周正平

(江蘇核電有限公司，江蘇 連云港 222000)

管道的強烈振動屬于非常危險的現(xiàn)象，國內(nèi)外在役電廠已發(fā)生多起因管道劇烈振動導(dǎo)致管道開裂或管道上附屬設(shè)備(電動閥)失效的情況。對于旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備的振動測試和評價，國內(nèi)外都已形成比較成熟的測試方法和判定標準，其成果較多，使用比較統(tǒng)一、規(guī)范。而對于管道系統(tǒng)的振動測試和評價，國內(nèi)外研究較少，相關(guān)的標準不多，相對于旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備振動標準，管道振動評價比較復(fù)雜，沒有單一明確的振動限值，其需要根據(jù)振動應(yīng)力以及材料的疲勞強度進行綜合計算。

對于管道振動評價標準規(guī)范，目前使用相對廣泛的是美國機械工程協(xié)會的ASME-OM Part3《Vibration Testing of Piping Systems》(管道系統(tǒng)振動測試)[1]，該規(guī)范規(guī)定了壓水堆核電廠運行過程中管道系統(tǒng)的振動測試要求和評價方法。參照ASME OM規(guī)范，國內(nèi)不同單位牽頭制定了相關(guān)行業(yè)的管道振動標準，并給出了振動篩選值用于管道振動狀態(tài)的初步評價[2-4]。這些規(guī)范中雖然給出了振動限值的計算公式，但如果對管道振動限值的詳細來源不清楚，會誤用標準規(guī)范中的相關(guān)公式，從而影響管道振動狀態(tài)的判定。

1 管道振動的評價方法

1.1 梁的振動微分方程

當細長桿作垂直于軸線方向振動時，其主要變形形式為梁的彎曲變形，通常稱為橫向或彎曲振動，其物理模型如圖1所示。

圖1 梁橫向振動的物理模型Fig.1 The physical model of transverse vibration of beam

其中，ρ(x)為單位體積梁的質(zhì)量；A(x)為梁的橫截面積；L為梁的長度；EJ(x)為梁的彎曲剛度，E為彈性模量，J(x)為橫截面對中性軸的慣性矩；f(x，t)為單位長度梁上分布的外力；y(x，t)為梁的橫向位移。

考慮梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動，取微段dx，則其受力分析如圖2所示。

圖2 梁微段受力分析模型Fig.2 The stress analysis model of beam micro-segment

由垂直y方向的平衡方程可得：

即

(1)

以右截面上任一點為矩心，由力矩平衡可得：

略去dx的二次項，上式可簡化為：

(2)

由材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩和撓度有如下關(guān)系式：

(3)

由式(1)～式(3)可得到梁橫向振動的偏微分方程如下：

(4)

該方程包含四階空間導(dǎo)數(shù)和二階時間導(dǎo)數(shù)，求解該方程，需要4個邊界條件和2個初始條件。

若f(x，t)=0，單位體積質(zhì)量ρ(x)=ρ=常數(shù)，橫截面積A(x)=A=常數(shù)，慣性矩J(x)=J=常數(shù)，則均質(zhì)等截面梁橫向自由振動的偏微分方程如下：

(5)

對以上偏微分方程，可利用分離變量法求解，令：

y(x，t)=Y(x)F(t)

代入式(5)可得：

(7)

對于波動方程式(6)，其通解為簡諧函數(shù)如下：

F(t)=asinωt+bconωt=csin(ωt+φ)

(8)

式中a和b為積分常數(shù)，由兩個初始條件確定。

(9)

該方程是一個四階常系數(shù)線性常微分方程，其通解為：

Y(x)=C1sinβx+C2cosβx+C3shβx+C4chβx

(10)

以上為均質(zhì)等截面梁橫向振動的振型函數(shù)通解，其中C1、C2、C3、C4為積分常數(shù)，可以用4個邊界條件來確定4個常數(shù)的相對比值和頻率特征方程，從而確定梁橫向振動的固有頻率ω和振型函數(shù)Y(x)。

由波動方程的通解式(8)和振型函數(shù)通解式(10)，可得到等截面均質(zhì)梁的橫向振動一般表達式如下：

y(x，t)=Y(x)F(t)=(D1sinβx+D2cosβx+D3shβx+D4chβx)sin(ωt+φ)

