李淑惠 范良火

一、 研究背景

數(shù)學聯(lián)結(mathematical connection,也譯作“數(shù)學關聯(lián)”“數(shù)學聯(lián)系”等)是最近二三十年來國內外數(shù)學教育研究高度關注的熱門話題之一,也是中美數(shù)學教育課程和教學改革中一個重要的關注點。美國全國數(shù)學教師協(xié)會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱NCTM)早在1989年出版的文件《學校數(shù)學課程和評價標準》中就強調數(shù)學聯(lián)結在數(shù)學課程和教學中的意義,并將其分為兩類:一是(在現(xiàn)實世界或其他學科中的)數(shù)學問題及其數(shù)學表征間的建模聯(lián)結;二是數(shù)學自身概念思想間的數(shù)學聯(lián)結。[1]2000年NCTM公布的另一份指導性文件《學校數(shù)學的原則和標準》進一步把“關聯(lián)”列為關于教學過程的五大標準之一,[2]這一理念在美國的數(shù)學教育研究和數(shù)學課程改革,包括目前正在廣泛施行的“共同核心國家標準”(Common Core State Standards)改革中,仍受到廣泛認可和重視,并影響到世界多個國家。[3]我國數(shù)學教育研究者對在數(shù)學教學中重視數(shù)學聯(lián)結的理念亦有不少關注,[4][5]這也反映在我國的課程改革中。事實上,我國最新的《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出,課程結構的設計應“依據數(shù)學學科特點,關注數(shù)學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯(lián)”,“凸顯數(shù)學的內在邏輯和思想方法”,“強調數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系,提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力”。[6]

根據現(xiàn)有的研究,從數(shù)學聯(lián)結的外部環(huán)境來看,問題情境可能影響數(shù)學聯(lián)結的學習機會;[7]從數(shù)學聯(lián)結的內部內容來看,數(shù)學聯(lián)結涉及概念和表征,有單向聯(lián)結和雙向聯(lián)結。豐富的數(shù)學聯(lián)結,尤其是雙向聯(lián)結,對數(shù)學的概念性理解、數(shù)學知識的遷移和數(shù)學問題的解決有一定幫助。[8][9][10]然而,研究者們發(fā)現(xiàn),許多學生甚至教師,常常只能建立單向聯(lián)結,且數(shù)學教材中過分強調單向聯(lián)結可能會阻礙學習者建立雙向聯(lián)結。[11][12]

數(shù)學問題是數(shù)學教材中的一個重要部分,其中例習題的設計和呈現(xiàn)是教材開發(fā)和編寫的重要環(huán)節(jié)。一些研究者曾對中美數(shù)學教材例習題包含的雙向聯(lián)結進行比較研究,但主要集中在小學或初中教材,如分配律的雙向應用、[13]加法—減法、乘法—除法[14]等,少有研究探索高中教材例習題體系中的雙向聯(lián)結,以及問題情境水平對學生學習和理解數(shù)學聯(lián)結的影響。

函數(shù),作為數(shù)學核心概念和大觀念(big ideas)之一,一直是我國學者關注的高中數(shù)學課程研究和中美數(shù)學教育比較研究的重點領域,具體的研究視角包括有關函數(shù)的教材編寫[15]、課程標準[16]、情境水平[17]等。函數(shù)是一個有“核”的“概念群”,中美教材都注重建立以“函數(shù)”為“核”的輻射狀的具有緊密性、多向性的教材結構體系。[18]一方面,雖然中美教材都關注函數(shù)概念的聯(lián)系性,但目前還未有對其中數(shù)學聯(lián)結緊密性和方向性進行比較分析和定量分析的研究;另一方面,已有研究的研究對象大多數(shù)為函數(shù)大概念,而針對圓錐曲線及相關的二次關系式(Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C至少有一個不為0)的深入研究很少。此外,中美數(shù)學教材的比較研究也主要聚焦于小學或中學的部分內容,關于高中數(shù)學教材的中美比較研究較少。[19]

