關(guān)旭東 周瑾 金超武 徐園平 唐茂 崔恒斌

摘要 針對(duì)磁懸浮流體機(jī)械喘振問題，依據(jù)流體機(jī)械系統(tǒng)喘振狀態(tài)時(shí)質(zhì)量流量和壓升的波動(dòng)，采用基于質(zhì)量流量的喘振控制策略。具體來說，利用喘振控制器求出葉輪軸向調(diào)節(jié)間隙值，并作為懸浮位置參考信號(hào)輸入至軸向磁懸浮軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)中，從而在軸向磁懸浮軸承系統(tǒng)作動(dòng)下改變磁懸浮流體機(jī)械轉(zhuǎn)子軸向位置，即改變?nèi)~輪葉尖間隙，以實(shí)現(xiàn)喘振的主動(dòng)控制。仿真結(jié)果表明，當(dāng)施加喘振控制時(shí)，可以擴(kuò)展流體機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)行范圍，由未控制下的15.5%節(jié)流閥開度擴(kuò)展至喘振控制下的14%。通過模擬激振的方式辨識(shí)了喘振頻率，并研究了PID控制器中控制參數(shù)對(duì)喘振控制性能的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞 喘振控制; 磁懸浮流體機(jī)械; 磁懸浮軸承; 質(zhì)量流量

引 言

當(dāng)流量減少至臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，透平式流體機(jī)械會(huì)發(fā)生一種低頻、大幅度的振動(dòng)，該現(xiàn)象稱為喘振［1］。磁懸浮流體機(jī)械也會(huì)發(fā)生喘振，能在極短的時(shí)間內(nèi)損害流體機(jī)械，嚴(yán)重危害設(shè)備的正常運(yùn)行。目前，針對(duì)喘振的解決辦法大體包括喘振避免［2］和喘振控制［3］。前者的優(yōu)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)相對(duì)簡單、成本較低且運(yùn)行可靠，但其縮小了流體機(jī)械的工作區(qū)域，犧牲了流體機(jī)械性能。后者則可規(guī)避前者的缺點(diǎn)，通過控制手段對(duì)喘振導(dǎo)致的流體波動(dòng)予以補(bǔ)償，穩(wěn)定流體機(jī)械系統(tǒng)的流場(chǎng)狀態(tài)，但執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時(shí)間一般較長。

實(shí)施喘振控制前需要對(duì)流體機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行建模研究，可為喘振的機(jī)理及喘振控制提供前提。Badmus等［4］將流體機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分成兩類：一維模型與二維模型。前者可適用于預(yù)測(cè)流體機(jī)械喘振，后者則適用于流體機(jī)械的喘振與失速。通常，流體機(jī)械喘振失穩(wěn)的數(shù)學(xué)模型采用第一種形式，而失速則一般發(fā)生在軸流式流體機(jī)械中，故多采用第二種形式。Emmons等［5］采用一維線性化模型研究壓縮機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性，類比亥姆霍茲共振器，從而得到喘振的初始狀態(tài)。Greitzer［6］針對(duì)軸流式壓縮機(jī)系統(tǒng)采用非線性的集總參數(shù)模型，隨后，Hansen等［7］將該模型應(yīng)用至離心式壓縮機(jī)中。Gravdahl等［1］在Greitzer模型的基礎(chǔ)上，通過歸一化避免了將額外的非線性引入系統(tǒng)，且模型方程平衡了轉(zhuǎn)軸上的扭矩。針對(duì)二維模型，Moore等［8］研究了軸流式壓縮機(jī)中不可壓縮流動(dòng)狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)失速。隨后，Ishii等［9］與Feulner等［10］將該二維模型用于可壓縮流動(dòng)狀態(tài)。杜毅等［11］提出以電機(jī)轉(zhuǎn)速和管道出口壓力分別作為控制量和控制對(duì)象的風(fēng)機(jī)管道模型，相比于原Greitzer模型，改進(jìn)模型在計(jì)算管道出口壓力時(shí)更精確。由于Greitzer模型具有結(jié)構(gòu)簡單及模型階次低的優(yōu)點(diǎn)，因此，其在喘振控制中的應(yīng)用較為普遍，包括線性［12］與非線性控制［13］。Senoo等［14?15］改變離心式壓縮機(jī)葉輪葉尖和蝸殼之間的間隙，研究其對(duì)壓縮機(jī)性能的影響，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［16?17］將Greitzer模型應(yīng)用于磁懸浮壓縮機(jī)中，并建立了調(diào)節(jié)管道壓力的線性化模型。Yoon等［18］利用實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)證了磁懸浮壓縮機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，并通過實(shí)驗(yàn)辨識(shí)得到壓縮機(jī)系統(tǒng)模型中的參數(shù)。Yoon等［19］將壓縮機(jī)管道模型引入原始Greitzer方程，分析了壓縮機(jī)壓升對(duì)葉輪軸向間隙擾動(dòng)的響應(yīng)。

在傳統(tǒng)流體機(jī)械的喘振控制中，通常采用的防喘振方法為固定與可變極限流量法［20］。通常，前者會(huì)降低流體機(jī)械的效率，而后者相對(duì)復(fù)雜且穩(wěn)定性差。

