詹秀秀　余小燕　劉闖　張子柯

摘要：在如何識別時序超網絡上的重要節(jié)點方面取得了一定的進展。定義了該類網絡上度量節(jié)點重要性程度的 8 個中心性方法及隨機移除節(jié)點的基線方法，分別側重于網絡不同的拓撲結構性質和時間特征，從多個角度綜合考慮了該類網絡上節(jié)點的重要性。同時，構建了時序超網絡上的SI 傳播模型，基于該模型提出了新的評估方法來衡量所提出的中心性方法的有效性。研究表明，在時序超網絡上，基于最快到達路徑的介數(shù)中心性方法是評價該類網絡上節(jié)點重要性的良好指標。此外，基于時間分辨率的度和超度中心性方法通過尋找網絡的最佳時間分辨率，可以進一步優(yōu)化普通的度和超度中心性方法，彌補了普通方法不能有效考慮網絡時間信息的缺點，且在多個真實網絡上表現(xiàn)出與介數(shù)中心性方法相當?shù)男阅堋?/p>

關鍵詞：時序超網絡；SI 傳播模型；重要節(jié)點；中心性方法

中圖分類號：N 94??????????? 文獻標志碼：A

Mining methods of important nodes on temporal hyper-networks

ZHAN Xiuxiu1， YU Xiaoyan1， LIU Chuang1， ZHANG Zike2

（1. Alibaba Research Center for Complexity Sciences， Hangzhou Normal University， Hangzhou 311121， China; 2. College ofMedia and International Culture， Zhejiang University， Hangzhou 310058， China）

Abstract： Some? progress? has? been? made? on? how? to? identify? important? nodes? on? the? temporal? hypernetwork. Eight centrality methods for measuring the importance of nodes on this type of network and abaseline? method? for? randomly? removing? nodes? were? defined，? focusing? on? the? different? topologicalproperties and time characteristics of the network， and comprehensively considering the importance ofnodes on this type of network from multiple perspectives. At the same time， a SI spreading model ontemporal hyper-network was constructed. Based on this model， a new evaluation metric was put forwardto? measure? the? effectiveness? of? the? proposed? centrality? metrics.? The? main? results? are? as? follows.Betweenness metric which is based on the fastest arrival path performs better than the other baselines inidentifying? important? nodes? in? temporal? hyper-networks.? In? addition，? the? degree? and? hyper-degreecentrality which consider time resolution are superior to the degree and hyper-degree based on the staticnetwork topology， which makes up for the shortcomings that the static methods that can not effectivelyconsider? the? network? time? information.? In? addition，? they? show? comparable? performance? with? thebetweenness in multiple real networks.

Keywords： temporal hyper-network; SI spreading model; important nodes; centrality methods

網絡結構的異質性和復雜性使得在特定觀察角度下，某些節(jié)點相比于其他節(jié)點更具重要性意義，這種重要性可通過中心性來量化。如何衡量網絡中節(jié)點的中心性是網絡分析的基礎問題之一，該問題研究目標的實質是確定網絡中節(jié)點的重要性程度，并對網絡中的節(jié)點進行重要性排序[1-2]。具有較高中心性值的節(jié)點往往是高影響力節(jié)點，擁有較強的信息擴散或者疾病傳播的能力。因此，找到網絡中的高影響力節(jié)點具有重要的實際意義。以往的中心性研究成果在現(xiàn)實生活中也獲得了廣泛應用，如疾病傳播控制[3-4]、廣告精準投放[5]、交通堵塞疏導[6-8]等。

一般情況下，每個網絡都有特定的節(jié)點重要性排名，不同的識別方法考慮網絡的不同結構屬性，會給出不同的排名列表[9]。截至目前，研究者們已經提出了許多用于識別網絡中重要節(jié)點的中心性方法。例如：Zareie等[10]使用熵對有影響力的節(jié)點進行排序； Pu 等[11]提出了局部維度來識別重要節(jié)點。 Teng 等[12]追蹤了社交網絡中的真實信息流，找到了有影響力的傳播者；張喜平等[13]引入 m 階鄰居節(jié)點的概念，提出了一種基于 m 階鄰居節(jié)點重要度貢獻的復雜網絡節(jié)點重要度方法；顧亦然等[14]引入影響度概念，用節(jié)點自身的 K- Shell 值與對其鄰居節(jié)點的影響度來表征節(jié)點對鄰居節(jié)點的貢獻重要度。