基于此,本研究以中美兩國知名版本的高中數(shù)學教材中圓錐曲線的例習題為研究對象,比較外部問題情境水平和內部不同類型數(shù)學聯(lián)結的呈現(xiàn)頻率,分析兩國教材呈現(xiàn)雙向聯(lián)結的差別,以期對中美高中階段關于圓錐曲線的例習題的合理配備、數(shù)學教材的設計以及數(shù)學聯(lián)結的研究與教學提供有關建議。

二、 數(shù)學聯(lián)結視角下的分析框架

(一) 外部問題情境分析

本研究首先區(qū)分了純數(shù)學背景和有實際背景兩個層次的問題情境特征,來分析其對學生數(shù)學聯(lián)結學習機會的潛在影響。純數(shù)學背景問題指運用數(shù)字、符號、圖像等純數(shù)學表征為情境的問題,側重抽象數(shù)學;有實際背景問題指以現(xiàn)實情景(如個人生活、公共常識、科學背景等)為背景的問題,側重數(shù)學的實際應用,常涉及多重表征間的聯(lián)結,[20]對數(shù)學聯(lián)結的多樣性有一定的影響。

情境與問題是體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要方面之一。21世紀我國數(shù)學課程改革的要點之一就是強調問題情境的真實性,[21]近年來,大量學者開始關注數(shù)學教材中的現(xiàn)實問題情境,并指出我國教材中高水平情境的比例偏低,[22]“個人生活”與“公共意識”方面的情境較少。[23]故本研究基于有實際背景問題,從背景來源和情境真實性(真實數(shù)據、假設數(shù)據)兩方面進行定性分析,探究其對數(shù)學聯(lián)結學習機會的影響。

基于數(shù)學聯(lián)結視角,已有研究者常采用包含數(shù)學聯(lián)結的數(shù)學問題的數(shù)目和比例來刻畫數(shù)學聯(lián)結的呈現(xiàn)頻率。[24][25]然而,一個數(shù)學問題可能包含多個數(shù)學聯(lián)結,這種方法難以反映數(shù)學聯(lián)結的數(shù)目、類型、方向性及數(shù)學聯(lián)結網絡的結構。因此,本文對數(shù)學聯(lián)結進行了更進一步的深度內容分析。

(二) 內部聯(lián)結內容分析

圖1 數(shù)學聯(lián)結的分類

解釋兩類數(shù)學聯(lián)結的例子很豐富,下面是三個例子:

問題一:已知一個圓心在原點的單位圓的圖像,求其方程。

問題二:在平面直角坐標系中,畫出x2+y2=1的圖像。

問題三:已知一個圓的表達式x2+y2+2by=0,求其圓心。

問題一涉及的是一個從圖像轉譯到表達式x2+y2=1的同概念聯(lián)結;問題二涉及的是一個從表達式x2+y2=1轉譯到單位圓圖像的同概念聯(lián)結;問題三涉及的是一個從圓到圓心的異概念聯(lián)結。

基于數(shù)學聯(lián)結的方向性,數(shù)學聯(lián)結可分為單向聯(lián)結和雙向聯(lián)結。一對正方向和反方向的單向聯(lián)結構成了一組雙向聯(lián)結。[27][28][29]如圖1所示,問題一中將圓的圖像轉化成表達式,問題二中相對應地將圓的表達式轉化成圖像,這兩個聯(lián)結就構成一組雙向同概念聯(lián)結;而問題三中從圓到圓心的異概念聯(lián)結為一個單向異概念聯(lián)結。研究發(fā)現(xiàn),教材中過度強調正向聯(lián)結、缺少反向聯(lián)結的學習機會將導致學習者對一些反向同概念聯(lián)結[30]和反向異概念聯(lián)結[31]的學習帶來困難。本研究通過異概念聯(lián)結、同概念聯(lián)結以及單個數(shù)學問題包含的數(shù)學聯(lián)結個數(shù),來量化所選取的中美高中數(shù)學教材在例習題中這兩類數(shù)學聯(lián)結的呈現(xiàn)頻率;此外,通過計算雙向異概念聯(lián)結、雙向同概念聯(lián)結及雙向聯(lián)結的比重來量化教材對雙向聯(lián)結的重視程度,從而考察教材為學生提供關于這兩類雙向聯(lián)結的學習機會的情況。

