 0.006 0.003 0.003 0.001 0.028 0.012 0.008 0.001

（2）考慮帶有個體效應(yīng)的動態(tài)二值logit 模型，即yit=I將本文的估計(jì)方法和Honore 和Kyriazidou（2000）[13]的估計(jì)方法進(jìn)行對比，結(jié)果見下頁表2?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)T≤3 時(shí)，Honore 和Kyriazidou（2000）[13]的估計(jì)方法是無效的，因此，考慮T=4，將本文的估計(jì)方法和他們的方法進(jìn)行模擬對比。在模擬設(shè)置中盡可能遵循Honore 和Kyriazidou（2000）[13]的 設(shè) 置，假 設(shè) 模 型 參 數(shù)β=1，γ=0.5，協(xié)變量xit（t=1，2，3，4）相互獨(dú)立且服從N(0，π2/3)，個體效應(yīng)模擬結(jié)果顯示在表2 中。表2顯示，本文的估計(jì)量有著更小的偏差和均方根誤差，如：當(dāng)樣本容量N=200 時(shí)，本文的估計(jì)量與真實(shí)值的偏差為0.018，均方根誤差為0.101，相應(yīng)的Honore 和Kyriazidou（2000）[13]的估計(jì)量的偏差為0.128，均方根誤差為0.303。從估計(jì)量的偏差和均方根誤差來看，顯然本文的估計(jì)方法具有明顯的優(yōu)勢。

表2 動態(tài)logit模型中，本文估計(jì)量、 和文獻(xiàn)[3]的估計(jì)量,進(jìn)行對比

表2 動態(tài)logit模型中，本文估計(jì)量、 和文獻(xiàn)[3]的估計(jì)量,進(jìn)行對比

N 200 500 1000 2000 Bias(β^L)0.018 0.009 0.005 0.003 RMSE(β^L)0.101 0.070 0.045 0.029 Bias(β^H)0.128 0.080 0.059 0.051 RMSE(β^H)0.303 0.201 0.130 0.095 RMSE(γ^ H)0.570 0.401 0.260 0.201注：T=4，重復(fù)500次，β=1，γ=0.5，xit～N(0，π2/3),αi=(∑t4= 1xit)/4。Bias(γ^ L)0.018 0.020 0.012 0.005 RMSE(γ^ L)0.281 0.179 0.130 0.088 Bias(γ^ H)0.060 0.071 0.064 0.085

（3）考慮雙因素動態(tài)二值logit 模型，即yit=I{αi+ξt++γyit-1+εit＞0}。不失一般性，在模擬設(shè)置中，將ξ1=0作為對照，周期T=3，模型參數(shù)β=1，γ=0.5，ξ2=0.4，ξ3= 0.2 ，協(xié) 變 量xit(t=1，2，3) 相 互 獨(dú) 立 且 服 從N(0，π2/3)，針對個體效應(yīng)不同分布來檢驗(yàn)本文估計(jì)量的有效性，模擬結(jié)果顯示在表3 中。與預(yù)期一致，對個體效應(yīng)的不同分布，估計(jì)量的偏差隨著樣本容量的增加逐漸趨近于0，均方根誤差也逐漸減小，模擬結(jié)果顯示本文的估計(jì)方法對雙因素動態(tài)二值logit模型也是有效的。

表3 雙因素動態(tài)二值logit模型中，對αi 的不同分布模擬本文估計(jì)量

3 實(shí)證分析

通過實(shí)證分析來檢驗(yàn)本文所提方法的應(yīng)用價(jià)值。為了在實(shí)證分析中檢驗(yàn)滯后因變量yit-1是否對當(dāng)前因變量yit有著顯著的影響，考慮A.C.Neilsen 收集的洗滌用品購買數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)可以在JAE 數(shù)據(jù)庫中獲得。在實(shí)際分析中，本文選擇了洗滌品牌“Tide”,相對于其他品牌，它的市場占有率為36.13%，具有最高的市場份額。本文考慮了至少連續(xù)三次選擇品牌“Tide”的個體，且保留數(shù)據(jù)的前三個周期用于分析，得到共467個個體的購買數(shù)據(jù)。在分析的數(shù)據(jù)中，三個購買周期的價(jià)格變量相差很小，因此本文忽略了該變量，選擇滯后的因變量作為解釋變量估計(jì)模型參數(shù)。

表4中展示了467個個體在三個周期內(nèi)選擇購買品牌“Tide”洗滌劑的相關(guān)數(shù)據(jù)。yit=1（t=1， 2， 3）表示第t個周期第i個個體購買了“Tide”洗滌劑；yit=0 表示第t個周期個體i沒有購買“Tide”洗滌劑。如果連續(xù)兩個或三個周期內(nèi)都有yit=1 或yit=0，就意味著消費(fèi)者在這些周期內(nèi)全部購買了該品牌或沒有購買該品牌，說明在品牌選擇中消費(fèi)者表現(xiàn)出一定的慣性或持續(xù)性，也就是上次的購買決策影響了個體下一次的購買意愿。從表4中可以看出，連續(xù)三個周期全部購買該品牌或沒購買該品牌的個體數(shù)量占總數(shù)量的73.01%，這說明在消費(fèi)者選擇時(shí)表現(xiàn)出較強(qiáng)的購買慣性。根據(jù)表4中的數(shù)據(jù)，使用本文提出的估計(jì)方法得到模型參數(shù)γ的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為=0.356，=0.198,動態(tài)參數(shù)γ的估計(jì)值為正，顯示模型中滯后因變量yit-1與當(dāng)前因變量yit存在動態(tài)關(guān)系，也表明消費(fèi)者在購買時(shí)表現(xiàn)出一定的持續(xù)性，即前一個周期購買了“Tide”洗滌劑將會增加下一個周期選擇品牌“Tide”的概率。時(shí)間效應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為=0.307,=0.184和=0.171,=0.156，估計(jì)結(jié)果顯示，消費(fèi)者在品牌購買時(shí)受到了時(shí)間脈沖的影響，且隨著時(shí)間的延長，時(shí)間脈沖的影響會逐漸降低。

表4 三個周期的購買數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語

本文研究了雙因素面板數(shù)據(jù)動態(tài)二值logit模型的參數(shù)估計(jì)問題，基于條件似然的思想提出了一種新的估計(jì)方法并給出估計(jì)量的漸近性質(zhì)。提出的估計(jì)方法適用于靜態(tài)二值logit模型、動態(tài)二值logit 模型及雙因素動態(tài)二值logit 模型。模擬仿真結(jié)果表明，在靜態(tài)logit 模型中，本文的估計(jì)方法和Chamberlain（1980）[19]的條件最大似然方法表現(xiàn)一樣好；但在動態(tài)logit模型中，本文的估計(jì)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于Honore 和Kyriazidou（2000）[13]的估計(jì)方法，是一種更有效的估計(jì)量。本文的估計(jì)方法也可以推廣到雙因素面板數(shù)據(jù)動態(tài)probit模型中，而不只是局限于二值logit模型的框架內(nèi)。