然而，這些對網絡節(jié)點中心性的研究僅停留在表示成對節(jié)點交互的普通靜態(tài)網絡上，當網絡的結構發(fā)生動態(tài)變化時，靜態(tài)網絡并不能完全準確地描述各式各樣的現(xiàn)實世界系統(tǒng)，即現(xiàn)實中的交互均是非靜態(tài)的、隨時間不斷發(fā)展和變化的，而時序網絡可以很好地表達這一概念[15-18]。另外，相比于普通網絡所表達的二元交互，現(xiàn)實世界更普遍存在的是表達多個個體間聯(lián)系的高階交互，如電子郵件的發(fā)送者和接收者、出版物的共同作者、購物網站共同購買一樣物品的用戶等。放松節(jié)點數(shù)量限制的超網絡是這一類型交互的理想載體[19-20]。因此，為更準確地表達現(xiàn)實世界的復雜關系，本研究將這兩類網絡組合，構造了一類全新的網絡——時序超網絡。該類網絡隨著時間的推移，網絡的拓撲結構會隨時建立和瓦解，且可形成節(jié)點數(shù)大于2的超邊，其為研究真實復雜系統(tǒng)的動力學提供了良好的表示工具[21]。該框架尤其適用于描述社交系統(tǒng)，典型的如物理接觸網絡和在線社交網絡。在這兩種網絡所對應的實際場景中，人群間的真實接觸和在線會話等交互會隨著時間的推移發(fā)生變化，此類交互往往是高階的，并在時間上具有突變性和持續(xù)性。已有研究表明，在研究人類時間動力學時，考慮社會互動的高階結構是非常重要的[21]。時序超網絡能以超高的時間分辨率描述現(xiàn)實世界動態(tài)演化過程，并從中挖掘到具有高影響力的重要節(jié)點，該過程對于上述問題的解決具有非常重要的參考意義。然而，目前關于時序超網絡上節(jié)點中心性評估方法的研究還寥寥無幾，且還未形成系統(tǒng)化的定義。

本文的研究目標是在時序超網絡上尋找重要的節(jié)點，通過構建基于時序超網絡的 SI 傳播模型來模擬網絡的動態(tài)演化過程，定義時序超網絡上8個節(jié)點中心性評估方法。此外，通過攻擊不同中心性方法所尋找到的重要性排名較高的節(jié)點來評估所提出的中心性指標的有效性，為挖掘時序超網絡上的重要節(jié)點提供了理論支撐。

1方法

1.1時序超網絡的定義與表示

為方便討論，假設記錄網絡的時間有限，且開始記錄的時間tstart =0，結束記錄的時間tend = T。在時間窗口[0， T]上，根據(jù)不同時間戳的節(jié)點與超邊的隸屬關系，構建時序超網絡H0（T）={H0 ， H1 ， ··· ， HT}，即時序超網絡可以由每個時刻的靜態(tài)超網絡Ht =（Vt ， Et）來表示，且t e [0， T]。其中，Ht =（Vt ， Et）表示屬于t 時刻的一組節(jié)點 Vt ={v1 ， v2 ， ··· ， vN }和一組超邊Et ={e1 ， e2 ， ··· ， em}構成的超網絡， N表示時序超網絡中的總節(jié)點數(shù)， m表示Ht中的超邊數(shù)。值得注意的是，任意一條超邊ej可以包含多個節(jié)點，任意一個節(jié)點vi也可以隸屬于多條超邊。在時序超網絡中，假設每個時間片中的節(jié)點個數(shù)相同，而超邊的數(shù)量會隨著時間的推移而發(fā)生改變。時序超網絡若忽略不同交互所發(fā)生的時間，即為H0（T）所對應的靜態(tài)超網絡 H =（V， E），其中 V ={v1 ， v2 ， ··· ， vN }，超邊eje E，當且僅當ej在Et（t e [0， T ]）中至少出現(xiàn)過一次。

圖1（a）為一個由3個時間戳和6個節(jié)點組成的時序超網絡示例，根據(jù)不同時間戳發(fā)生的交互所形成的不同連接進行著色。中間的縱軸線代表時間流動的路徑，曲線連接著一個交互所涉及到的多個節(jié)點，不同顏色代表該時刻的高階交互所形成的不同超邊：如在t1時刻，節(jié)點v1，v2，v3之間的兩兩交互形成一個擁有3個節(jié)點的超邊（3–超邊）；節(jié)點v2和v4之間的交互形成擁有兩個節(jié)點的超邊（2–超邊）。若忽略圖1（a）中時序超網絡每條超邊出現(xiàn)的時間信息，就可以得到其對應的靜態(tài)超網絡，如圖1（b）所示。