為了更加清楚地刻畫教材中雙向聯(lián)結網絡的結構,本文借助了近年來教育領域應用比較廣泛的社會網絡分析法(Social Network Analysis,簡稱SNA)。SNA借助數(shù)學中的圖和矩陣研究社會實體間的網絡關系,[32]可以類推到數(shù)學聯(lián)結的研究,[33][34]通過有向圖和賦權鄰接矩陣從圖像化和數(shù)量化兩方面分析數(shù)學聯(lián)結的核心程度、緊密程度等性質。

對有向圖的定性分析分為三個層次:(1)整體連通分量,體現(xiàn)了哪些數(shù)學概念、表征聚集成一個群體緊密聯(lián)結或相對孤立;(2)有向邊的顏色和粗細,刻畫了例習題更強調不同概念間的雙向聯(lián)結,還是同一概念表征間雙向聯(lián)結的學習機會,以及被強調的雙向聯(lián)結的具體情況;(3)指向箭頭密度,反映了教材體現(xiàn)的雙向聯(lián)結網絡中被強調的數(shù)學概念及表征的情況。

與有向圖對應的賦權鄰接矩陣中的元素aij代表了從概念Ai到Aj的數(shù)學聯(lián)結的權重。對賦權鄰接矩陣的定量分析也分為三個層次:(1)頂點個數(shù)、有向邊的權重和多樣性,用于量化雙向聯(lián)結的豐富程度;(2)對應元素的對稱性和對角線元素,用于量化每一組雙向聯(lián)結中正向聯(lián)結、反向聯(lián)結的強弱以及整體雙向聯(lián)結網絡中正反方向的均衡程度;(3)頂點的出度、入度、出連通度、入連通度,用于從數(shù)量和多樣性兩個角度刻畫雙向聯(lián)結網絡中有影響力的(入)和突出的(出)數(shù)學概念或表征。[35]具體指標與含義如表1所示(2)對社會網絡分析法有興趣的讀者可以閱讀參考文獻中的相關書籍。。

表1 社會網絡分析法框架

三、 研究設計

(一) 教材數(shù)學問題的選取

本研究選取了中美知名的高中數(shù)學教材(人教版和美國UCSMP)及配套教師教學用書中與圓錐曲線相關的章節(jié)(如表2所示)。這兩套教材在過去十多年中在本國被廣泛使用,在很大程度上體現(xiàn)了中美數(shù)學課程改革的主流思想和實踐,是近幾年中美高中數(shù)學教材研究的主要研究對象。[36][37][38]考慮到教育的連貫性和數(shù)據的可獲得性,這兩套教材雖非最新版教材,但選取的人教版教材使用到了2021年,美國UCSMP的初高中教材是目前學校使用的教材之一,反映了近十多年中美兩國數(shù)學聯(lián)結的學習機會,具有較強的延續(xù)性,故數(shù)據仍具有較強的借鑒意義和現(xiàn)實意義。

本研究的具體內容為兩套教材中圓錐曲線章節(jié)相關的例習題以及教師教學用書中的補充例題。習題范圍為人教版教材中節(jié)末、節(jié)中的“例題”“練習”“習題”和配套教師教學用書中的“補充例題”,以及美國UCSMP學生版教材中節(jié)末、節(jié)中的“例題”(Examples)、“習題”(Questions)和教師版(Teachers’ Edition)中的“附加例題”(Additional Examples)。

表2 中美教材圓錐曲線相關章節(jié)選取

(二) 數(shù)學問題數(shù)據收集和處理

第一,劃分收集的數(shù)據,確定小的研究單元。在問題編號上,對兩套教材的大題均采用“1、2、3”的編號樣式;人教版教材對大題中的小題采用“(1)、(2)、(3)”的編號樣式,而美國UCSMP教材采用“a、b、c”的編號樣式。研究以小題編號的數(shù)學問題為基礎研究單元,采用一個問題一記數(shù),如人教版教材大題1有(1)、(2)、(3)三個小題,則分為3個研究單元;如美國UCSMP教材大題2有a、b兩個小題,則分為2個研究單元。所有研究單元按照在教材中出現(xiàn)的順序逐一標注序號。