Spakovsky等［21］和Wang等［22］以主動(dòng)磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing， AMB）作為作動(dòng)器，通過調(diào)整軸流式壓縮機(jī)徑向葉輪葉尖間隙對(duì)失速進(jìn)行控制。Sanadgol等［23］指出磁懸浮壓縮機(jī)中的喘振控制是利用軸向AMB系統(tǒng)調(diào)節(jié)葉輪的間隙來實(shí)現(xiàn)的，采用的物理機(jī)制是壓縮機(jī)特性對(duì)葉輪葉尖間隙的敏感性，控制器的設(shè)計(jì)目標(biāo)是系統(tǒng)運(yùn)行軌跡保持在壓縮機(jī)特性曲線上，從而確保葉輪的零穩(wěn)態(tài)偏移并保持壓縮機(jī)的效率，但其研究只限于仿真分析。基于磁懸浮壓縮機(jī)試驗(yàn)臺(tái)［24］，Yoon等［25］采用軸向AMB調(diào)節(jié)葉輪葉尖間隙驗(yàn)證了喘振控制的有效性。Yoon等［26］基于具有可變?nèi)~輪葉尖間隙和管道聲學(xué)特性的增強(qiáng)型壓縮機(jī)系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)了磁懸浮壓縮機(jī)喘振控制器，該喘振控制方法基于壓縮機(jī)實(shí)驗(yàn)裝置推導(dǎo)并實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明所提出的方法能夠在不穩(wěn)定的喘振區(qū)域運(yùn)行時(shí)使壓縮機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定，從而將穩(wěn)定流量范圍擴(kuò)大了21％以上。在磁懸浮流體機(jī)械喘振控制中，研究者還比較了多種流量估算方法對(duì)喘振控制的影響效果，結(jié)果表明控制器和流量觀測(cè)器的最佳組合能夠更大地?cái)U(kuò)展壓縮機(jī)的運(yùn)行范圍［27］。此外，針對(duì)磁懸浮流體機(jī)械喘振控制器的設(shè)計(jì)，研究者分別成功運(yùn)用了反步控制［28］、滑模控制［29］、分?jǐn)?shù)階控制［30］與H∞魯棒控制［31］等方法。唐茂等［32］針對(duì)磁懸浮壓縮機(jī)的喘振問題，分別采用了基于質(zhì)量流量與輸出壓力的控制方法，仿真表明所采用的方法能夠有效擴(kuò)大壓縮機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行范圍。在此基礎(chǔ)上，Guan等［33］將磁懸浮壓縮機(jī)模型與磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行聯(lián)合，以獲得半實(shí)物模擬喘振控制平臺(tái)，分別驗(yàn)證了不同轉(zhuǎn)速和參考調(diào)節(jié)軌跡下的模擬喘振控制效果。Ma等［34］考慮AMB控制系統(tǒng)的不確定性，針對(duì)軸向磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了μ綜合魯棒控制器以抑制喘振引起的振動(dòng)，并提出變平衡位置點(diǎn)的喘振控制策略，通過手動(dòng)調(diào)節(jié)軸向平衡位置獲得了抑制喘振的效果。

本文針對(duì)磁懸浮流體機(jī)械喘振問題，采用質(zhì)量流量喘振控制策略，并基于PID控制器進(jìn)行了磁懸浮流體機(jī)械喘振控制仿真。

1 流體機(jī)械系統(tǒng)Greitzer模型

采用方程階次相對(duì)較低、結(jié)構(gòu)簡單的Greitzer模型，在此基礎(chǔ)上，引入磁懸浮軸承系統(tǒng)以進(jìn)行喘振控制研究。以離心式壓縮機(jī)系統(tǒng)為例，圖1為流體機(jī)械系統(tǒng)簡圖，包括壓縮機(jī)、管道、氣室與節(jié)流閥。

圖1中的符號(hào)均為無量綱，Ψ和Φ分別代表無量綱壓升和質(zhì)量流量；下標(biāo)“c”，“p”和“th”分別代表壓縮機(jī)、氣室和節(jié)流閥。無量綱壓升與質(zhì)量流量分別表示為：

式中 ?p=pc-po1為壓強(qiáng)增量（pc與po1分別為壓縮機(jī)出口壓強(qiáng)和進(jìn)口大氣壓）；?為有量綱質(zhì)量流量；U和Ac分別為葉輪葉頂線速度和管道橫截面積；ρo1為空氣密度。

通常，壓縮機(jī)系統(tǒng)Greitzer模型［6］表示為：

式中 ωH為亥姆霍茲頻率；B為Greitzer穩(wěn)定參數(shù)；τ?為時(shí)間常數(shù)；Ψc，ss為在設(shè)計(jì)間隙下的無量綱壓升。在Greitzer模型中，依據(jù)流體動(dòng)量守恒定律得出Φc和Φth的微分方程，依據(jù)質(zhì)量守恒定律得出Ψp的微分方程，Ψc的微分方程可表示特性曲線上工作點(diǎn)的動(dòng)態(tài)壓縮特性。

亥姆霍茲頻率ωH與流體機(jī)械喘振頻率大小相關(guān)，可表示為：

式中 ao1，Vp和Lc分別為壓縮機(jī)入口聲速、氣室容積和管道長度。

式（3）中的常數(shù)G和Greitzer穩(wěn)定參數(shù)B分別為：

式中 Lth與Ath分別表示節(jié)流閥的長度與橫截面積。

當(dāng)管道長度遠(yuǎn)大于節(jié)流閥流道長度時(shí)，常數(shù)G約等于零。當(dāng)忽略時(shí)間常數(shù)時(shí)，則得到式（3）中的Greitzer模型為：