1.2時序超網絡上節(jié)點中心性方法

為了挖掘時序超網絡上的重要節(jié)點，定義度量該類網絡上節(jié)點重要性的一系列中心性指標，包括基于節(jié)點的度、超度、接觸數(shù)、節(jié)點之間的距離以及網絡的時序信息等。

1.3評估方法

針對上述8種時序超網絡上重要節(jié)點挖掘的中心性指標，提出合理可靠的方法來評估這些度量指標的有效性。

1.3.1 SI 傳播模型

構建時序超網絡的易感–感染（ susceptible- infected ， SI ）傳播模型。在該模型中，個體被分成兩組：易感者（susceptible）和感染者（infected）。為簡單起見，讓所有傳播過程都從t =0時刻的一個初始被感染的種子節(jié)點開始，其余所有節(jié)點的初始狀態(tài)均被設置為易感狀態(tài)。按照時間t 推移，依次遍歷每一個時刻，若感染節(jié)點出現(xiàn)在t 時刻的超邊中，就會以β的概率隨機去感染其鄰居易感節(jié)點，該時刻的節(jié)點感染完成之后，推移到下一時刻進行感染，傳播過程在t = T時刻結束。最后，依次迭代序列中的每一個節(jié)點作為初始被感染的種子節(jié)點，進行上述傳播過程[24]。用φ（t）表示t 時刻以每個節(jié)點作為傳播源的平均被感染節(jié)點總數(shù)。

1.3.2節(jié)點中心性評估方法

采用不同的中心性方法作為節(jié)點攻擊策略來評估節(jié)點重要性方法的有效性。具體步驟如下： a.對于給定的節(jié)點中心性方法，首先用該方法對網絡中的節(jié)點進行重要性排序； b.刪除重要性排名前k的節(jié)點序列，構造攻擊節(jié)點序列后的時序超網絡； c.將原始時序超網絡和攻擊節(jié)點序列后的時序超網絡分別執(zhí)行傳播概率β下的 SI 傳播模擬，分別得到兩條傳播曲線φ0（t）和φk（t）；d.比較兩條傳播曲線的差異，即計算兩條傳播曲線間的面積差。如圖2所示，用φ0和φk之間面積差（藍色標出）評估所提出的中心性指標的有效性，評價指標的數(shù)學定義如下：

E （k）越大，說明攻擊該中心性方法挖掘到的重要節(jié)點能有效抑制傳播，同時也驗證了該方法的有效性。除了上述8種中心性指標，還將隨機刪除包含 k個節(jié)點的序列作為對比方法（用 Random 表示），隨機實驗的平均次數(shù)為50次。

2實驗

2.1數(shù)據(jù)集

選擇9個真實的時序超網絡數(shù)據(jù)集，個體的交互覆蓋醫(yī)院、會議、藝術館、工作場所、研究機構及學校等。通過這些網絡來探究不同的中心性方法在具有不同社會背景和拓撲結構性質的真實場景中的適用性。 EEU1和 EEU2網絡描述了歐洲大型研究機構兩個不同部門所有成員之間電子郵件的時間網絡[25]。HT2009網絡是 ACM Hypertext 2009會議期間的時間網絡[26]。Gallery 網絡記錄的是一家藝術館的參觀人員的時間網絡[27]。Hospital 網絡描述的是法國里昂醫(yī)院病房中患者、患者和衛(wèi)生保健工作者以及醫(yī)護人員之間接觸的時間網絡[21]。Workplace 網絡描述的是2015年在法國辦公樓測量的個人之間接觸的時間網絡[28]。HS2011和 HS2012網絡描述的是2011年和2012年法國馬賽一所高中學生之間的聯(lián)系時間網絡[29]。PS 網絡是兒童和教師之間的聯(lián)系時間網絡[29]。這些網絡的基本拓撲性質如表1所示。其中： N 為節(jié)點數(shù)；C為接觸數(shù)； T 為網絡的最大時間戳；< f >為節(jié)點平均度；< g >為節(jié)點平均超度；< d >為網絡的平均最快到達距離。表2展示的是時序超網絡中擁有不同度數(shù)的超邊規(guī)模。表中，超邊的度表示一條超邊中包含的節(jié)點數(shù)，這里只統(tǒng)計至網絡中超邊的度為10的超邊數(shù)量，“—”表示網絡中不存在該度數(shù)的超邊。從表2可以觀察出，隨著超邊的度的增加，其超邊數(shù)量是逐漸減少的，大多數(shù)的真實時序超網絡中的交互局限于度為2，3，4的超邊之間，而郵件網絡的超邊規(guī)模偏大。