第二,針對每個研究單元,依次對其情境水平(純數(shù)學背景、有實際背景)與數(shù)學聯(lián)結內容(起點,終點,類型:同概念聯(lián)結、異概念聯(lián)結,方向:單向、雙向)進行編碼。部分數(shù)學問題的編碼結果如表3所示。針對有實際背景問題,對其背景來源和情境真實性(真實數(shù)據、假設數(shù)據)進行編碼。如在人教版“某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m?，F(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過?”(必修p.132)中,編碼為拱橋、假設數(shù)據;表3中UCSMP樣題1的編碼為行星運行軌道、真實數(shù)據。數(shù)學聯(lián)結內容的編碼按照每個解答步驟中涉及的同概念聯(lián)結和異概念聯(lián)結依次進行,故單個問題可能包含多個數(shù)學聯(lián)結。

第三,為檢測編碼的信度,請四位(兩位為一組)數(shù)學教育專業(yè)的博士和博士研究生對抽取的數(shù)學問題的編碼結果做出評價(同意或不同意)。結果顯示,人教版教材的數(shù)學問題情境和數(shù)學聯(lián)結內容(包含起點、終點、類型、方向)的編碼一致性(評分者間信度)為100%和96.55%,美國UCSMP教材的數(shù)學問題情境和數(shù)學聯(lián)結內容的編碼一致性分別為100%和97.92%,編碼結果的一致性均大于0.95,說明結果可信度高。

表3 中美教材部分數(shù)學問題編碼結果

四、 研究結果及分析

(一) 外部問題情境的分布

如表4所示,對于圓錐曲線內容,美國UCSMP教材提供的數(shù)學問題數(shù)量(329)遠遠多于人教版教材(208)。人教版教材中有實際背景問題很少,絕大多數(shù)為純數(shù)學背景(93.3%),而美國UCSMP教材純數(shù)學背景問題比重(79.9%)低于人教版教材(79.9%)。整體上,兩版教材有實際背景問題比重都比較低。

表4 中美教材數(shù)學聯(lián)結分布

對有實際背景問題作進一步分析發(fā)現(xiàn),美國UCSMP版本教材的問題情境來源豐富,包含了不同歷史時期的拱門、拱橋、隧道、建筑外形、水池噴泉、體育競技運動規(guī)則(射擊、相撲、足球)、行星運行軌道、望遠鏡、地震定位、聲納定位、耳語廊、導航、衛(wèi)星天線等。相較之下,人教版問題情境的來源不多,僅包括拱橋、建筑外形、齒輪嚙合、爆炸與暗礁定位、行星運行軌道、衛(wèi)星天線和反射鏡面。

從實際背景的真實性方面來看,人教版教材僅有趙州橋、行星運行軌道問題中的“數(shù)”為真實數(shù)據,大多數(shù)為假設數(shù)據;而美國UCSMP教材中大多數(shù)實際背景問題都使用了真實數(shù)據,如行星運動軌道數(shù)據、相撲運動中賽場數(shù)據等。

以上比較說明,人教版教材更注重抽象的數(shù)學概念本身,問題情境來源相對有限,且以假設數(shù)據為主,可能降低了數(shù)學聯(lián)結的多樣性;而美國UCSMP教材更注重數(shù)學在真實豐富的實際情境中的應用,為學生提供了更多同概念聯(lián)結的學習機會。

(二) 內部數(shù)學聯(lián)結內容的分布

如表4所示,與教材提供問題的數(shù)目不同,人教版教材提供的數(shù)學問題中體現(xiàn)數(shù)學聯(lián)結的數(shù)目遠超美國UCSMP教材(627∶502),但兩套教材絕大多數(shù)題目反映的數(shù)學聯(lián)結是異概念聯(lián)結。其中,人教版教材提供的異概念聯(lián)結數(shù)量遠大于美國UCSMP教材(606∶423),并且平均單個問題中異概念聯(lián)結的數(shù)量是美國UCSMP教材的兩倍多(2.9∶1.3)。而美國UCSMP教材提供了更多的同概念聯(lián)結(79∶21),且平均單個問題中同概念聯(lián)結的數(shù)量是人教版教材的兩倍多(0.2∶0.1),這與兩套教材在有實際背景問題比重上的區(qū)別有很高的一致性。這從一定程度上說明,人教版教材比美國UCSMP教材更加強調讓學生建立異概念聯(lián)結,而同概念聯(lián)結較少。問題情境來源可能是其影響因素之一,有實際情境問題在一定程度上會促進同概念聯(lián)結的學習機會。

