石先杰 左朋

摘要 應(yīng)用譜幾何法研究了熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼自由振動和瞬態(tài)振動特性。采用邊界彈簧技術(shù)模擬圓柱殼結(jié)構(gòu)的任意經(jīng)典或者彈性邊界約束條件，并結(jié)合一階剪切變形理論建立了考慮溫度場作用的功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)能量泛函。采用譜幾何法與周向傅里葉諧波函數(shù)乘積和的形式描述圓柱殼的位移容許函數(shù)，以克服不同邊界條件下殼體位移函數(shù)微分在邊界上存在的不連續(xù)問題。在此基礎(chǔ)上，將位移容許函數(shù)代入至結(jié)構(gòu)能量泛函，并采用Ritz法獲得結(jié)構(gòu)振動分析模型。數(shù)值分析結(jié)果表明，所構(gòu)建分析模型能夠快速準(zhǔn)確預(yù)測功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動特性。研究了冪律指數(shù)、溫度、載荷等參數(shù)對功能梯度圓柱殼振動特性的影響規(guī)律，為其他數(shù)值分析方法研究提供參考。

關(guān)鍵詞 自由振動; 功能梯度圓柱殼; 熱環(huán)境; 譜幾何法; 瞬態(tài)響應(yīng)

引 言

功能梯度圓柱殼是一種材料特性沿一個或多個方向呈現(xiàn)連續(xù)梯度變化的多功能復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，這類結(jié)構(gòu)通常由兩種或者多種材料復(fù)合而成。自20世紀(jì)80年代功能梯度材料概念被提出以來，國內(nèi)外專家學(xué)者對功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性進(jìn)行了廣泛的研究，提出了一系列的分析方法，如波動法［1?2］、改進(jìn)傅里葉級數(shù)法［3?6］、廣義微分求積法［7］、冪級數(shù)法［8］、瑞利?里茲法［9?13］以及辛方法［14?15］等。

功能梯度材料的主要優(yōu)點(diǎn)是具有良好的高溫?zé)岢休d能力，由其制成的圓柱殼結(jié)構(gòu)通常被應(yīng)用于服役條件惡劣的工程領(lǐng)域，例如航天飛行器艙體、熱交換器管、聚變反應(yīng)堆等離子體表面和發(fā)動機(jī)部件等。國內(nèi)外專家學(xué)者對熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性開展了研究工作?？紤]到材料特性與溫度環(huán)境的相關(guān)性，Haddadpour等［16］使用伽遼金方法求解了簡支功能梯度圓柱殼自由振動特性。Malekzadeh等［17?18］采用微分求積法研究了熱環(huán)境下旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動問題。Zhang等［19］采用高階剪切變形理論對功能梯度磁電熱彈性圓柱殼進(jìn)行了屈曲和振動特性分析。Li等［20］利用特征正交多項(xiàng)式來求解功能梯度階梯圓柱殼的熱振特性。

綜上所述，熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼振動特性研究已取得了一定成果，但大部分研究局限于自由振動，對于熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼的瞬態(tài)振動響應(yīng)特性研究相對匱乏。同時，現(xiàn)有研究工作大多考慮經(jīng)典邊界條件，彈性邊界條件涉及較少。而在實(shí)際工程應(yīng)用中，復(fù)雜邊界約束圓柱殼結(jié)構(gòu)通常會受到各種形式的瞬態(tài)載荷作用，使得結(jié)構(gòu)產(chǎn)生復(fù)雜的振動現(xiàn)象。因此，研究圓柱殼瞬態(tài)振動特性可為其結(jié)構(gòu)設(shè)計和振動控制提供有益的指導(dǎo)。為此，采用譜幾何法［21］和傅里葉諧波函數(shù)來描述圓柱殼結(jié)構(gòu)位移容許函數(shù)，并引入輔助函數(shù)來消除結(jié)構(gòu)邊界處存在的位移容許函數(shù)微分不連續(xù)問題。在此基礎(chǔ)上，基于一階剪切變形理論構(gòu)建了考慮任意邊界約束和熱環(huán)境影響的功能梯度圓柱殼的自由振動和瞬態(tài)振動分析模型，并以文獻(xiàn)解和有限元數(shù)值解為參考來驗(yàn)證所建立預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。此外，還研究了功能梯度參數(shù)、邊界條件以及溫度場等參數(shù)對功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)的影響。