在亞聲速流動(dòng)條件下，可利用節(jié)流閥開度uth和氣室壓升Ψp表示節(jié)流閥質(zhì)量流量：

式中 cth為節(jié)流閥系數(shù)。

通常由式（8）繪制的曲線稱為載荷曲線或負(fù)載曲線，通過實(shí)驗(yàn)改變節(jié)流閥開度uth并測(cè)試壓升與質(zhì)量流量，可計(jì)算節(jié)流閥系數(shù)cth。

喘振點(diǎn)將流體機(jī)械的特性曲線分為兩部分，分別為穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域（喘振區(qū)域），前者通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到，后者通過理論公式進(jìn)行預(yù)測(cè)。

通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試，流體機(jī)械的特性曲線可根據(jù)如下所示多項(xiàng)式進(jìn)行擬合［35］：

式中 φc為壓縮機(jī)的壓比pc/po1；φc0為流量等于零時(shí)的壓比pc0/po1。系數(shù)H和W可根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的壓升和質(zhì)量流量計(jì)算獲取。此外，式（9）中第一項(xiàng)為穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域特性曲線表達(dá)式，第二項(xiàng)為非穩(wěn)定區(qū)域特性曲線表達(dá)式。

本文喘振控制仿真中，選用的流體機(jī)械為美國Honeywell公司生產(chǎn)的GT70單級(jí)離心式壓縮機(jī)［36］，將其相關(guān)的主要參數(shù)列于表1中。將表1的相關(guān)參數(shù)代入式（9）中，可得到壓縮機(jī)特性曲線的表達(dá)式：

將表1中參數(shù)代入式（1）和（2）可得：

將式（11）代入式（10）中，可得無量綱特性曲線的表達(dá)式：

結(jié)合無量綱特性曲線式（12）和載荷曲線式（8），繪制壓縮機(jī)無量綱特性曲線與負(fù)載曲線如圖2所示。圖2中，特性曲線與負(fù)載曲線的交點(diǎn)稱為工作點(diǎn)。特性曲線上斜率為零的點(diǎn)為喘振點(diǎn)，在喘振點(diǎn)左側(cè)，壓升隨著質(zhì)量流量的增大而增大，表現(xiàn)為喘振失穩(wěn)且會(huì)出現(xiàn)喘振環(huán)。在喘振點(diǎn)右側(cè)，壓升隨著質(zhì)量流量的增大而減小，為穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。當(dāng)節(jié)流閥開度uth=16%時(shí)，壓縮機(jī)的工作點(diǎn)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，隨著節(jié)流閥開度繼續(xù)減小便會(huì)出現(xiàn)喘振現(xiàn)象。當(dāng)發(fā)生喘振時(shí)，壓升與質(zhì)量流量均表現(xiàn)為周期性的振動(dòng)，則會(huì)出現(xiàn)如圖2所示的喘振環(huán)。當(dāng)持續(xù)關(guān)閉節(jié)流閥，則會(huì)出現(xiàn)更大的喘振環(huán)，此時(shí)喘振程度加深，振動(dòng)幅值變大。對(duì)比圖2中15%，13%和11%三個(gè)不同節(jié)流閥開度下的喘振環(huán)，當(dāng)開度減小至一定程度時(shí)（如開度為11%和13%），流量出現(xiàn)了負(fù)值，此時(shí)的喘振程度已經(jīng)非常劇烈。

以圖2中喘振狀態(tài)下的節(jié)流閥開度為例，將三個(gè)開度對(duì)應(yīng)的無量綱壓升與質(zhì)量流量的時(shí)域振動(dòng)曲線繪制于圖3中。由圖3可知，壓升與質(zhì)量流量為同頻率振動(dòng)。此外，還可以看出，壓升和質(zhì)量流量的相位相差約82°，因此也導(dǎo)致了在特性曲線上表現(xiàn)為圓環(huán)。

2 葉尖間隙調(diào)壓模型建立

磁懸浮流體機(jī)械喘振控制的本質(zhì)是利用AMB作為作動(dòng)器，控制流體機(jī)械葉輪與蝸殼間的軸向間隙，進(jìn)而調(diào)整流體機(jī)械的流場(chǎng)分布以實(shí)現(xiàn)喘振控制。圖4所示為磁懸浮流體機(jī)械中通常采用的半開式葉輪和葉輪葉尖間隙示意圖，本文忽略葉輪背部變化對(duì)流體機(jī)械系統(tǒng)的影響。然而，如何使用AMB這一作動(dòng)器控制葉輪的位置是喘振控制中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

流體機(jī)械的性能和效率高度依賴于葉輪葉尖間隙，葉尖間隙對(duì)流體機(jī)械壓力調(diào)節(jié)起到了關(guān)鍵作用，通常將葉尖間隙的變化與流體機(jī)械效率聯(lián)系起來。本文采用基于葉尖間隙的調(diào)壓模型，以壓縮機(jī)效率變化為基礎(chǔ)。本文仿真中選用公稱葉尖間隙cln為0.6 mm，葉輪出口處的葉片高度b2為8 mm。

