華 婧 任偉芳

(浙江省寧波市鄞州中學(xué) 315100) (浙江省寧波市教育局教研室 315100)

不久前,寧波市教研室組織了以“大單元教學(xué)觀下的章末復(fù)習(xí)課教學(xué)”為主題的課堂教學(xué)教壇新秀評(píng)比,該項(xiàng)活動(dòng)引起了大家濃厚的興趣．參賽選手以人教A版必修第二冊(cè)第七章“復(fù)數(shù)”章末復(fù)習(xí)為授課內(nèi)容,共開設(shè)了16節(jié)同課異構(gòu)的評(píng)比課．筆者依據(jù)大單元整體觀的理念,結(jié)合授課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知水平,構(gòu)建了一堂以數(shù)系的發(fā)展歷程為線索、圍繞數(shù)學(xué)思想方法和研究思路的課堂,得到評(píng)委老師和學(xué)生的一致好評(píng)．根據(jù)5位專家組成的評(píng)委團(tuán)的現(xiàn)場(chǎng)打分,筆者執(zhí)教的“復(fù)數(shù)章末單元復(fù)習(xí)——虛數(shù)i的奇妙之旅”排名第一,現(xiàn)將其進(jìn)行整理,與同行分享．

1 單元教學(xué)的內(nèi)涵與價(jià)值

大單元教學(xué)的內(nèi)涵是以大主題或大任務(wù)為中心,對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分析、整合、重組和開發(fā),形成具有明確的主題、目標(biāo)、任務(wù)、情境、活動(dòng)、評(píng)價(jià)等要素的一個(gè)結(jié)構(gòu)化的、具有多種課型的統(tǒng)籌規(guī)劃和科學(xué)設(shè)計(jì)．核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的“大單元教學(xué)”設(shè)計(jì),要求教師建立起數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)性[1],這種關(guān)聯(lián)性可以體現(xiàn)在知識(shí)層面、方法層面、思維層面等,其關(guān)鍵是尋找一種可以將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與該單元知識(shí)體系合理整合的思路或者線索,以去除知識(shí)的碎片化,追求知識(shí)體系的完整性和思想方法的可遷移性,使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具體化,可培養(yǎng)、可干預(yù)、可評(píng)價(jià)．

大單元教學(xué)的價(jià)值主要體現(xiàn)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行二度開發(fā)和整體設(shè)計(jì),注重知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性、方法間的遷移性、課時(shí)安排的整體性．知識(shí)的聯(lián)系與交融體現(xiàn)在多個(gè)方面,相應(yīng)地,單元教學(xué)的課時(shí)安排與教學(xué)設(shè)計(jì)也是多元化的．譬如,以數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值為依據(jù)逆向設(shè)計(jì)情境、以問題鏈為載體進(jìn)行結(jié)構(gòu)的構(gòu)建、以數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律為線索搭建知識(shí)脈絡(luò)、以數(shù)學(xué)方法論為工具促進(jìn)探究性學(xué)習(xí)等,讓學(xué)生更加全面地了解知識(shí)的來龍去脈、數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律,以及研究數(shù)學(xué)問題的基本思路和方法．

2 教學(xué)設(shè)計(jì)的思路與過程

章末復(fù)習(xí)課教學(xué)重點(diǎn)在于“復(fù)習(xí)”二字,而“復(fù)習(xí)”二字往往容易指向“習(xí)題”,使課堂陷入“概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的模式化教學(xué),忽視了貫穿其中的暗線:“事實(shí)—過程—方法—思想—本質(zhì)”．大單元教學(xué)觀下的單元復(fù)習(xí)課更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程,將數(shù)學(xué)思想方法和研究思路滲透到具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容中,形成知識(shí)與方法對(duì)接、思想與內(nèi)容相融的設(shè)計(jì)思路(圖1)和設(shè)計(jì)過程(圖2)．