1 理論推導(dǎo)

1.1 結(jié)構(gòu)模型描述

熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。R，L和h分別表示圓柱殼的半徑、長度和厚度；T為溫度值。正交坐標(biāo)系（x，θ，z）位于圓柱殼結(jié)構(gòu)的中面上，x，θ和z分別表示圓柱殼的軸向、周向和徑向方向。殼體在x，θ和z方向上的位移分別用U（x，θ，z，t），V（x，θ，z，t）和W（x，θ，z，t）表示，其中符號t表示時間變量。此外，通過在圓柱殼結(jié)構(gòu)兩端均勻設(shè)置邊界約束彈簧來模擬不同的結(jié)構(gòu)邊界約束條件，符號kbu，kbv和kbw表示約束圓柱殼平移位移的約束彈簧剛度，符號kbx和kbθ表示約束殼體旋轉(zhuǎn)位移的約束彈簧剛度。下標(biāo)“0”和“L”分別代表圓柱殼x=0和x=L的端面。

文中所研究的功能梯度材料在熱環(huán)境中具有溫度依賴性，其材料屬性P（包括彈性模量E、泊松比ν、質(zhì)量密度ρ、熱膨脹系數(shù)α）在溫度T影響下有著如下的關(guān)系［16］：

式中 P0，P?1，P1，P2和P3分別表示材料的溫度相關(guān)系數(shù)。用PI和PO來表示殼體內(nèi)外表面的材料屬性，則其在厚度方向z呈現(xiàn)梯度變化［22］：

式中 p表示材料的冪律指數(shù)。

文中研究了均勻、線性和非線性三種溫度分布。用T0表示參考溫度，則在均勻溫度分布下的溫度變化表達(dá)式為［23］：dT=T?T0，其中T0=300 K。線性和非線性溫度分布表示沿圓柱殼厚度方向溫度是可以變化的，TI和TO分別表示結(jié)構(gòu)的內(nèi)部和外部溫度值，則溫度分布函數(shù)可描述為［22，24］：

式中 κ為熱導(dǎo)率。

1.2 能量方程及求解

功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)位移場分量U=（U，V，W）T可描述為：

式中 u=（u，v）T描述圓柱殼中表面上任意一點(diǎn)沿x和θ方向的平移位移分量；w為沿z方向的平移位移分量；φ=（φx，φθ）T為關(guān)于θ和x方向的旋轉(zhuǎn)位移分量。

根據(jù)一階剪切變形理論假設(shè)，圓柱殼結(jié)構(gòu)應(yīng)變和位移之間的關(guān)系為：

式中 εx，εθ和εxθ為圓柱殼上任意一點(diǎn)的結(jié)構(gòu)膜應(yīng)變；γxz和γθz表示結(jié)構(gòu)橫向剪切應(yīng)變；ε0，χ和γ0分別代表圓柱殼殼體中表面處的膜應(yīng)變向量、曲率變化向量和橫向剪切應(yīng)變向量，它們可以由圓柱殼結(jié)構(gòu)中面處的位移向量得到，參見文獻(xiàn)［20］。

根據(jù)廣義胡克定律，圓柱殼結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系描述為：

式中 σ為正應(yīng)力向量；τ為切應(yīng)力向量；Q5×5表示彈性常數(shù)矩陣，它是溫度值T和厚度坐標(biāo)z的函數(shù)，其詳細(xì)描述可見文獻(xiàn)［20］。

對應(yīng)力在厚度方向進(jìn)行積分，可以得到結(jié)構(gòu)的合力向量N，合力矩向量M以及橫向剪切應(yīng)力向量Ns：

式中 κ?表示剪切修正系數(shù)，在一階剪切變形理論中，其值通常取為5/6。

將式（6）～（8）代入式（9），可以獲得熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的本構(gòu)方程：