為了簡化表達(dá)，將實(shí)際效率η表達(dá)為與葉尖間隙變化量δcl相關(guān)的形式［16］：

式中 ηn為設(shè)計(jì)效率，δcl = cl-cln，k0=0.251+0.25clnb2。

在等熵和理想氣體條件下可得：

式中 γ為絕熱指數(shù)。

當(dāng)δcl=0時(shí)，壓比φc，ss=pc，ss/po1。結(jié)合壓差公式，推導(dǎo)得出無量綱壓升關(guān)于壓比的函數(shù)為：

因此，當(dāng)δcl =0時(shí)：

將式（14）代入式（15）中得到：

將無量綱穩(wěn)態(tài)壓升表達(dá)式（16）代入式（17）中，可得無量綱壓升Ψc關(guān)于Ψc， ss和δcl的函數(shù)為：

在后續(xù)喘振控制仿真中，可根據(jù)式（18）指導(dǎo)磁懸浮軸承作動(dòng)器調(diào)節(jié)葉輪軸向懸浮位置。

根據(jù)式（18）繪制如圖5所示的不同葉輪葉尖間隙對(duì)特性曲線的影響曲線。其中，圖5（a）為三維曲線圖，圖5（b）為5個(gè)不同間隙下的壓縮機(jī)特性曲線圖。由圖5可知，質(zhì)量流量一定時(shí)，葉輪葉尖間隙越大則壓升越小，這是由于間隙泄漏增大導(dǎo)致效率降低。

3 系統(tǒng)模型線性化分析

第2節(jié)中式（14）為壓縮機(jī)葉輪葉尖間隙調(diào)壓模型的非線性化形式，同時(shí)，前文介紹的Greitzer模型也包含非線性項(xiàng)。為了使控制問題得到簡化，有必要對(duì)兩者進(jìn)行線性化。

3.1 調(diào)壓模型線性化

在δcl = 0處，對(duì)式（14）中的1/（1+k0δcl / b2） 進(jìn)行泰勒展開：

式中 kcl=γγ?1k0b2φ1γc，ss（1?φγ?1γc，ss）。

將式（19）中φc與φc，ss進(jìn)行無量綱化，得到：

定義調(diào)壓模型線性化后的誤差為：

式中 Ψ'c為線性化調(diào)壓模型的壓升；Ψc為未線性化調(diào)壓模型的壓升。

將調(diào)壓模型線性化誤差el隨質(zhì)量流量和葉輪葉尖間隙的變化繪制于圖6中，其中，葉輪葉尖間隙變動(dòng)范圍設(shè)置為±70%，質(zhì)量流量變動(dòng)范圍設(shè)置為-0.2～0.6。在給定的葉輪葉尖間隙和質(zhì)量流量波動(dòng)范圍內(nèi)，誤差el均較小，其范圍約在0.03%以內(nèi)。線性化誤差整體較小，表明線性化模型可以代替原始非線性模型而不會(huì)損失精度。此外，由式（18）和（20）可知，在δcl = 0情況下，模型線性化前后的壓升大小相等，得到如圖6中所示的零誤差線。

將線性化模型與原始非線性化模型下的特性曲線分別繪制于圖7中，其中5對(duì)特性曲線均具有較高的重合度，即誤差很小，尤其在公稱葉尖間隙下誤差為零。隨著葉尖間隙相對(duì)公稱葉尖間隙變大時(shí)，誤差才逐漸有所變大，但仍然可忽略不計(jì)，正如圖6所示的誤差在較大范圍內(nèi)處于0.03%以內(nèi)。因此，線性化之后的高精度可以保障后續(xù)控制器設(shè)計(jì)的順利實(shí)施。

將線性化后的葉輪葉尖間隙調(diào)壓模型代入Greitzer模型，得到含線性化調(diào)壓模型的Greitzer模型為：

3.2 Greitzer模型線性化

雖然式（22）中的Greitzer模型包含線性化的葉尖間隙調(diào)壓模型，但是整個(gè)系統(tǒng)模型仍是非線性的。

當(dāng)δcl = 0時(shí)，在給定的節(jié)流閥開度ueq下，特性曲線和負(fù)載曲線的交點(diǎn)稱為工作平衡點(diǎn)（Φeq， Ψeq）。定義狀態(tài)變量ζi為：

在工作平衡點(diǎn)（Φeq， Ψeq）處，將式（23）的導(dǎo)數(shù)泰勒展開并代入式（23）。不計(jì)二階及以上的高階項(xiàng)，得到如下所示線性化系統(tǒng)模型：

式中 狀態(tài)變量和系數(shù)矩陣分別為：ζ=[ζ1ζ2]和

式（24）中，將無量綱特性曲線表示為：

式中 a，b，c和d為特性曲線多項(xiàng)式系數(shù)。

依據(jù)線性化的Greitzer系統(tǒng)模型，以不同節(jié)流閥開度為變量，繪制系統(tǒng)的極點(diǎn)變化軌跡如圖8所示。

由圖8可知，對(duì)于二階線性Greitzer系統(tǒng)，每個(gè)壓縮機(jī)運(yùn)行狀態(tài)下均對(duì)應(yīng)有一對(duì)極點(diǎn)。當(dāng)節(jié)流閥開度逐漸減小時(shí)，系統(tǒng)的極點(diǎn)開始向右移動(dòng)，開度減小至15%時(shí)開始出現(xiàn)了臨界狀態(tài)的極點(diǎn)。當(dāng)節(jié)流閥開度大于15%時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，而小于15%則表現(xiàn)為失穩(wěn)狀態(tài)。

