王先明 高遠(yuǎn) 龍文 李智健

摘 要：針對非線性懸架系統(tǒng)的控制問題，建立1/2車數(shù)學(xué)模型，提出一種雙輸入-雙輸出結(jié)構(gòu)的改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制方法。該方法以車身的垂直振動(dòng)加速度和俯仰角加速度為反饋量，以零加速度為控制期望，前后懸架的作動(dòng)力為控制器輸出。工作從雙輸入-雙輸出的緊格式動(dòng)態(tài)線性化模型出發(fā)，引入一種加權(quán)改進(jìn)的控制準(zhǔn)則函數(shù)，推導(dǎo)出控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式，并理論分析了懸架控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不同路面和車速的控制仿真對比結(jié)果表明，該方法相比傳統(tǒng)的無模型自適應(yīng)控制能進(jìn)一步降低車身垂直振動(dòng)加速度、動(dòng)行程、輪胎形變，以及車身的俯仰角加速度，能更好地改善車輛的行駛平順性和操縱穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：車輛；非線性懸架系統(tǒng)；垂直振動(dòng)；俯仰運(yùn)動(dòng)；無模型自適應(yīng)控制

中圖分類號：TP13；U463.33 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2023.02.011

0 引言

基于電控技術(shù)的可控懸架系統(tǒng)是現(xiàn)代車輛底盤技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要趨勢?？刂撇呗允菓壹芸刂葡到y(tǒng)研發(fā)的一個(gè)重要方面，也是實(shí)現(xiàn)車輛獲得良好行駛平順性和操縱穩(wěn)定性的重要保證。真實(shí)的車輛懸架系統(tǒng)是受到路面不平度隨機(jī)激勵(lì)作用的非線性系統(tǒng)[1]。迄今，研究者提出了車輛懸架系統(tǒng)的諸多控制方法如文獻(xiàn)[2-6]。這些方法大都基于1/4車的線性系統(tǒng)模型，不考慮空氣彈簧等組成部件所具有的非線性特性對控制性能的影響，不能反映控制作用對車身俯仰或側(cè)傾狀態(tài)的影響變化[2-5]。近年來，有學(xué)者考慮懸架系統(tǒng)多變量耦合的復(fù)雜性，將車身縱向或/和橫向運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)變量（如俯仰、側(cè)傾）納入建模過程，建立較為精確的、高維的1/2車或整車模型；同時(shí)為了降低模型復(fù)雜度所帶來的控制器設(shè)計(jì)困難，提出了不依賴模型的模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制方法[7-8]，以及將傳統(tǒng)LQR、PID等與模糊邏輯、神經(jīng)計(jì)算相結(jié)合的復(fù)合控制方法[9-11]。這些研究雖在確保車輛獲得良好行駛平順性的同時(shí)，也能有效地保證車身行駛姿態(tài)的穩(wěn)定性，但也存在模糊推理規(guī)則設(shè)計(jì)依賴專家經(jīng)驗(yàn)，以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算不能有效確?？刂茖?shí)時(shí)性等缺陷。

鑒于無模型自適應(yīng)控制（model-free adaptive control， MFAC）設(shè)計(jì)不依賴系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，且具有控制參數(shù)可自適應(yīng)調(diào)整、抗干擾能力強(qiáng)等特點(diǎn)[12]，該控制理論方法受到了控制學(xué)界的研究關(guān)注，不僅在機(jī)電控制工程等領(lǐng)域獲得了有效應(yīng)用，而且在汽車四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)也有較好的控制效果[13-15]。本文為提高車輛行駛的乘坐舒適性和車身姿態(tài)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性，針對非線性懸架系統(tǒng)的控制問題，建立包含了車身俯仰狀態(tài)變量在內(nèi)的1/2車、四自由度非線性可控懸架系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型；以零加速度值為控制期望，將反饋的車身垂直振動(dòng)加速度和俯仰角加速度作為檢測反饋量，提出一種改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制（improved model-free adaptive control， IMFAC）方法。該控制方法對傳統(tǒng)的MFAC方案中的控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)的控制誤差及其變化律進(jìn)行加權(quán)，以確保懸架控制器作為動(dòng)力輸出滿足控制穩(wěn)定性和快速性兩者需求。通過推導(dǎo)設(shè)計(jì)出IMFAC控制器的數(shù)學(xué)表達(dá)式，證明控制誤差系統(tǒng)的收斂穩(wěn)定性。非線性懸架系統(tǒng)的控制仿真對比結(jié)果驗(yàn)證了所提控制方法的有效性和先進(jìn)性。

