顧長留

摘 要：反例教學(xué)在促進知識深化，提升學(xué)生糾錯、防錯能力，培養(yǎng)思維嚴謹性、深刻性等方面發(fā)揮著不可替代的作用.在教學(xué)中，教師要從教學(xué)實際出發(fā)，重視整理歸納反例教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生通過對比、辨析、糾錯等活動更好地理解知識，應(yīng)用知識，使學(xué)生的發(fā)散性、逆向性、辯證性思維得到訓(xùn)練和提升，有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).

關(guān)鍵詞：反例教學(xué)；深化；教學(xué)品質(zhì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常會遇到這樣的情況，有些知識若從正面去講解不利于學(xué)生理解和接受，有些題目從正面思考很難找到解題的突破口，此時教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生從反向出發(fā)，借助反例的作用來化解困惑，優(yōu)化認知.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從教學(xué)實際出發(fā)，適當(dāng)?shù)剡x擇一些反例讓學(xué)生去辨析、去探索，充分發(fā)揮反例特有的魅力來吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生從正反兩方面去鞏固所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)作風(fēng)^［1］.另外，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用反例可以增加課堂的趣味性，有效避免重復(fù)講授的所帶來的枯燥感，提升教學(xué)有效性.那么反例具有怎樣的現(xiàn)實意義，應(yīng)如何實施呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，談了幾點粗淺認識，供參考.

1 反例在教學(xué)中的意義

1.1 利用反例有利于促進概念掌握

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性和概括性.對于初中生來講，雖然他們具有一定的分析概括能力，但是從現(xiàn)有的認知水平來看，大多學(xué)生很難認清知識的本質(zhì)特征，因此學(xué)生對概念的理解可能是比較淺層的，有時候難免會出現(xiàn)混淆和錯誤.為了幫助學(xué)生深化概念的理解，在概念教學(xué)中不妨引入一些反例，引導(dǎo)學(xué)生進行對比、辨析，幫助學(xué)生認清概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生清晰、深刻、準確地理解概念，有效避免混淆和錯誤，提高概念教學(xué)有效性^［2］.

例如，在學(xué)習(xí)平行線的定義時，部分學(xué)生容易忽略“在同一平面內(nèi)”這一限定條件.若在教學(xué)中僅僅讓學(xué)生反復(fù)背，學(xué)生還是很難理解“在同一平面內(nèi)”的意義，因此在教學(xué)中教師不妨從反向出發(fā)，借助一些生活實例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)若兩條線不在同一平面內(nèi)，它們雖不相交，但也不平行，如長方體上底面的短邊和下底面的長邊.以此借助圖形的直觀強化學(xué)生對平行線定義的準確理解，這樣既能培養(yǎng)思維的嚴謹性，又為后期立體幾何的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

又如，在概念教學(xué)中，學(xué)生常常會為概念添加一些關(guān)鍵詞，從而使概念出現(xiàn)錯誤.如學(xué)習(xí)了“點到直線的距離”后，學(xué)生將“點到直線的線段中，垂線段最短”這一知識點硬性地嫁接在“點到點的距離上”，認為“兩點之間垂線段最短”，要知道垂線段是相對點與線、線與線、點與面、線與面之間的，兩點之間根本沒有垂足，又何來垂線段呢？可見學(xué)生因為對概念的理解模糊而出現(xiàn)了錯誤，為此在教學(xué)“點到直線的距離”時，教師應(yīng)多列舉一些實例，強化學(xué)生對垂線、垂線段、垂線的長、垂線段的長等相關(guān)概念的理解，并引入一些反例，以此增強學(xué)生對概念本質(zhì)的重要性的認知，培養(yǎng)思維的深刻性、嚴謹性.

1.2 利用反例有利于提升糾錯能力

眾所周知，錯誤在學(xué)習(xí)中是不可避免的，這樣糾錯自然也就成為了數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán).糾錯的方式是多種多樣的，反例就是一個有效的教學(xué)手段.在教學(xué)中，教師可以總結(jié)歸納一些典型性錯誤，引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)歷自我糾錯、生生糾錯、教師糾錯等過程進一步理解知識、積累經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例如，在“因式分解的復(fù)習(xí)課”教學(xué)中，課前教師設(shè)計了一些有針對性的練習(xí)讓學(xué)生獨立完成，教師結(jié)合練習(xí)反饋總結(jié)歸納了一些典型性錯解，并將其摘錄整理成課件的方式進行展示，以便學(xué)生通過對錯誤的再認識，進一步理解知識，促進知識的內(nèi)化.

問題1：把一個多項式化成幾個________的形式，叫做多項式的分解.

問題1所考查的就是基本概念，其正解為整式的積，不過學(xué)生給出的答案可謂是五花八門，如整式、單項式、多項式、多項式與單項式的積，等等，可見學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握不牢，并未理解因式分解的意義.

問題2：下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）.

（A） x（x-1）=x²-x；

（B） 6x²y=6x²·y；

（C） 2x²+4xy-6y=2（x²+2xy-3y）；

（D） x²-4=（x+2）（x-2）.