4 質(zhì)量流量反饋的喘振控制

施加喘振控制是為了使流體機(jī)械系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定運(yùn)行，從而使工作點(diǎn)處在特性曲線上。特性曲線上主要有兩個(gè)變量，分別為壓升和質(zhì)量流量。壓升隨節(jié)流閥開度的變化有增有減，而質(zhì)量流量隨節(jié)流閥開度的減小而減小。因此，選取后者為反饋?zhàn)兞繉?shí)施喘振控制。

4.1 喘振控制策略

令壓升和質(zhì)量流量的誤差為：

基于質(zhì)量流量反饋的控制策略為：

式中 kp表示比例系數(shù)。

4.2 考慮軸向AMB系統(tǒng)的喘振控制

喘振控制實(shí)施的具體步驟為：利用喘振控制器并結(jié)合質(zhì)量流量反饋信號(hào)，計(jì)算軸向磁懸浮軸承控制系統(tǒng)參考位置；將軸向參考位置輸入AMB閉環(huán)控制系統(tǒng)，進(jìn)行考慮實(shí)際作動(dòng)器性能的計(jì)算，獲得壓縮機(jī)實(shí)際葉輪葉尖間隙的變化量；將間隙變化量輸入至壓縮機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，從而影響壓縮機(jī)系統(tǒng)中壓升和質(zhì)量流量的變化。上述過程即為喘振控制的一個(gè)閉環(huán)周期，如圖9所示為基于質(zhì)量流量反饋的喘振控制原理框圖。在圖9中，將喘振控制器計(jì)算的葉輪調(diào)整間隙量作為參考信號(hào)輸入至懸浮控制器中，從而通過懸浮控制器參考位置的改變而改變轉(zhuǎn)子軸向位置。軸向AMB采用環(huán)形單極結(jié)構(gòu)，其主要參數(shù)如表2所示。

圖9中AMB閉環(huán)控制系統(tǒng)模型的Bode圖如圖10所示，該模型通過將五自由度磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)靜態(tài)懸浮后對(duì)軸向AMB閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行掃頻得到［35］。

將PID控制器作為喘振控制器，對(duì)磁懸浮流體機(jī)械喘振控制進(jìn)行仿真分析。其中，比例系數(shù)、微分系數(shù)和積分系數(shù)分別以kp，kd和ki表示，喘振控制仿真中，三者取值分別為10，0.2和0.5。

當(dāng)節(jié)流閥開度分別為15%和14.5%時(shí)，得到如圖11和12所示的喘振控制前后對(duì)比結(jié)果。其中，圖11（a）和12（a）為給定的節(jié)流閥開度，圖11（b）和12（b）以及圖11（d）和12（d）分別為給定節(jié)流閥開度下壓縮機(jī)壓升和質(zhì)量流量曲線，并給出了施加和未施加喘振控制的對(duì)比結(jié)果。圖11（c）和12（c）給出了特性曲線、給定節(jié)流閥開度下的負(fù)載曲線、喘振控制與未控制時(shí)的喘振環(huán)。

在圖11和12中，未施加喘振控制時(shí)，壓升和質(zhì)量流量出現(xiàn)了正弦波動(dòng)，在特性曲線上表現(xiàn)為喘振環(huán)的形式。節(jié)流閥開度越小，振動(dòng)的幅值越大。施加喘振控制后，壓升和質(zhì)量流量在小幅度波動(dòng)后可快速達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，調(diào)節(jié)時(shí)間在0.14 s以內(nèi)且開度越小調(diào)節(jié)時(shí)間越長。在穩(wěn)定狀態(tài)下，壓縮機(jī)的工作點(diǎn)為特性曲線和負(fù)載曲線的交點(diǎn)，圖11和12中的最終穩(wěn)定工作點(diǎn)分別為（0.295， 2.680）和（0.285， 2.674）。

圖13對(duì)比了喘振控制器未施加與施加情況下，壓升和質(zhì)量流量隨節(jié)流閥開度變化的頻譜圖。仿真中，以0.5%的節(jié)流閥開度為步長，仿真分析10%～20%節(jié)流閥開度范圍內(nèi)的控制效果。由圖13可知，在未施加喘振控制情況下，當(dāng)開度為15%時(shí)便會(huì)出現(xiàn)壓升與質(zhì)量流量的波動(dòng)。然而，在控制情況下，當(dāng)開度為13.5%時(shí)才開始出現(xiàn)壓升與質(zhì)量流量的波動(dòng)，即發(fā)生喘振。因此，當(dāng)施加控制時(shí)，可以擴(kuò)展流體機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)行范圍，由未控制下的15.5%開度擴(kuò)展至控制下的14%。此外，由圖13可以看出，喘振振動(dòng)的頻率約為24 Hz，后續(xù)會(huì)針對(duì)喘振頻率進(jìn)行辨識(shí)研究。

為了更深入地對(duì)磁懸浮流體機(jī)械的喘振控制進(jìn)行研究，后續(xù)分別針對(duì)喘振頻率辨識(shí)和喘振控制器中不同控制參數(shù)進(jìn)行控制規(guī)律研究。

4.3 喘振頻率辨識(shí)