1 建立非線性懸架系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1為1/2車懸架系統(tǒng)四自由度主動(dòng)懸架模型圖。圖中：zs、α分別表示車身質(zhì)心處的垂直振動(dòng)位移和俯仰角；ms和I分別為半車的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；df 、dr分別是前、后軸到車身質(zhì)心處的距離；mwf 、mwr分別是前、后輪的非簧載質(zhì)量；kwf 、kwr則分別代表前、后輪胎的剛度；z0f 、z0r為前、后輪胎所受到的不平度路面激勵(lì)；ksf 、ksr與csf 、csr分別表示前、后懸架的非線性彈簧剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)；uf 、ur為前、后懸架的主動(dòng)控制作動(dòng)力；zsf 、zsr與zwf 、zwr分別表示前、后車身與前、后輪胎的垂向運(yùn)動(dòng)位移。假設(shè)非線性彈簧所產(chǎn)生的非線性恢復(fù)力與位移的關(guān)系為[16]：

[Fsf=ksf zwf-zsf+εfksf zwf-zsf3，F(xiàn)sr=ksr zwr-zsr+εrksrzwr-zsr3. ? ?] （1）

式中：Fsf與Fsr分別表示前、后懸架彈簧所產(chǎn)生的非線性恢復(fù)力；εf 、εr則是前、后懸架彈簧的非線性系數(shù)，且滿足關(guān)系[0<εf<1]，[0<εr<1]。

結(jié)合圖1模型，并根據(jù)汽車動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識，可建立四自由度、1/2車運(yùn)動(dòng)方程模型：

[zwf=kwf z0f-zwf-csfzwf-zsf-Fsf+uf/mwf，zwr=kwr z0r-zwr-csrzwr-zsr-Fsr+ur/mwr，zs=csf zwf-zsf+Fsf+csrzwr-zsr+Fsr-uf-ur/ms，α=drcsrzwr-zsr+Fsr-ur-dfcsfzwf-zsf+Fsf-uf/I.]

（2）

當(dāng)車輛俯仰角[α]的變化范圍較小時(shí)，有關(guān)系[sinα≈α]，故前、后車身位移可近似為：

[zsf=zs-dfα，zsr=zs+drα.] （3）

為實(shí)現(xiàn)通過前、后懸架主動(dòng)力[uf] 、ur的控制作用來有效抵消或抑制因路面不平度所導(dǎo)致的車身垂向振動(dòng)影響，同時(shí)保證汽車獲得良好的縱向動(dòng)態(tài)平衡性，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膽壹芟到y(tǒng)控制策略方法是關(guān)鍵。

2 改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

由于車身的垂直振動(dòng)加速度[zs]、俯仰運(yùn)動(dòng)角加速度[α]均是反映車輛行駛平順性的重要性能指標(biāo)，均可通過加速度傳感器測量獲得。定義系統(tǒng)的輸出矢量[y=zs，αT]、控制矢量[u=（uf ，ur）T]。本文的無模型自適應(yīng)控制方案采用雙輸入-雙輸出的控制框架，以零加速度輸出矢量[yd=zsd，αdT=0，0T]作為控制期望，通過設(shè)計(jì)獲得改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制器規(guī)律，使其產(chǎn)生控制作用[u]，確保車輛懸架系統(tǒng)可獲得良好的行駛平順性和安全穩(wěn)定性。

2.1 四自由度懸架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線性化過程

按照MFAC的相關(guān)理論，將車輛懸架系統(tǒng)模型考慮成如下非線性離散時(shí)間系統(tǒng)[17]：

[y（k+1）=fu（k），u（k-1），…，u（k-nu）， y（k）， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y（k-1），…， y（k-ny）]. （4）

式中：[u（k）∈R2×1]為[k]時(shí)刻系統(tǒng)的輸入控制矢量；[y（k）∈R2×1]為[k]時(shí)刻的系統(tǒng)輸出矢量；nu、[ny]為2個(gè)未知正整數(shù)；[f（k）∈R2×1]為未知的非線性函數(shù)向量。

在非線性懸架系統(tǒng)的控制中，系統(tǒng)的輸入、輸出應(yīng)均為有界，且能滿足車輛平順性與穩(wěn)定性的要求。針對這些條件引入如下假設(shè)。

假設(shè)1 控制函數(shù)[f（·）]關(guān)于控制輸入[u（k）]的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)2 該系統(tǒng)滿足廣義李普希茨連續(xù)條件，即對任意的[k]和[Δu（k）≠0]，存在如下公式：