就雙向聯(lián)結而言,人教版教材的例習題包含了278個雙向聯(lián)結,均為異概念聯(lián)結;美國UCSMP教材涵蓋了225個雙向聯(lián)結,異概念聯(lián)結的比重為89.3%。雖然人教版涵蓋更多的數(shù)學聯(lián)結,但兩套教材雙向聯(lián)結的比重接近(44.3%∶44.8%)。這表明,兩套教材有一半以上的數(shù)學聯(lián)結是單向的。雖然美國UCSMP教材提供數(shù)學聯(lián)結的總數(shù)低于人教版教材,但是其雙向聯(lián)結的比重與之持平,且對異概念聯(lián)結和同概念聯(lián)結均有涉及。

有向圖和賦權鄰接矩陣提供了一種定性與定量相結合的探究數(shù)學聯(lián)結的研究方法。本研究先定性比較了兩版教材中圓錐曲線例習題中雙向聯(lián)結的有向圖,然后定量對比了其對應的賦權鄰接矩陣。

1. 有向圖分析

圖2 例習題體現(xiàn)的雙向聯(lián)結的有向圖(上:人教版;下:美國UCSMP) 注:頂點代表數(shù)學概念或數(shù)學概念的表征;連線代表數(shù)學聯(lián)結;連線的粗細代表聯(lián)結的權重;連線的顏色:黑色代表異概念聯(lián)結,紅色代表同概念聯(lián)結;箭頭代表聯(lián)結的方向。

關于有向圖分析的研究結果如圖2所示?？梢钥闯?人教版和美國UCSMP教材中圓錐曲線例習題的雙向聯(lián)結網絡有很大區(qū)別?；谟邢蜻叺念伾?人教版教材涵蓋的雙向聯(lián)結全部為異概念聯(lián)結,根據連通性有4個連通分量,包括圓相關、拋物線相關、橢圓雙曲線相關和圓錐曲線相關概念。美國UCSMP教材涵蓋的雙向異概念聯(lián)結和雙向同概念聯(lián)結分為10個連通分量。其中4個為異概念聯(lián)結的連通分量,具體包括:(1)圓、橢圓、雙曲線相關概念;(2)拋物線相關概念;(3)橢圓雙曲線系統(tǒng)相關概念;(4)半圓相關概念。其余6個為同概念聯(lián)結的連通分量,具體包括:橢圓、圓、圓內、圓外、拋物線、圓錐曲線。這表明,美國UCSMP教材強調圓、橢圓、雙曲線之間相關新舊概念的數(shù)學聯(lián)結。人教版教材中,由于圓編排在必修2,橢圓、雙曲線編排在選修2-1,未涉及圓與其他圓錐曲線相關概念的雙向聯(lián)結。此外,兩個圓錐曲線組成的系統(tǒng),如圓—橢圓系統(tǒng)、橢圓—雙曲線系統(tǒng)等可能存在的雙向聯(lián)結,人教版教材也沒有涵蓋。圓、橢圓、雙曲線三者相關概念之間豐富的數(shù)學聯(lián)結,在人教版教材中也有待加強。美國UCSMP教材包括圓相關、橢圓相關、拋物線相關、圓錐曲線相關的同一概念表征間的雙向聯(lián)結,數(shù)學聯(lián)結更加豐富,而人教版教材在雙向同概念聯(lián)結上較少。