2.2節(jié)點重要性指標的性能比較

上文定義了不同時間分辨率下的度和超度，為了探索不同時間分辨率的中心性指標的性能，將基于時間分辨率的中心性方法的性能定義為從 k =5到k =30范圍內有效性E（k）曲線下的面積。以EEU2網絡為例，在圖3（a）中顯示了D 和W方法的有效性結果，并將這兩種方法的性能作為對照組（圖3（b）中的 static 組），改變網絡的時間分辨率?t ，從100增至1000，計算基于不同時間分辨率的度（ D_t）和超度中心性（ W_t）方法的性能。如在圖3（b）中，D_t方法的最佳時間分辨率為?t =100，W_t方法的最佳時間分辨率為?t =300。按照這種想法，分別在9個真實網絡中，尋找不同方法的最佳時間分辨率，結果如表3所示。如果在某一?t情況下D_t和W_t方法的性能值大于 static 組中的 D 和W方法的性能，則該網絡的最佳時間分辨率在表3中用粗體進行標注，可以發(fā)現(xiàn)所有網絡均可以通過該方法尋找到最佳的時間分辨率，同時在絕大多數(shù)網絡上D_t和W_t方法的性能比 D 和 W方法更好。因為這兩種方法側重于考慮不同時期網絡中節(jié)點的重要性，同時結合了網絡的時間性質和高階性質。

在傳播中選取β=1來評估不同中心性方法的效果，結果如圖4和圖5（a ）所示。值得說明的是，D_t和W_t方法選取的均是表3中所列出的最佳時間分辨率。在圖5（ a ）中，以 Hospital 網絡為例，將9個中心性方法在該網絡中所得到的性能值組成一個序列X，并將其按照最大最小值方法進行歸一化，即Xi（*）=（xi-xmin）/（xmax-xmin）。式中： Xi表示序列 X 的第i個數(shù)據(jù)； Xi（*）表示序列 X 的第i個數(shù)據(jù)歸一化后得到的結果；Xmax和Xmin分別表示序列 X 中的最大值和最小值。歸一化后，得到對應的序列X*，即為9個中心性方法的平均性能序列，在圖5（ a ）中以不同顏色的柱子進行顯示。圖4和圖5（ a ）的結果表明，在時序超網絡上定義的中心性方法中， B 方法的有效性和平均性能均明顯優(yōu)于其他中心性方法?？赡茉蛴?個： a. B 方法的節(jié)點介數(shù)中心性值越高，說明節(jié)點更大范圍地連接著不同時刻的超邊，在網絡中充當橋梁的作用越明顯； b. B 方法在計算距離時是基于節(jié)點的最快到達路徑的思想，因此在考慮網絡全局特征的同時也考慮了時間的全域性，更加適用于時序超網絡。另外，圖4出現(xiàn)了兩個有趣的現(xiàn)象。首先，在 Gallery 網絡中， Q方法表現(xiàn)優(yōu)異，這可能是因為 Gallery網絡的節(jié)點平均度較小，平均最快到達距離較長，如表1所示。但在其余真實的時序超網絡中該方法的有效性并不是很高，尤其在Workplace 網絡中， Q 方法的有效性甚至和對比方法的接近，這說明 Q 方法在度量時序超網絡上節(jié)點的重要性時并不具備普適性。其次，擬合的曲線會出現(xiàn)下降的趨勢，如 Gallery網絡中的V方法和 EEU2網絡中的Q方法，此現(xiàn)象意味著這些方法挖掘到的節(jié)點在網絡中的重要性程度并不高。而在圖5（ a ）中， Q ，U ，V等方法的效果不如其他方法。最后，可以清晰地觀察到，在大多數(shù)網絡中D_t和W_t方法的平均性能比D和W方法的更好。這說明通過尋找最佳時間分辨率，可以進一步有效優(yōu)化普通的 D 和W方法。同時，驗證了在β=0.5的情況下，不同中心性方法及對比方法之間的平均性能與上述β=1情況下的實驗結果類似，如圖5（b）所示。

2.3肯德爾相關性

肯德爾相關性系數(shù)τ，可以衡量兩個不同變量之間的相關性[30]。假設對于兩個隨機變量 Y和Z ，它們的第i個組合用（Yi ， Zi）表示。當Yi>Yj和Zi>Zj或Yi