[Δy（k+1）≤ξΔu（k）]. （5）

式中：[Δy（k+1）=y（k+1）-y（k）]，[Δu（k）=u（k）-u（k-1）]，且[ξ]是一個(gè)正常數(shù)。

引理1 當(dāng)離散時(shí)間系統(tǒng)滿足假設(shè)1與假設(shè)2時(shí)，可將式（4）轉(zhuǎn)化為緊格式動(dòng)態(tài)線性化的數(shù)學(xué)模型：

[Δy（k+1）=φ（k）?Δu（k）]. （6）

式中：[φ（k）]表示偽雅可比矩陣。在四自由度主動(dòng)懸架系統(tǒng)中，[φ（k）=φ11φ21φ12φ22∈R2×2]，且對任意時(shí)刻[k]，[φ（k）]是有界的。

為使被控懸架系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性要求，可進(jìn)一步引入如下假設(shè)。

假設(shè)3 系統(tǒng)的偽雅可比矩陣[φ（k）]滿足對角占優(yōu)矩陣，即：

[φij（k）i≠j≤ξ1， ? ? ? ?ξ2≤φij（k）i=j≤cξ2.] （7）

式中：i=1， 2；j=1， 2；[ξ2≥ξ1（2c+1）]，[ξ1]、[ξ2]表示2個(gè)大于0的常數(shù)；[c≥1]。

2.2 基于改進(jìn)型控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)的控制算法設(shè)計(jì)

鑒于隨機(jī)的路面不平度是影響車輛懸架系統(tǒng)控制性能的一個(gè)重要因素，特別是車輛通過具有沖激特性的路面時(shí)，瞬間過大的控制誤差會(huì)使得系統(tǒng)可能發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。為應(yīng)對路面不平度對控制穩(wěn)定性和響應(yīng)快速性的不良影響，確保控制系統(tǒng)滿足車輛行駛平順性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性要求，本文利用對輸出誤差及其誤差變化率進(jìn)行加權(quán)的思想[18]，定義一種改進(jìn)型的控制作用準(zhǔn)則函數(shù)：

[J2（k）=θe（k+1）2+（1-θ）e（k+1）-e（k）T2+ ? ? ? ? ? ? ? λu（k）-u（k-1）2]. （8）

式中：[e（k）=yd（k）-y（k）=-y（k）]為輸出誤差矢量；[T]為采樣周期；[λ]為大于0的系數(shù)；[θ]∈（0，1]為誤差項(xiàng)的加權(quán)，當(dāng)[θ=1]時(shí)，式（8）則退變?yōu)閭鹘y(tǒng)MFAC方法所用的準(zhǔn)則函數(shù)形式。IMFAC方法是根據(jù)[e（k）]情況設(shè)計(jì)IMFAC算法，使算法輸出合適的控制作動(dòng)力[u]，以使得系統(tǒng)輸出[y]快速趨近輸出期望[yd]。將式（6）代入式（8），根據(jù)準(zhǔn)則函數(shù)極小原則對[u（k）]進(jìn)行極值運(yùn)算得到：

[Δu（k）=ρθ+1-θT2φT（k）e（k）-ρ1-θT2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+φ（k）21-θT2].

（9）

式中：[ρ]∈（0，1]是步長因子。鑒于式（4）的非線性函數(shù)未能確知，式（9）中的偽雅可比矩陣無法基于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型得出，因此，引入權(quán)重因子[ζ>0]，構(gòu)建如下形式的估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)：

[Jφ（k）=Δy（k+1）-φ（k）Δu（k+1）2+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ζφ（k）-φ（k-1）2]. （10）

采用最小參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)對式（10）進(jìn)行極值運(yùn)算，可獲得[φ（k）]的估計(jì)算法：

[φ（k）=η（Δy（k+1）-φ（k-1）Δu（k-1））?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2+ ? ? ? ? ? ? ? φ（k-1）]. （11）

式中：[η]∈（0，2]是步長因子。為確保[φ（k）]在合理的范圍內(nèi)變化，可引入一種重置機(jī)制，即當(dāng)[φ（k）≤ε]或[sgn（φ（k））≠sgn（φ（1））]時(shí)，有[φ（k）=φ（1）]，其中[ε]是趨于0的正數(shù)。通過[φ（k）]估計(jì)，改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制器的表達(dá)式（9）變?yōu)椋?/p>

[Δu（k）=ρθ+1-θT2φT（k）e（k）-ρ1-θT2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+φ（k）21-θT2].