(11)

式中有D1、D2、D3、D4、ω和φ共6個待定常數(shù)。因為梁每個端點有2個邊界條件，共有4個邊界條件，加上2個振動初始條件，可以確定這6個未知數(shù)。

1.2 兩端固定梁橫向振動的振型函數(shù)

常見的邊界條件包括固定端、鉸支端和自由端。對于固定端，其位移和轉(zhuǎn)角等于零；對于鉸支端，其位移和彎矩等于零；對于自由端，其彎矩和剪力等于零。

以下以兩端為固定端梁為例，討論均質(zhì)等截面梁橫向振動的固有頻率和振型函數(shù)。對于固定端，其位移和轉(zhuǎn)角等于零，即：

以上邊界條件代入振型函數(shù)通解式(10)式，可得到：

以及

若上式對C3和C4有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零，即：

簡化后得到頻率特征方程：

cosβLchβL=1

(12)

該方程為超越方程，應(yīng)用數(shù)值解法求得這一頻率特征方程的前5階特征根值見表1。

表1 兩端固定梁的前5階特征根值Table 1 The first 5-order eigenvalues of fixed beams at both ends

對于兩端固定梁，根據(jù)其邊界條件，其振型函數(shù)通解式(10)可簡化為：

Y(x)=chβx-cosβx+γ(shβx-sinβx)

(13)

根據(jù)βL的取值不同，得到兩端固定梁的前三階振型函數(shù)Y(x)曲線如圖3所示。

圖3 兩端固定梁橫向振動的前三階振型曲線Fig.3 The first three-order mode shapes of the transverse vibration of the fixed beam

1.3 管道橫向振動的固有頻率

式中，λ=(βL)2，稱為頻率因子。

對于一般管道，回轉(zhuǎn)半徑k的表達式為(單位為m)：

式中，D為管道的外徑，m；d為管道的內(nèi)徑，m。

對于半徑大于50.8 mm的管道，k≈0.34D。對于鋼材料管道，取E=207×109Pa，ρ=7 800 kg/m3，則其橫向振動的固有頻率為：

(14)

以上為直管道橫向振動固有頻率的一般表達式，其和管道外徑D和頻率因子λ成正比，和管道長度L的平方成反比。

1.4 管道橫向振動產(chǎn)生的應(yīng)力

梁橫向振動時導(dǎo)致的應(yīng)力和彎矩M相關(guān)，由材料力學(xué)可知，在彎矩M作用下梁截面的最外表面處應(yīng)力最大，其應(yīng)力S為(單位為Pa)：

(15)

式中，M為彎矩，N·m；D為梁外徑，m；J為梁橫截面慣性矩，m4。

由式(3)可知彎矩和梁的橫向位移有關(guān)，不考慮時間變量，則：

(16)

將上式代入式(15)得到：

(17)

而由振型函數(shù)通解式(10)可知：

(18)

將λ=(βL)2和式(18)代入式(17)可得管道振動應(yīng)力：

(19)

可見，振動應(yīng)力S為x的函數(shù)，也即梁不同位置處其振動應(yīng)力不同，一般僅關(guān)心梁上的最大應(yīng)力|S|max和最大位移|Y|max，其兩者比值為：

(20)

上式為梁橫向振動位移和應(yīng)力的一般表達式，其與梁外徑D、變形應(yīng)力因子Kd成正比，而與梁長度L的平方成反比。需要注意的是，某一振型的變形最大位置和應(yīng)力最大位置不一定相同，另外，對于各階振型存在各階變形應(yīng)力因子Kd。

對于兩端固定梁，根據(jù)其邊界條件，由式(13)可將振動應(yīng)力式(19)簡化為：

(21)

由式(21)可得到兩端固定梁橫向振動應(yīng)力S(x)前三階分布曲線如圖4所示。

圖4 兩端固定梁橫向振動的前三階應(yīng)力分布曲線Fig.4 The first three-order stress distribution curve of transverse vibration of the fixed beam

對振動位移Y(x)和應(yīng)力S(x)求極值可得位移、應(yīng)力的最大值。對于兩端固定梁，對式(13)和式(21)求極值，得到其一階振型上0.5L處位移最大，而兩側(cè)(O或L處)應(yīng)力最大，最大位移和應(yīng)力分別為：