式中： n+表示具有一致性的序列個數(shù)； n一表示不一致的序列個數(shù)。τ=1表示不同方法得到的節(jié)點重要性排序列表相同；τ=0則表示相反的情況。τ的值越大，說明兩種中心性方法的關系越相關。采用該方法來檢測定義的不同中心性方法之間的相關性。

圖6顯示了9個真實時序超網絡不同中心性方法之間的肯德爾相關性結果。首先，可以觀察到 D ，D_t，W ，W_t這4個方法之間的顏色最深，即它們之間的相關性最高。雖然這4個方法都是側重于度量網絡中節(jié)點關于度的信息來判斷節(jié)點的重要性，但是從圖5（ a ）可以看出，D_t，W_t方法會明顯比D ，W方法的平均性能更高，這也進一步說明度量節(jié)點中心性時考慮網絡時間信息的重要性。其次， U和V方法都是從節(jié)點的接觸次數(shù)出發(fā)，判斷節(jié)點的重要性時考慮的方向是相似的，所以這兩種方法之間的相關性程度很高，且在圖4中，這兩種方法的曲線重合度也很高，再次說明了這兩種方法具有很高的相似性。但是，節(jié)點的接觸數(shù)和接觸鄰居數(shù)同節(jié)點的度和超度是有差別的，因為它們考慮了節(jié)點出現(xiàn)的時間信息，統(tǒng)計了節(jié)點在不同時刻出現(xiàn)的次數(shù)，所以U和V方法同D ，D_t，W ，W_t方法之間的相關性程度減弱。最后， B 和Q方法分別從節(jié)點位于網絡中的位置和節(jié)點到其他節(jié)點之間的最快到達距離等方面來衡量節(jié)點的重要性，因此，它們之間的相關性程度略低，同其他方法之間的相關性也類似。

3總結與展望

構建了一種全新類型的網絡——時序超網絡，其同時兼具網絡的高階性質和時間性質，能更加準確、有效地描繪真實世界的社會系統(tǒng)。此外，基于節(jié)點的最快到達路徑計算了時序超網絡上節(jié)點之間的最快到達距離。接下來，針對挖掘該類網絡上重要節(jié)點的中心性方法匱乏且不成體系等問題，進一步提出了8個中心性方法和評估指標，并在9個不同領域的真實網絡上進行了實驗研究。結果表明：提出的所有中心性方法中，介數(shù)中心性方法總是具有優(yōu)越性的，其能有效地挖掘到時序超網絡上具有高影響力的重要節(jié)點；在基于時間分辨率的中心性方法中，通過尋找網絡的最佳時間分辨率，可以進一步優(yōu)化普通的度和超度中心性方法，解決了在時序超網絡上計算度或者超度時不能有效地考慮網絡時間信息的問題，想法更加合理，實驗結果也更加有效。同時，基于時間分辨率的度和超度中心性方法也表現(xiàn)得極具競爭力。綜上所述，在真實世界中為了快速且有效地控制疾病和信息的傳播，一方面可以通過尋找具有“樞紐”作用的節(jié)點并中斷其傳播能力，另一方面節(jié)點出現(xiàn)的時間信息以及其在不同時間窗口的重要性也是不可忽略的關鍵因素。

本文基于時序超網絡定義的一系列中心性方法，一方面重點考慮了節(jié)點的度、超度和接觸數(shù)、節(jié)點之間的路徑和距離等信息，另一方面結合了網絡的時間性質和高階性質，力求尋求一種能囊括這兩方面且效果優(yōu)異的方法。因此，該工作彌補了目前在時序超網絡上挖掘重要節(jié)點的中心性方法稀少且不成體系等問題，為后續(xù)深入研究時序超網絡奠定了較為堅實的基礎。

然而，在時序超網絡上挖掘重要節(jié)點的中心性方法仍存在許多潛在問題：首先，本文所提出的中心性方法還未結合節(jié)點的更多方面特征來綜合度量節(jié)點的重要性；其次，在尋找網絡的最佳時間分辨率時，本文粗略地將網絡按照某一數(shù)值進行劃分，這可能會遺漏一些重要信息，故可以根據(jù)網絡時間訊息的不同，按小時、天數(shù)、月份、年份等信息來劃分網絡，當然，這不可避免地會增加網絡信息收集工作的復雜度和任務量。未來研究中，可以根據(jù)此類網絡的特點改變或補充一些因素，使方法更具普適性和有效性。

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（編輯：丁紅藝）