為了對(duì)流體機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行喘振頻率的辨識(shí)，仿真測(cè)試了葉輪葉尖間隙擾動(dòng)對(duì)壓升的動(dòng)態(tài)影響。對(duì)于小幅值正弦掃頻輸入，分析了壓升信號(hào)對(duì)葉輪葉尖間隙擾動(dòng)的頻率響應(yīng)。圖14給出了正弦掃頻原理框圖，在葉輪懸浮位置輸入小幅值、變頻率正弦信號(hào)，頻率步長設(shè)置為1 Hz，喘振控制器控制參數(shù)為kp=1，ki=0，kd=0，采集壓縮機(jī)系統(tǒng)的壓升信號(hào)。

如圖15所示，在線性系統(tǒng)中，壓升信號(hào)響應(yīng)頻率與輸入擾動(dòng)頻率之間存在較強(qiáng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖15中的壓升信號(hào)雖然也表現(xiàn)出了微弱的2倍頻分量，但相對(duì)于同頻分量可以忽略。

通過不同頻率的小幅值正弦信號(hào)擾動(dòng)，得到如圖16所示的不同節(jié)流閥開度下的Bode圖。可以看出，開度為20%，30%和40%狀態(tài)下表現(xiàn)為過阻尼狀態(tài)，而圖16中其他開度下則可以展現(xiàn)出明顯的喘振頻率。當(dāng)節(jié)流閥開度為16%，17%和18%時(shí)，在25 Hz附近為壓力波動(dòng)峰值，由此判斷，該頻率為喘振頻率，與仿真中亥姆霍茲頻率ωH的理論設(shè)定值161.36 rad/s（25.68 Hz）基本一致。同樣，實(shí)際工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)也可根據(jù)此方法以判斷磁懸浮流體機(jī)械的喘振頻率。然而，由圖16還可以看出，當(dāng)開度為15%時(shí)，喘振頻率為24 Hz，這是由于16%的節(jié)流閥開度為壓縮機(jī)臨界穩(wěn)定開度，而開度為15%時(shí)已經(jīng)發(fā)生了喘振。喘振頻率隨著節(jié)流閥開度的變化而發(fā)生少許變化是可以接受的，工程實(shí)踐中的喘振頻率在小范圍內(nèi)波動(dòng)也是合理的。

4.4 喘振控制器不同控制參數(shù)的影響研究

以PID喘振控制器為例，分析各控制參數(shù)的影響。圖17所示為控制器中比例系數(shù)kp對(duì)壓縮機(jī)系統(tǒng)壓升與質(zhì)量流量的影響曲線。在仿真中，為了觀察比例系數(shù)kp的作用，將微分系數(shù)和積分系數(shù)均設(shè)置為0，并將節(jié)流閥開度設(shè)置為14%（喘振狀態(tài)）。通過將比例系數(shù)由0逐漸變化至10，進(jìn)行多組仿真得到如圖17所示結(jié)果。圖17中，當(dāng)kp=7.0時(shí)停止喘振?？梢钥闯觯S著比例系數(shù)kp的增大，壓升與質(zhì)量流量的波動(dòng)幅值近乎線性減小，最后喘振波動(dòng)逐漸消失。

圖18為控制器中微分系數(shù)kd對(duì)壓縮機(jī)系統(tǒng)壓升與質(zhì)量流量的影響曲線。在仿真中，為了觀察微分系數(shù)kd的作用，令比例系數(shù)kp=1、積分系數(shù)ki=0，并將開度設(shè)置為14%（喘振狀態(tài)）。通過將微分系數(shù)由0逐漸變化至0.15，進(jìn)行多組仿真得到如圖18所示結(jié)果。圖18中，當(dāng)kd=0.075時(shí)停止喘振?？梢钥闯?，當(dāng)僅有kp=1作用時(shí)，不能有效地控制喘振狀態(tài)，而隨著微分系數(shù)kd的增大，壓升與質(zhì)量流量的波動(dòng)幅值近乎線性減小，最后喘振波動(dòng)逐漸消失。

圖19所示為控制器中積分系數(shù)ki對(duì)壓縮機(jī)系統(tǒng)壓升與質(zhì)量流量的影響曲線。在仿真中，令比例系數(shù)kp=0.5、微分系數(shù)kd=0.2，并將節(jié)流閥開度設(shè)置為14%（喘振狀態(tài)）?？梢钥闯觯S著積分系數(shù)ki的增大，壓升與質(zhì)量流量均未出現(xiàn)明顯變化，這是由于此時(shí)在比例系數(shù)和微分系數(shù)的作用下系統(tǒng)已經(jīng)處在穩(wěn)定狀態(tài)。因此，積分系數(shù)僅僅起到將靜態(tài)誤差減小的作用。

圖20所示為在圖19情況下，葉輪葉尖間隙調(diào)節(jié)位移隨積分系數(shù)ki變化的曲線。隨著積分系數(shù)ki的增大，調(diào)節(jié)位移量逐漸變大，用以抵消質(zhì)量流量的靜態(tài)誤差。

綜上所述，三個(gè)控制參數(shù)的調(diào)節(jié)直接影響喘振控制效果。其中，比例系數(shù)和微分系數(shù)起到穩(wěn)定流體機(jī)械運(yùn)行狀態(tài)的關(guān)鍵作用，而積分系數(shù)在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，可使質(zhì)量流量的靜態(tài)誤差進(jìn)一步減小。