基于有向邊的粗細,可以看出兩套教材均強調“圓—圓心”“圓—半徑”“拋物線—焦點”這三組雙向異概念聯(lián)結,且人教版教材更顯著。其他組雙向異概念聯(lián)結,如“拋物線—準線”“雙曲線—焦點”“橢圓—焦點”,在兩套教材中也均被強調。以上分析說明,兩套教材很大一部分雙向異概念聯(lián)結發(fā)生在圓錐曲線和圓錐曲線的性質之間,即“圓錐曲線—性質”。美國UCSMP教材的雙向同概念聯(lián)結主要集中在橢圓上,尤其是在橢圓的標準符號表征和圖像表征之間的雙向轉譯上。此外,僅美國UCSMP教材擁有三組同一概念表征的自環(huán)。根據指向箭頭的密度,圓是圓錐曲線例習題中雙向聯(lián)結涉及最多的一個概念,尤其是在人教版教材中。對比觀察圖2上下兩張圖中的數(shù)學聯(lián)結網絡整體,可以發(fā)現(xiàn),人教版教材涉及的雙向聯(lián)結更集中,部分雙向聯(lián)結權重很高;美國UCSMP教材的雙向聯(lián)結更豐富,權重分布更廣。

2. 賦權鄰接矩陣分析

關于賦權鄰接矩陣分析的研究結果如圖3所示。從圖3中可以看出,人教版教材和美國UCSMP教材圓錐曲線例習題中的雙向聯(lián)結在涉及的概念、表征、聯(lián)結的數(shù)目和多樣性上有很大區(qū)別。人教版教材涉及24個概念,而美國UCSMP教材涉及26個概念與12個表征。兩套教材雖在涉及的數(shù)學概念數(shù)量上相近,但表征數(shù)量差異明顯,美國UCSMP教材更豐富,而人教版教材不涉及雙向同概念聯(lián)結。此外,人教版教材的雙向聯(lián)結總數(shù)高于美國UCSMP教材(278∶225),但其中不同的雙向聯(lián)結低于美國UCSMP教材(53∶67),且平均單個雙向聯(lián)結的權重更大(5.2∶3.4)。這與有向圖分析的結果一致,即人教版教材包含權重很大的雙向聯(lián)結,而美國UCSMP教材的雙向聯(lián)結更多樣。

基于賦權鄰接矩陣對角線兩側對應元素的對稱性,人教版教材在一些雙向聯(lián)結正反兩個方向上權重接近,例如圓—圓心、圓—半徑、圓—圓上一點、雙曲線—焦點以及拋物線—拋物線上一點。而美國UCSMP教材在部分雙向聯(lián)結正反方向權重差異明顯,例如圓心—圓(5∶13)、半徑—圓(6∶13)、雙曲線—頂點(6∶1)、橢圓—x軸截距(9∶1)、橢圓—y軸截距(8∶1)、拋物線—焦點(10∶6)、橢圓標準符號表征—圖像表征(6∶3)等?；谫x權鄰接矩陣對角線上的元素,美國UCSMP教材在橢圓、拋物線和圓錐曲線三個概念上各包括一個同一概念表征的轉換,而人教版教材無此類雙向聯(lián)結。對比兩個矩陣對應元素的對稱性,人教版教材的賦權鄰接矩陣比美國UCSMP教材的對應元素數(shù)值更對稱,正方向和反方向權重更均衡。

圖3 例習題體現(xiàn)的雙向聯(lián)結的賦權鄰接矩陣(上:人教版;下:美國UCSMP)

五、 研究結論和啟示

基于以上結果和分析,關于中美高中數(shù)學教材圓錐曲線問題中數(shù)學聯(lián)結的學習機會,我們可得到以下結論:

首先,在問題情境水平上,人教版教材絕大多數(shù)問題為純數(shù)學背景,有實際背景問題比重較低,背景來源相對有限且以假設數(shù)據為主;美國UCSMP教材的數(shù)學問題有更多真實多樣的實際背景。此結果與先前中美高中教材問題情境水平的研究結果[39][40]相一致,中國的教材一般更注重抽象的數(shù)學概念,美國的教材通常更強調數(shù)學在真實世界中的應用,而情境水平的差異可能影響數(shù)學聯(lián)結的學習機會。近年來,大量學者開始關注數(shù)學教材的現(xiàn)實問題情境水平在問題解決中的作用、在發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)中的作用等。[41]未來,研究者可進一步探究數(shù)學問題情境水平對學生建立數(shù)學聯(lián)結的作用和影響。