式中 D8×8為剛度矩陣，具體表達(dá)式可見文獻(xiàn)［20］。

根據(jù)建立的本構(gòu)關(guān)系和參考文獻(xiàn)［19］，考慮熱環(huán)境影響后功能梯度圓柱殼的應(yīng)變能U?可描述為：

同時，功能梯度圓柱殼的動能表達(dá)式T?可以根據(jù)方程（5）進(jìn)一步表示為：

相應(yīng)地，存儲在圓柱殼兩端均勻布置的邊界約束彈簧中的能量可表示為：

假設(shè)外部激勵荷載作用于圓柱殼的中面，外部激勵載荷對圓柱殼所做的功可以表示為：

式中 外部激勵載荷向量f=（fu，fv，fw，mx，mθ）；fu，fv和fw分別表示沿x，θ和z方向的力分量；mx和mθ分別表示繞x和θ方向的力矩分量。

為了克服不同邊界條件下殼體位移函數(shù)微分在邊界上存在的不連續(xù)問題，文中采用譜幾何法和傅里葉正余弦函數(shù)來表示圓柱殼沿軸向方向和周向方向的位移容許函數(shù)：

式中 q=u，v，w，φx，φθ；λm=mπ/L；m和n分別為軸向和周向的半波數(shù)；Aq，bmn（b=c，s）為位移變量未知展開系數(shù)；Ap，b1ln（b1=c1，s1）為輔助函數(shù)的未知系數(shù)；ω表示固有頻率；sin（λlx）代表在軸向積分域［0，L］內(nèi)足夠光滑的輔助函數(shù)。

綜上所述，熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)的能量泛函可以表示為：

在能量泛函基礎(chǔ)上，結(jié)合圓柱殼結(jié)構(gòu)位移容許函數(shù)進(jìn)行求解，并采用Ritz 法對位移容許函數(shù)未知級數(shù)展開系數(shù)求偏導(dǎo)，可獲得熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼的振動特征方程：

式中 q表示圓柱殼的全局坐標(biāo)向量；KC和KB分別代表結(jié)構(gòu)剛度矩陣和邊界彈簧的剛度矩陣，其中溫度的變化會影響KC；M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；F代表外界激勵力向量矩陣，其中F=0時，式（17）簡化為一個標(biāo)準(zhǔn)的特征值問題，可方便求解獲取自由振動特性（固有頻率及其對應(yīng)的特征向量）。

2 振動求解與分析

在上述構(gòu)建的振動分析模型基礎(chǔ)上，本節(jié)對熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼的振動（包括自由振動和瞬態(tài)振動）問題進(jìn)行分析和討論。以在飛行器上有著廣泛應(yīng)用的功能梯度圓柱殼為例，設(shè)其尺寸為：R=1 m，h=0.1 m，L=5 m。后續(xù)數(shù)值算例分析中，默認(rèn)選擇外表面材料為Si3N4、內(nèi)表面材料為SUS304的功能梯度圓柱殼結(jié)構(gòu)為研究對象，而功能梯度材料屬性的溫度相關(guān)系數(shù)可根據(jù)文獻(xiàn)［24］獲得。文中研究算例包括自由（F）、簡支（SS）、剪切（SD）和固支（C）等經(jīng)典邊界，以及E1，E2，E3，E4，E5和E6等彈性約束邊界，它們均可通過修改相應(yīng)的邊界約束彈簧剛度值來獲得，具體約束彈簧剛度值可參考文獻(xiàn)［3］選取。此外，根據(jù)參考文獻(xiàn)［21］的研究結(jié)果，圓柱殼位移容許函數(shù)在軸向和周向上選取相同的截斷數(shù)M=N=17。

2.1 自由振動分析

表1列出了熱環(huán)境下C?C，C?F和SD?SD功能梯度圓柱殼前8階固有頻率。材料的冪律指數(shù)p=0，圓柱殼的長度為L=4 m，其余參數(shù)與默認(rèn)參數(shù)保持一致。表1列出了dT=0 K，50 K兩種溫度變化條件下的計算結(jié)果，相應(yīng)的文獻(xiàn)解［20］也在表中列出。通過對比可以看出，兩種方法的計算結(jié)果吻合良好，但文中基于譜幾何法所構(gòu)建的位移容許函數(shù)形式簡潔統(tǒng)一，便于參數(shù)化研究。表2給出了具有不同冪律指數(shù)p=0.5，1的熱環(huán)境下C?C，C?F和F?F功能梯度圓柱殼前5階固有頻率。溫度變化dT=50 K，圓柱殼的尺寸與默認(rèn)參數(shù)保持一致。有限元法仿真計算結(jié)果作為參考解也列在表2中。從表2可以看出，文中計算結(jié)果與有限元法求解結(jié)果吻合良好，最大相對偏差不超過2%。計算偏差主要來源于兩者不同的理論框架以及求解算法。綜上所述，文中構(gòu)建的分析模型可以有效、準(zhǔn)確地預(yù)示熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼的自由振動特性。