5 結(jié) 論

依據(jù)流體機(jī)械系統(tǒng)Greitzer模型，得到了葉輪葉尖間隙調(diào)壓模型。為了便于控制器設(shè)計(jì)與控制分析，對(duì)非線性模型進(jìn)行了線性化處理，在設(shè)定的調(diào)節(jié)間隙內(nèi)誤差僅在0.03%以內(nèi)。采用了質(zhì)量流量的反饋控制方法，將軸向AMB系統(tǒng)作為作動(dòng)器進(jìn)行喘振控制仿真。仿真結(jié)果表明，在給定PID喘振控制器控制參數(shù)下，擴(kuò)展了流體機(jī)械的穩(wěn)定運(yùn)行范圍，穩(wěn)定狀態(tài)由未控制下的15.5%節(jié)流閥開度擴(kuò)展至喘振控制下的14%。仿真測(cè)試了葉輪葉尖間隙擾動(dòng)對(duì)壓升的動(dòng)態(tài)影響，分析了壓升信號(hào)對(duì)葉輪葉尖間隙小幅值正弦掃頻擾動(dòng)的頻率響應(yīng)，辨識(shí)得出流體機(jī)械系統(tǒng)模型的喘振頻率約為25 Hz，與理論設(shè)定的亥姆霍茲頻率ωH數(shù)值161.36 rad/s（25.68 Hz）基本一致。為更深入地對(duì)磁懸浮流體機(jī)械的喘振控制進(jìn)行研究，針對(duì)PID喘振控制器中不同控制參數(shù)進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明，隨著比例系數(shù)kp和微分系數(shù)kd的增大，壓升與質(zhì)量流量的波動(dòng)幅值近似線性減小，最后喘振波動(dòng)逐漸消失，而積分系數(shù)僅起到將靜態(tài)誤差減小的作用。

參考文獻(xiàn)

1Gravdahl J T， Egeland O. Compressor Surge and Rotating Stall： Modeling and Control［M］. London： Springer， 1999.

2Kurz R， White R C. Surge avoidance in gas compression systems［J］. Journal of Turbomachinery， 2004， 126（4）： 501-506.

3Shafieian M， Zavar M， Rahmanian M. Simulation and control of surge phenomenon in centrifugal compressors［J］. Traitement du Signal， 2019， 36（3）： 259-264.

4Badmus O O， Nett C N， Schork F J. An integrated， full-range surge control/rotating stall avoidance compressor control system［C］. American Control Conference， Boston， MA， 1991： 3173-3180.

5Emmons H W， Pearson C E， Grant H P. Compressor surge and stall propagation［J］. Transactions of the ASME， 1955， 77（4）： 455-469.

6Greitzer E M. Surge and rotating stall in axial flow compressors-part I： theoretical compression system model［J］. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power， 1976， 98（2）： 190-198.

7Hansen K E， J?rgensen P， Larsen P S. Experimental and theoretical study of surge in a small centrifugal compressor［J］. Journal of Fluids Engineering， 1981， 103（3）： 391-395.

8Moore F K， Greitzer M E. A theory of post-stall transients in axial compression systems： part I-development of equations［J］. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power， 1986， 108（1）： 68-76.

9Ishii H， Kashiwabara Y. A numerical study of surge and rotating stall in axial compressors［C］. The 27th Joint Propulsion Conference. Sacramento， CA， 1991： 1-8.

10Feulner M R， Hendricks G J， Paduano J D. Modeling for control of rotating stall in high speed multi-stage axial compressors［J］. Journal of Turbomachinery， 1994， 118（1）： 1-12.

11杜毅， 宋欣達(dá)， 韓邦成. 高速磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)系統(tǒng)模型改進(jìn)與實(shí)驗(yàn)［J］. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷， 2019， 39（3）： 512-517.

DU Yi， SONG Xinda， HAN Bangcheng. Improvement and experimental research on high-speed magnetic blower and pipeline system［J］. Journal of Vibration， Measurement ＆ Diagnosis， 2019， 39（3）： 512-517.

12Boinov K O， Lomonova E A， Vandenput A J A， et al. Surge control of the electrically driven centrifugal compressor［J］. IEEE Transactions on Industry Applications， 2006， 42（6）： 1523-1531.

13Chaturvedi N A， Bhat S P. Output-feedback semiglobal stabilization of stall dynamics for preventing hysteresis and surge in axial-flow compressors［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2006， 14（2）： 301-307.

14Senoo Y. Pressure losses and flow field distortion induced by tip clearance of centrifugal and axial compressors［J］. JSME International Journal， 1987， 30： 375-385.

15Senoo Y， Ishida M. Deterioration of compressor performance due to tip clearance of centrifugal impellers［J］. Journal of Turbomachinery， 1987， 109（1）： 55-61.

16Sanadgol D. Active control of surge in centrifugal compressors using magnetic thrust bearing actuation［D］. Charlottesville： The University of Virginia， 2006.

17Ahn H J， Park M S， Sanadgol D， et al. A pressure output feedback control of turbo compressor surge with a thrust magnetic bearing actuator［J］. Journal of Mechanical Science and Technology， 2009， 23（5）： 1406-1414.

18Yoon S Y， Lin Z L， Lim K T， et al. Model validation for an active magnetic bearing based compressor surge control test rig［J］. Journal of Vibration and Acoustics， 2010， 132（6）： 061005.