（12）

2.3 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

定義偽雅可比矩陣的估計(jì)誤差矩陣[φ（k）=φ（k）-φ（k）]，由式（11）可得：

[φ（k）=φ（k-1）+φ（k-1）-φ（k）- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ηφ（k-1）Δu（k-1）?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k）2]. （13）

由引理1可知[φ（k）≤ξ]，故有關(guān)系[φ（k-1）-φ（k）≤2ξ]。令[z=ηΔu（k-1）2ζ+Δu（k-1）2]，由于[η]∈（0，2]且[ζ>0]，則[z]滿足如下關(guān)系：

[0≤z<2]. （14）

對式（13）兩邊取范數(shù)，結(jié)合[z]的定義式可得到如下的數(shù)學(xué)關(guān)系：

[0≤φ（k）≤2ξ+φ（k-1）-]

[ηφ（k-1）Δu（k-1）?ΔuT（k-1）ζ+Δu（k-1）2=]

[2ξ+（1-z）][φ（k-1）]. ?（15）

由于[ξ>0]，若要等式成立，即[limk→∞φ（k）→0]，則式（14）中[z]的邊界范圍可進(jìn)一步約束為1≤[z]<2，此時(shí)[（1-z）]∈（[-]1，0]，可使得：

[φ（k）=2ξ+（1-z）φ（k-1）≤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1-（1-z）k-11-（1-z）2ξ+（1-z）k-1φ（1）]. （16）

由式（16）可知[φ（k）]有界，這表明對偽雅可比矩陣的估計(jì)[φ（k）]也是有界的。令[l1=θ+1-θT2， l2=1-θT2]，則式（12）可整理成：

[Δu（k）=ρl1φT（k）e（k）-ρl2φT（k）e（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2]. （17）

考慮理想輸出[yd（k+1）=yd（k）=（0，0）T]所具有的穩(wěn)態(tài)特性關(guān)系，聯(lián)立式（6）與式（17）可得：

[Δy（k+1）=y（k+1）-y（k）=e（k）-e（k+1）= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρφ（k）φT（k）（l1-l2）λ+φ（k）2+l2φ（k）2e（k）]. （18）

令[M（k）=φ（k）φT（k）]，由于[ρ∈（0，1]]，[λ>0]，[l1>l2]，[0

[1-ρ（l1-l2）Mij（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2∈0，1，i=j=1，2，0-ρ（l1-l2）Mij（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2∈0，1，i≠j=1，2.] （19）

由式（18）、式（19）可得：

[e（k+1）e（k）≤I-ρ（l1-l2）φ（k）φT（k）λ+φ（k）2+l2φ（k）2<1.] （20）

根據(jù)式（20）可知，非線性懸架系統(tǒng)在估計(jì)算法（11）和控制律（12）的作用下，通過對[φ（k）]的有界估計(jì)，使得控制誤差向量滿足[limk→∞e（k）=0]。

3 路面模型及結(jié)果分析

3.1 路面輸入模型與仿真參數(shù)設(shè)置

基于MATLAB/Simulink環(huán)境搭建四自由度、1/2車非線性懸架系統(tǒng)仿真模型，將偽雅可比矩陣估計(jì)式（11）、控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式（12）和路面不平度激勵(lì)模型程序模塊化實(shí)現(xiàn)。其中路面不平度模型采用如下的濾波白噪聲時(shí)域模型[19]：

[z0（t）=-2πf0?z0（t）+2πG0v?ω（t）]. （21）

式中：[z0（t）]表示路面不平度位移；[ω（t）]為高斯白噪聲；[f0=0.1 Hz]是下截止頻率；[v]表示直行車速；[G0]為路面不平度系數(shù)，當(dāng)其取值64和256時(shí)分別對應(yīng)B級路面和C級路面情況。

對控制系統(tǒng)仿真模型設(shè)置如表1所列的主動(dòng)懸架系統(tǒng)參數(shù)，選取控制器參數(shù)[ρ=1、][ζ=3、][η=0.01、λ=30、θ=0.9、ε=10-5、φ1=21.93.1-5]。為驗(yàn)證本文方法的有效性，仿真中還對比了無控制的被動(dòng)懸架系統(tǒng)和[θ=1]時(shí)的傳統(tǒng)MFAC方法的相關(guān)結(jié)果。