本題正解為D，部分學(xué)生給出的答案為B.

復(fù)習(xí)課是比較難上的課，若在復(fù)習(xí)中僅僅進行知識的重現(xiàn)，那么復(fù)習(xí)課堂可能就變成了“炒冷飯”，難以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.本課教學(xué)中，為了淡化數(shù)學(xué)概念的抽象感，吸引學(xué)生的注意力，教師以課前練習(xí)中的典型錯誤為切入點，充分利用錯解資源，讓學(xué)生通過對錯解的反思和感悟，深化對概念及方法的理解，為后期的拓展和提升奠定堅實的基礎(chǔ).

1.3 利用反例有利于提高思維品質(zhì)

利用反例有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，有利于培養(yǎng)思維的嚴謹性，深刻性，有利于發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).因此，在實際教學(xué)中，教師要利用好反例，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去概況，培養(yǎng)學(xué)生自我糾錯、自我反思等優(yōu)良品質(zhì)^［3］.

例如，在學(xué)習(xí)了乘法分配律m（a+b）=ma+mb后，部分學(xué)生得到了錯誤的類推：m÷（a+b）=m÷a+m÷b.若在教學(xué)中僅僅告訴學(xué)生沒有除法分配律，然后讓學(xué)生死記硬背，這樣可能妨礙學(xué)生探索新知的熱情，不利于學(xué)生的長遠發(fā)展.在實際教學(xué)中，教師不妨利用錯誤，引導(dǎo)學(xué)生通過反例進行檢驗，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯誤，主動糾錯.

師：在學(xué)習(xí)中，我們的學(xué)生很有想法，根據(jù)乘法分配律m（a+b）=ma+mb，聯(lián)想到了除法分配律m÷（a+b）=m÷a+m÷b.如果想驗證這個公式是否成立，最簡潔、最有效的方法是什么？

生齊聲答：特值法.

師：很好，請大家用特值法驗證一下，以上猜想是否正確呢？（學(xué)生積極驗證）

生1：令m=30，a=2，b=3，30÷（2+3）=30÷5=6，30÷2+30÷3=15+10=25，所以30÷（2+3）≠30÷2+30÷3.

師：非常好，通過反例驗證我們知道了什么？

生齊聲答：除法沒有分配律.

師：很好！請大家思考這樣一個問題：若將30塊糖平均分到5個盤子里與30塊糖平均分到3個盤子里及30塊糖平均分到2個盤子里有什么關(guān)系呢？

生2：盤子越少，每個盤子分得的糖塊也就越多.

分析到此，學(xué)生恍然大悟，徹底消除了“想當(dāng)然”的錯誤，促進了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升和思維能力的發(fā)展.其實在學(xué)習(xí)中以上現(xiàn)象有很多，若從正面去驗證需要花費很多時間，而且不利于理解，而通過反例可以打破這一困境，大大提升糾錯效率.

2 教學(xué)中應(yīng)用反例的策略

反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有無法比擬的優(yōu)勢，那么在教學(xué)中如何應(yīng)用反例呢？

首先，教師要善于捕捉課堂上的或者作業(yè)里的反例，并對反例進行深度剖析，從而通過有針對性的啟發(fā)和引導(dǎo)點燃學(xué)生思維，提升教學(xué)有效性.同時，教師要利用好學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一些反例，讓學(xué)生知道這些錯誤是真實存在的，并非教師的臆造的，這樣更易于吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生更為全面地、深刻地理解知識.

其次，在教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生自己去尋找學(xué)習(xí)中的反例，以此來活躍學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生承認課堂的主人.例如，在學(xué)習(xí)方程的概念后，學(xué)生在自己舉例時難免會給出一些形如“8+3x”，“18-6=12”的反例，教師可以展示學(xué)生成果，讓學(xué)生進行自主辨析，自主糾錯，以此深化對概念的理解，調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性.

再次，教師要根據(jù)具體內(nèi)容給出一些反例，讓學(xué)生進行改錯練習(xí)，有效避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)類似的錯誤.例如，在教學(xué)中教師可以給出一些假命題，讓學(xué)生通過尋找反例加以說明，以此消除在學(xué)習(xí)中可能產(chǎn)生的錯誤認識.如對于“互補的角是鄰補角”這一假命題，可以利用正方形或同旁內(nèi)角等反例加以解釋.

總之，在反例教學(xué)中教師要認真研究教材，認真研究學(xué)生，認真引導(dǎo)學(xué)生進行正例、反例對比，讓學(xué)生知道錯在哪里，產(chǎn)生錯誤的原因，規(guī)避錯誤的方法，以此幫助學(xué)生積累經(jīng)驗，建構(gòu)良好的知識體系，提升教學(xué)品質(zhì).

參考文獻：

［1］ 張海燕.巧用反例益處多——探討初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的有效運用［J］.中國教師，2020（S1）：119.

［2］ 萬亮兵.反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效性探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（6）：143-145.

［3］ 李如俞.探析反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.學(xué)周刊，2022（26）：61-63.