19Yoon S Y， Lin Z L， Goyne C， et al. An enhanced Greitzer compressor model with pipeline dynamics included［C］. American Control Conference， San Francisco， 2011： 4731-4736.

20宋海成. 離心式壓縮機(jī)的防喘振控制［J］. 自動(dòng)化技術(shù)與應(yīng)用， 2015， 34（12）： 9-14.

SONG Haicheng. Anti surge control of centrifugal compressor［J］. Industry Control and Applications， 2015， 34（12）： 9-14.

21Spakovsky Z S， Paduano J D， Larsonneur R， et al. Tip clearance actuation with magnetic bearings for hig-speed compressor stall control［J］. Journal of Turbomachinery， 2001， 123（3）： 464-472.

22Wang Y， Paduano J D， Murray R M. Nonlinear control design for rotating stall with magnetic bearing actuators［C］. IEEE International Conference on Control Applications. Kohala Coost， HI， 1999： 730-736.

23Sanadgol D， Maslen E. Effects of actuator dynamics in active control of surge with magnetic thrust bearing actuation［C］. IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics， Monterey， California， 2005： 1091-1096.

24Lim K T， Yoon S Y， Goyne C P， et al. Design and characterization of a centrifugal compressor surge test rig［J］. International Journal of Rotating Machinery， 2011， 2011： 738275.

25Yoon S Y， Lin Z L， Allaire P E. Control of Surge in Centrifugal Compressors by Active Magnetic Bearings［M］. London： Springer， 2012.

26Yoon S Y， Lin Z L， Allaire P E. Experimental evaluation of a surge controller for an AMB supported compressor in the presence of piping acoustics［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2014， 22（3）： 1215-1223.

27Yoon S Y， Lin Z L， Jiang W， et al. Flow-rate observers in the suppression of compressor surge using active magnetic bearings［J］. Journal of Turbomachinery， 2013， 135（4）： 041015.

28Sanadgol D， Maslen E. Backstepping for active control of surge in unshrouded centrifugal compressors with magnetic thrust bearing actuation［C］. Proceedings of the ASME Turbo Expo： Power for Land， Sea， and Air. Reno， NV，2005： 883-889.

29Sanadgol D， Maslen E. Sliding mode controller for active control of surge in centrifugal compressors with magnetic thrust bearing actuation［C］. The 9th International Symposium on Magnetic Bearings， Lexington， 2004.

30Anantachaisilp P， Lin Z L. Fractional-order surge control of active magnetic bearings suspended compressor［J］. Actuators， 2020， 9（3）： 9030075.

31Yoon S Y. Surge control of active magnetic bearing suspended centrifugal compressors［D］. Charlottesville： The University of Virginia， 2011.

32唐茂， 周瑾， 崔恒斌. 磁懸浮離心式壓縮機(jī)的推力軸承喘振控制［J］. 自動(dòng)化儀表， 2017， 38（5）： 15-19.

TANG Mao， ZHOU Jin， CUI Hengbin. Surge control of the centrifugal compressor with magnetic thrust bearing［J］. Process Automation Instrumentation， 2017， 38（5）： 15-19.

33Guan X D， Zhou J， Jin C W， et al. Influence of different operating conditions on centrifugal compressor surge control with active magnetic bearings［J］. Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics， 2019， 13（1）： 824-832.

34Ma X， Zheng S Q， Wang K. Active surge control for magnetically suspended centrifugal compressors using a variable equilibrium point approach［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2019， 66（12）： 9383-9393.

35唐茂. 離心式壓縮機(jī)的磁懸浮喘振控制研究［D］. 南京：南京航空航天大學(xué)， 2017.

TANG Mao. Active control of surge in centrifual compressors by magnetic actuation［D］. Nanjing： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2017．

36李瑭珺. 離心壓縮機(jī)喘振模型與穩(wěn)定性分析［D］. 上海： 上海交通大學(xué)， 2011.

LI Tangjun. Surge modeling and stability analysis in centrifugal compressors［D］. Shanghai： Shanghai Jiao Tong University， 2011．

Surge control of magnetic suspension fluid machinery

GUAN Xu-dong 1 ?ZHOU Jin 2 ?JIN Chao-wu 2XU Yuan-ping 2TANG Mao 3CUI Heng-bin 2

1. Department of Mechanical and Electronic Engineering， School of Mechanical Engineering and Rail Transit， Changzhou University， Changzhou 213164， China；

2. Department of Design Engineering， College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016， China；

3. CSIC（Chongqing） Southwest Equipment Research Institute Co.，Ltd.， Chongqing 401123，China

Abstract Aiming at the surge problem of magnetic suspension fluid machinery， a surge control strategy based on mass flow is adopted according to the fluctuation of mass flow and pressure rise in the surge state of fluid machinery system. Specifically， the surge controller is used to calculate the axial adjustment clearance of the impeller. It is input into the closed-loop control system of the axial magnetic bearing as the reference signal of the suspension position， to change the axial position of the magnetic suspension fluid mechanical rotor under the action of the axial magnetic bearing system. The tip clearance of the impeller is changed to realize the active control of surge. The simulation results show that when surge control is applied， the stable operation range of fluid machinery can be extended from 15.5% throttle valve opening under uncontrolled control to 14% under surge control. The surge frequency is identified by simulating excitation， and the influence of control parameters in PID controller on surge control performance is studied.

Keywords surge control; magnetic suspension fluid machinery; magnetic bearing; mass flow