3.2 控制仿真結(jié)果及分析

當(dāng)車輛以60 km/h在B級路面行駛時(shí)，圖2、圖3分別為車身垂直振動(dòng)加速度[zs]和俯仰角加速度[α]的響應(yīng)情況。圖4為動(dòng)行程曲線圖。圖4（a）、（b）分別是前懸架動(dòng)行程[zsf-zwf]和后懸架動(dòng)行程[zsr-zwr]隨時(shí)間的變化曲線圖。圖5（a）、（b）分別為前輪胎形變[zwf-z0f]和后輪胎形變[zwr -z0r]的變化曲線。表2—表5分別為在不同等級路面和車速行駛工況下，車身振動(dòng)加速度、車身俯仰角加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎形變的均方根值，以及同時(shí)給出相比被動(dòng)懸架情形，不同控制方法改善對應(yīng)指標(biāo)的百分比。由上述的控制仿真結(jié)果圖、表可見，相比傳統(tǒng)無控制的被動(dòng)懸架系統(tǒng)，在不同車速和路面的行駛工況條件下，2種MFAC方法均能對車身的垂直加速度、俯仰角加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎形變有不同程度的改善，反映出2種控制方案都能有效降低隨機(jī)不平度路面激勵(lì)對車輛乘坐舒適性、車身動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的不良影響，同時(shí)有效避免了懸架動(dòng)行程沖撞限位器和輪胎形變壓力損害道路的發(fā)生。此外，相比傳統(tǒng)MFAC方法，本文所提出的IMFAC方法在各種行駛工況下均能進(jìn)一步降低車身垂向振動(dòng)及車身俯仰角加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎形變，這也表明基于加權(quán)改進(jìn)的控制準(zhǔn)則函數(shù)所設(shè)計(jì)的IMFAC控制器可進(jìn)一步提高車輛的行駛平順性和操縱穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

為滿足懸架系統(tǒng)控制性能對平穩(wěn)性和快速性的要求，本文提出的改進(jìn)型無模型自適應(yīng)控制方法通過加權(quán)改進(jìn)控制準(zhǔn)則函數(shù)，并基于加權(quán)的控制準(zhǔn)則函數(shù)設(shè)計(jì)出偽雅可比矩陣和二輸入-二輸出控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式。仿真結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)的MFAC方法，本文方法不僅能克服多自由度非線性可控懸架系統(tǒng)模型所帶來的控制器設(shè)計(jì)困難，而且能進(jìn)一步降低車身垂向振動(dòng)加速度、俯仰角加速度、懸架動(dòng)行程和輪胎形變，確保懸架系統(tǒng)控制性能滿足不同車速和不同等級路面的行駛工況要求，使得車輛獲得更好的行駛平順性和操縱穩(wěn)定性。本文所用到的反饋?zhàn)兞烤刹捎孟嚓P(guān)傳感器測量獲得，同時(shí)目前高速微處理器的開發(fā)技術(shù)也較為成熟，方法具有工程試驗(yàn)可行性。研究結(jié)果為探索可控懸架系統(tǒng)的控制策略，提高汽車的行駛性能，提供了新的、有效可行的方法參考。

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Research on model-free adaptive control of automotive nonlinear

suspension system

WANG Xianming1， GAO Yuan*1，2， LONG Wen3， LI Zhijian3

（1. School of Automation， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545616， China;

2. Guangxi Key Laboratory of Automotive Component and Vehicle Technology （Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China;

3. Technology Center of Passenger Vehicle， Dongfeng Liuzhou Automobile Co.LTD， Liuzhou 545005， China）

Abstract： Aimed at the control of nonlinear suspension system， this paper establishes a mathematical model of half car， and proposes an improved model-free adaptive control method with a double-input-double-output structure. The vertical vibration acceleration and pitch angular acceleration of the vehicle body are selected as the feedback variables， zero acceleration is used as the control expectation， and the operating forces of the front and rear suspensions are controller outputs. The work starts from the dual-input-double-output compact dynamic linearization model， then derives the mathematical expression of the controller based on a weighted and improved control criterion function， and analyzes the stability of the suspension control system theoretically. The control simulation comparison results of different road surfaces and vehicle speeds show that， compared with the traditional model-free adaptive control， this method can not only further reduce the vertical vibration acceleration of the vehicle body， the dynamic stroke， the tire deformation， and the pitch angular acceleration of the vehicle body， but also improve the performance of the vehicle ride and handling stability.

Key words： vehicle; nonlinear suspension system; vertical vibration; pitching motion; model-free adaptive control

（責(zé)任編輯：黎 婭）