其次,中美兩套教材例習題中體現(xiàn)的大多數(shù)數(shù)學聯(lián)結是異概念聯(lián)結和單向聯(lián)結,雙向聯(lián)結的比重基本持平。這表明,這兩套高中數(shù)學教材提供的雙向聯(lián)結和同概念聯(lián)結的學習機會整體偏少,此結果與以往關于中小學教材提供的數(shù)學聯(lián)結學習機會的研究結果[42][43]相一致。人教版教材涵蓋更多異概念聯(lián)結,平均單個問題所含異概念聯(lián)結遠多于美國UCSMP教材,但平均單個問題涵蓋的同概念聯(lián)結不到美國UCSMP教材的一半。由此,我們認為,外部的問題情境水平與內部的同概念聯(lián)結的數(shù)量之間可能存在相關性。有實際背景問題通常比純數(shù)學背景問題涉及更多不同的表征,可提供更多同概念聯(lián)結的學習機會,這種相關性值得繼續(xù)深入探索。

最后,針對已有的雙向聯(lián)結,人教版教材存在個別權重很大的雙向異概念聯(lián)結,但整體上正方向和反方向數(shù)學聯(lián)結的權重相對均衡;美國UCSMP教材的雙向聯(lián)結更多樣,且對異概念聯(lián)結、同概念聯(lián)結均有涉及,但正方向和反方向數(shù)學聯(lián)結的權重相對不均衡。人教版教材由于將圓與橢圓、雙曲線分在兩個章節(jié)(兩本教材)中,故與美國UCSMP教材相比,其兩個圓錐曲線之間的雙向異概念聯(lián)結較少。此外,“圓錐曲線”涉及的概念有豐富的表征,但雙向同概念聯(lián)結的學習機會在兩個版本教材,尤其是人教版教材中較少。美國UCSMP教材在一些正反方向的數(shù)學聯(lián)結上強弱對比明顯,我們認為可在圓心/半徑/圓上一點—圓、頂點—雙曲線、x軸截距/y軸截距—橢圓、橢圓圖像表征—標準符號表征上予以加強。

根據人教版教材和美國UCSMP教材在例習題情境水平、異概念聯(lián)結、同概念聯(lián)結和雙向聯(lián)結上存在的差異,本文對中美高中階段數(shù)學教材例習題的合理配備和相關研究、數(shù)學聯(lián)結研究和學生概念性理解的評價有如下啟示。

第一,本文所得到的研究結果為數(shù)學教材中雙向聯(lián)結學習機會的設計提供了參考和指導。過去研究者對教材例習題的分析主要集中在數(shù)量、難度、變式[44]等視角,且對例習題中雙向聯(lián)結的分析大多采取頻率分析法,[45][46]這難以展現(xiàn)其中雙向聯(lián)結涵蓋的概念、表征、強弱方向和整體網絡結構。基于本研究的結果,我們認為:人教版教材可從離心率和比例變化兩個角度適量增加圓的相關概念與橢圓、雙曲線相關概念間的雙向異概念聯(lián)結的數(shù)量。從提高圖像、表格等表征的應用的角度,人教版教材可適量加入更多有實際背景的例習題以加強雙向同概念聯(lián)結,使雙向聯(lián)結更豐富;美國UCSMP教材應加強雙向聯(lián)結中權重較低的方向以及符號表征外其他表征的呈現(xiàn)頻率,為學習者提供更加均衡的雙向聯(lián)結的學習機會。

此外,本研究僅選取了中美各一套有代表性的高中數(shù)學教材中圓錐曲線內容的部分例習題作為研究對象,存在一定的局限性。但是,本文提出的分析框架可推廣到數(shù)學教材中其他章節(jié)或其他學科教材涉及的雙向聯(lián)結中強方向和弱方向的分析,這種強弱關系為數(shù)學教材中例習題的合理配備、數(shù)學教材研究中研究方法的豐富以及數(shù)學課程改革提供了一個新視角。未來的研究者可以以本研究為基礎,開展對數(shù)學聯(lián)結和雙向聯(lián)結強弱關系的縱向追蹤研究,探索數(shù)學聯(lián)結的學習機會在過去、現(xiàn)在和未來的數(shù)學教材中是如何變化的。