同樣，對于兩端固定梁，其二階振型上0.709 6L處位移最大，而L處應(yīng)力最大，最大位移和應(yīng)力分別為：

1.5 管道橫向振動的振動速度

上節(jié)得到了梁橫向振動位移和應(yīng)力的一般關(guān)系式，對于核電廠現(xiàn)場管道，一般測量其振動速度，采用振動速度值對其進行評價。下面進一步分析管道振動速度和應(yīng)力的關(guān)系。

振動位移y(x，t)對時間t一次求導(dǎo)可得到振動速度，則對梁固有振動一般表達式(12)求導(dǎo)可得：

V(x，t)=y′(x，t)=ω×y(x，t)=2πf×y(x，t)=V(x)×F(t)

(22)

其中，V(x)=2πf×Y(x)，則：

(23)

式中，KV為速度應(yīng)力因子。

將振動頻率f由式(15)代入式(23)可得：

(24)

以上為梁橫向振動速度和應(yīng)力的一般表達式，其僅和變形應(yīng)力因子Kd、頻率因子λ有關(guān)，和梁的長度、外徑無關(guān)。

2 管道振動速度限值的確定

對于兩端固定直管道橫向一階振型，根據(jù)式(23)可知其振動速度和應(yīng)力的關(guān)系式如下：

由上式可計算得到理想情況下兩端固定直管道的振動限值。根據(jù)ASME BPVC-Ⅲ規(guī)范[5]，對于碳鋼管道和不銹鋼管道，其1011次循環(huán)對應(yīng)的交變應(yīng)力分別為48 MPa和94 MPa，則對應(yīng)的振動限值分別為643 mm/s和1 260 mm/s。

對于實際管道，需要考慮應(yīng)力集中系數(shù)和其他折減因子，包括集中質(zhì)量(閥門)修正、介質(zhì)和保溫層重量修正、管道端部約束條件和布置修正(非直管道、非兩端固定約束等)以及模態(tài)振型修正(非一階振型)。根據(jù)ASME OM規(guī)范，修正后的管道振動限值公式為：

(25)

式中，c1——補償可能存在集中質(zhì)量對特征管道影響的修正系數(shù)；

c2k2——ASME規(guī)范中定義的應(yīng)力系數(shù)，對大多數(shù)管道系數(shù)c2k2≤4；

c3——考慮管道流體質(zhì)量和保溫層材料質(zhì)量影響的修正系數(shù)；

c2——ASME定義的二次應(yīng)力系數(shù)；

k2——ASME定義的局部應(yīng)力系數(shù)；

c4——考慮管道端部約束條件不是固定端和幾何形狀不是直管段的修正系數(shù)；

c5——考慮管道響應(yīng)優(yōu)勢頻率不同于管道第一階固有頻率時的修正系數(shù)；

Sel——ASME BPVC-Ⅲ規(guī)范中圖I-9.1、 I-9.2對應(yīng)1011次循環(huán)的交變應(yīng)力。

另外，以上振動限值適用于管道的橫向振動，若管道存在高頻的殼壁振動，則以上公式不適用。

3 結(jié)論

對于管道振動限值的確定，沒有單一明確的振動限值，需要根據(jù)其管道布置、振動響應(yīng)頻率以及其他折減系數(shù)進行確定。以上對兩端固定直管道的振動限值進行了詳細分析，給出了前兩階振型振動的振動速度應(yīng)力因子(其倒數(shù)即為振動速度-應(yīng)力轉(zhuǎn)換系數(shù))，其他邊界約束的直管道可參照以上計算過程得到不同的振動速度應(yīng)力因子，匯總結(jié)果見表2。

表2 不同管道邊界約束的速度應(yīng)力因子列表Table 2 The list of velocity-stress factors for different piping boundary constraints

ASME OM規(guī)范給出了具體的管道振動限值計算公式，不同的邊界約束條件可通過相應(yīng)系數(shù)進行折算。根據(jù)以上分析結(jié)果可知，該ASME OM公式僅適用于管道的橫向振動，在實際應(yīng)用該公式過程中需要加以注意。