2.2 瞬態(tài)振動響應(yīng)分析

繼續(xù)研究熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)特性。在數(shù)值分析前，對模型相關(guān)計算參數(shù)進(jìn)行約定：1）文中用矩陣Lx=［l0，l1］和Lq=［fq0，fq1］來分別表示外界激勵力作用的軸向和周向位置，而l0，fq0和l1，fq1分別表示相應(yīng)方向上的起始和結(jié)束位置。后續(xù)計算算例中默認(rèn)的激勵位置為Lx=［1，1］和Lq=［0，0］；2）矩陣f=（fu，fv，fw，mx，mθ）表示力的大小和方向，在后續(xù)瞬態(tài)振動響應(yīng)計算中將其取為f=（0，0，-1，0，0）；3）文中采用（x，θ）來表達(dá)測點(diǎn)的位置，默認(rèn)的測點(diǎn)為（2，0）；4）在瞬態(tài)振動問題研究中，瞬態(tài)振動響應(yīng)計算時間范圍默認(rèn)取為0～0.02 s，外力作用時間為0.01 s。除特別聲明外，下面瞬態(tài)振動響應(yīng)分析算例的參數(shù)均按上述默認(rèn)參數(shù)設(shè)置。

圖2給出了熱環(huán)境下C?C功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動位移響應(yīng)對比情況。圓柱殼的尺寸取為默認(rèn)尺寸參數(shù)，材料的冪律指數(shù)p=0.5，溫度變化dT=0 K?？紤]了半正弦、矩形、三角形和指數(shù)四種脈沖類型，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式見文獻(xiàn)［20］。圖2的對比結(jié)果表明，文中構(gòu)建模型分析獲得的瞬態(tài)振動位移響應(yīng)特性與有限元法計算結(jié)果具有較好的一致性。相較于有限元法，譜幾何法的主要優(yōu)勢為：1）有限元法中通過對結(jié)構(gòu)厚度方向劃分足夠數(shù)量的層數(shù)（文中取40層），各層需賦予不同的材料屬性以獲得較為可靠的功能梯度模型，而譜幾何法中則采用精確的定積分來考慮功能梯度材料在厚度上的連續(xù)梯度變化，建模過程更為簡單高效，其模型也更為精確；2）就邊界處理而言，文中方法僅需修改邊界約束彈簧的剛度值即可獲得任意邊界約束，而有限元法建模中需要在邊界節(jié)點(diǎn)的各方向施加對應(yīng)的邊界彈簧，建模過程較繁瑣，不利于參數(shù)化分析。

在驗(yàn)證了文中構(gòu)建的瞬態(tài)振動分析模型的正確性和有效性的基礎(chǔ)上，接下來分析特征參數(shù)對瞬態(tài)振動響應(yīng)特性的影響。為簡化分析工作，在接下來的研究中采用的脈沖類型均為指數(shù)脈沖。

圖3給出了材料冪律指數(shù)p對熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)特性的影響。溫度變化dT=0 K。圓柱殼的邊界條件為C?C，且考慮了h=0.05 m，0.1 m，0.15 m三種殼體厚度，其余尺寸為默認(rèn)。從圖3中可以看出，p的增大使得瞬態(tài)振動響應(yīng)特性曲線的峰值變高，而且出現(xiàn)明顯向右移動的趨勢。這是由于p的增大將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的材料屬性更加接近于內(nèi)表面的金屬成分，使其彎曲剛度降低，進(jìn)而提高了功能梯度圓柱殼在熱環(huán)境下瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅和振蕩周期。

圖4給出了不同邊界條件對圓柱殼瞬態(tài)響應(yīng)的影響。除邊界條件外，其參數(shù)與圖2算例參數(shù)保持一致。從圖4中可以看出，對于經(jīng)典邊界，SD邊界的瞬態(tài)曲線有著更高的峰值，C邊界居中，F(xiàn)邊界的瞬態(tài)曲線的峰值最低。對于彈性邊界，帶有E4的圓柱殼的瞬態(tài)位移響應(yīng)峰值要普遍大于其他彈性邊界條件。這是因?yàn)椴煌倪吔鐥l件，其邊界約束彈簧剛度的取值也不相同，邊界約束彈簧剛度值越大，結(jié)構(gòu)的邊界勢能也會變大，導(dǎo)致功能梯度圓柱殼剛度增加，從而使得結(jié)構(gòu)瞬態(tài)位移響應(yīng)振幅降低。