第二,本研究提出的關于數(shù)學聯(lián)結的分析框架為有關研究領域提供了新的研究視角(雙向聯(lián)結強弱方向分析)和研究方法(社會網絡分析方法)。具體體現(xiàn)在以下幾個方面:(1) 結合外部情境水平和內部數(shù)學本質特征和方向性,提高了數(shù)學聯(lián)結分析的整體性和完整性;(2) 拓寬了數(shù)學聯(lián)結涉及內容的范圍和規(guī)模;(3) 優(yōu)化了雙向聯(lián)結網絡結構的可視化呈現(xiàn),量化了雙向聯(lián)結正反方向上的強弱關系。

過去數(shù)學聯(lián)結的研究多專注于異概念聯(lián)結的分析或同概念聯(lián)結的分析,[47]少有研究同時分析異概念聯(lián)結和同概念聯(lián)結,綜合考慮數(shù)學聯(lián)結涉及的外部情境、概念、表征,以及其方向性和多樣性。僅僅分析概念或表征可能會錯失將數(shù)學視為一個整體而非碎片化的學習機會。以往有關數(shù)學聯(lián)結的研究常常集中在一個(或幾個)數(shù)學概念、表征或特定方向的數(shù)學聯(lián)結上,規(guī)模很小,如加法—減法、乘法—除法[48]、圖像—方程[49],少有研究探索上百個數(shù)學聯(lián)結的整體結構,而本研究涵蓋了1000多個數(shù)學聯(lián)結,500多個雙向聯(lián)結,極大程度上擴大了數(shù)學聯(lián)結分析的規(guī)模。過去的研究中,數(shù)學聯(lián)結網絡的有向圖常常隨著數(shù)學聯(lián)結數(shù)量的增長而變得混亂無序,[50]本研究用有向邊的粗細、顏色和子圖優(yōu)化了數(shù)學聯(lián)結網絡的可視化呈現(xiàn),使其結構更加清晰,同時,多層次地量化了雙向聯(lián)結的正反強弱關系,在方法論上對未來研究具有借鑒意義。

第三,本研究中數(shù)學聯(lián)結的分析框架可以推廣到對學生概念性理解的評價,從而進一步提高數(shù)學教學質量。金海月[51]使用概念圖通過四個指標(單個概念總連線數(shù)、單個概念可接受命題比、出度、入度)對學生的概念性理解進行評價,但其量化指標主要針對概念。本文提出的框架未來可用于對學生的數(shù)學聯(lián)結網絡整體和局部進行定性和定量分析,能夠更加有效地體現(xiàn)學生對某個概念、某個表征及某組雙向聯(lián)結正反兩個方向的學習困難情況或概念性理解的程度,刻畫學生建立的數(shù)學聯(lián)結網絡的整體結構,這些詳盡的學情分析資料可以幫助教師制定協(xié)助學生克服學習困難和建立概念性理解的教學計劃。結合教材分析結果,教師可在備授課過程中有針對性地根據學情選取例習題,為學生提供更有針對性的雙向聯(lián)結的學習機會。

需要指出的是,本研究的結論是基于人教版教材和美國UCSMP教材在圓錐曲線內容中的例習題進行比較而得到的,其他數(shù)學內容(如概率統(tǒng)計)和不同版本(如美國CM教材、上教版)的數(shù)學教材所反映的數(shù)學聯(lián)結可能存在不同,要得到更具一般性的結論需要有更多的研究。在這個意義上,本研究僅是一個起點,未來有必要在這方面作進一步的研究。最后,要提醒讀者的是,教材反映的數(shù)學聯(lián)結并不等同于課堂上實際的數(shù)學聯(lián)結的學習機會,但教材分析對于理解實際課堂教學具有重要意義,[52]我們希望本研究也可以幫助教師更明智地使用相關教材,為學生提供更豐富的數(shù)學聯(lián)結的學習機會,從而提高數(shù)學課堂教學的質量。