圖5給出了溫度變化dT對熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)特性的影響。對于線性和非線性溫度場，dT=TO-TI。邊界條件為C?C，其余參數(shù)與圖4算例參數(shù)保持一致。從圖5中可以看出，隨著dT的增大，三種溫度場作用下的圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)特性曲線都會向右偏移。均勻溫度場下的偏移更為明顯，而線性和非線性溫度場的偏移不明顯。顯然dT的增大導(dǎo)致了功能梯度圓柱殼應(yīng)變能的降低，從而使得結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅和振蕩周期提高。

下面分析了熱環(huán)境下C?C功能梯度圓柱殼不同空間位置點(diǎn)的瞬態(tài)振動響應(yīng)特性，相關(guān)結(jié)果如圖6所示。軸向線力的激勵位置為Lx=［1，1.5］和Lq=［0，0］；周向線力的激勵位置為Lx=［1，1］和Lq=［0，π/2］。其余參數(shù)與圖4相關(guān)參數(shù)保持一致。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，無論是點(diǎn)力、軸向線力還是周向線力，測點(diǎn)位置的向右變化都會使得結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線向右移動，而且最靠近激勵位置的測點(diǎn)振幅最大。

3 結(jié) 論

基于一階剪切變形理論和譜幾何法，文中構(gòu)建了熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼振動特性分析模型。通過將文中計算結(jié)果與文獻(xiàn)解以及有限元數(shù)值解進(jìn)行對比，驗(yàn)證了所構(gòu)建模型能夠有效分析熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼自由振動和瞬態(tài)振動響應(yīng)特性。通過參數(shù)化分析，探討了冪律指數(shù)、溫度變化、載荷參數(shù)等因素對熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼瞬態(tài)振動響應(yīng)特性的影響規(guī)律，獲得以下結(jié)論：

（1） 隨著冪律指數(shù)的增大，圓柱殼結(jié)構(gòu)彎曲剛度降低，結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下的瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅和振蕩周期均會明顯提高；

（2） 在SD和E4邊界條件下，圓柱殼結(jié)構(gòu)的邊界勢能更大，其瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅也更低；

（3） 溫度變化值的增加使得圓柱殼結(jié)構(gòu)剛度降低，進(jìn)而增大了結(jié)構(gòu)在熱環(huán)境下瞬態(tài)位移響應(yīng)的振幅和振蕩周期，而且在均勻溫度場下的影響更為明顯；

（4） 越靠近激勵位置，該測點(diǎn)所對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)曲線振幅會越顯著。

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Vibration analysis of functionally graded cylindrical shell under thermal environment

SHI Xian-jie 1 ?ZUO Peng 1，2

1. Institute of Systems Engineering， China Academy of Engineering Physics， Mianyang 621999， China；

2. Department of Modern Mechanics， University of Science and Technology of China， Hefei 230026， China

Abstract The spectro-geometric method is utilized to investigate the free and transient vibration characteristics of the functionally graded （FG） cylindrical shell under thermal environment. The boundary restraining spring technology is employed to simulate the arbitrary classical or elastic boundary support of the shell structure. The energy functional of FG cylindrical shell under thermal environment is established with the first-order shear shell theory. The displacement admissible functions of the cylindrical shell are characterized by the spectro-geometric method and circumferential Fourier harmonic function product sum to overcome the discontinuity problem of the shell boundary displacement function differential along the boundary edge of the shell structure. By substituting the displacement admissible function into the cylindrical shell energy functional， the Ritz approach is employed to construct the vibration analysis model. The numerical analysis results show that the current model can predict the vibration characteristics of FG cylindrical shells with high precision. The influence of power law exponents， thermal environment and load parameters on the vibration characteristics of FG cylindrical shells is studied. The new results presented in this study can be utilized as benchmark solution for other numerical method development.

Keywords free vibration; functionally graded cylindrical shell; thermal environment; spectro-geometric method （SGM）; transient response