圖1 設(shè)計(jì)思路

圖2 設(shè)計(jì)過程

3 課堂教學(xué)片斷

3.1 回歸史料 完善導(dǎo)圖

前面幾節(jié)課我們一起經(jīng)歷了數(shù)系發(fā)展的一次飛躍:從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集,一切都是從一個(gè)虛數(shù)單位“i”開始的．這節(jié)課我們將回顧那段歷史,看一看在200多年中,“i”經(jīng)歷了什么,我們收獲了什么．1777年,數(shù)學(xué)家歐拉先生在《對(duì)代數(shù)的完整介紹》中首次使用字母“i”表示-1的平方根,于是作為imaginary(想象的、虛構(gòu)的)首字母的“i”先生收到了來自數(shù)學(xué)世界的邀請(qǐng)函,他將獲得除字母以外的另一個(gè)身份——代表-1的平方根的數(shù)．當(dāng)時(shí)多數(shù)數(shù)學(xué)家并不贊同讓一個(gè)虛構(gòu)的數(shù)字存在.盡管阻礙重重,仍有卡爾丹等數(shù)學(xué)家在解三次方程時(shí)體會(huì)到了尋找-1的平方根的必要性,將實(shí)數(shù)集慢慢地向一個(gè)新的數(shù)集——復(fù)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充,努力探索著擴(kuò)充的規(guī)則．請(qǐng)大家回顧:數(shù)學(xué)家們是如何定義復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的?為什么要構(gòu)造這樣的形式?在定義了代數(shù)形式以后,又規(guī)定了復(fù)數(shù)的哪些運(yùn)算?

無論是代數(shù)形式還是運(yùn)算法則,一切明明很合理,為什么當(dāng)時(shí)會(huì)有那么多人反對(duì)呢?數(shù)學(xué)的發(fā)展哪會(huì)是這么容易的,直到1840年,“i”才正式被數(shù)學(xué)世界所接納,有了自己的名字:虛數(shù)單位,有了自己的身份:代數(shù)身份和幾何身份．請(qǐng)同學(xué)們閱讀相關(guān)材料,思考:是什么原因讓那些固執(zhí)的數(shù)學(xué)家們承認(rèn)了“i”的存在呢?正是復(fù)數(shù)的幾何解釋.面對(duì)實(shí)實(shí)在在的幾何形式,人們?cè)僖膊荒芊裾J(rèn)虛數(shù)的存在了.我們一起回憶一下復(fù)數(shù)的幾何意義,并完善思維導(dǎo)圖(圖3)．

圖3 思維導(dǎo)圖

設(shè)計(jì)意圖復(fù)數(shù)的發(fā)展史十分豐富,在新授課中,教師通常會(huì)選擇其中經(jīng)典的片段來引入,以激發(fā)學(xué)生的興趣.受到課時(shí)的限制,新授課不宜全面介紹復(fù)數(shù)歷史,而作為章末復(fù)習(xí)課,學(xué)生已經(jīng)對(duì)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算、性質(zhì)等知識(shí)有所了解,此時(shí)可將那段歷史較為完整地與相關(guān)知識(shí)串起來,體現(xiàn)單元教學(xué)的整體性和連貫性．復(fù)數(shù)的發(fā)展史悠久而豐富,我們雖不能面面俱到,卻也能提煉出核心部分,將復(fù)數(shù)的發(fā)展分成兩個(gè)階段:階段一,“i”初進(jìn)數(shù)學(xué)世界(復(fù)數(shù)代數(shù)形式的發(fā)展);階段二,“i”虛數(shù)身份被認(rèn)可(復(fù)數(shù)幾何解釋的發(fā)展)．利用兩個(gè)階段的時(shí)間與邏輯關(guān)系,將知識(shí)點(diǎn)串在數(shù)學(xué)文化中,加以整合,讓學(xué)生整體了解復(fù)數(shù)的發(fā)展史,從中體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展過程．利用思維導(dǎo)圖將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理、整合,使學(xué)生明晰其中的關(guān)聯(lián)點(diǎn),從更加完整的角度理解整個(gè)單元的內(nèi)容．

3.2 植入探究 思維碰撞

例1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2-x+1=0．

變式 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2-2|x|+1=0．

設(shè)計(jì)意圖作為一節(jié)單元復(fù)習(xí)課,一定要有學(xué)生需要完成的一些探究任務(wù).在前面所說的文化框架里植入例1,通過在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)二次方程,復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和代數(shù)i運(yùn)算,感受復(fù)數(shù)代數(shù)形式發(fā)展過程中數(shù)系的體系變化．

在例1的變式中,學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)常見錯(cuò)誤:(1)認(rèn)為|x|2=x2,而把方程等價(jià)于|x|2- 2|x|+1=0;(2)認(rèn)為復(fù)數(shù)均可以比較大小,而討論x的正負(fù),意圖去掉絕對(duì)值號(hào)．從這兩個(gè)錯(cuò)誤理解出發(fā),比較實(shí)數(shù)與虛數(shù)的區(qū)別,加深學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)系統(tǒng)的理解,體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過程中的求同存異．

在例2中,學(xué)生會(huì)提出兩種角度——幾何角度與代數(shù)角度．對(duì)于幾何角度,學(xué)生利用了平行四邊形性質(zhì),教師引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形的性質(zhì)用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行表達(dá):|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),體現(xiàn)復(fù)數(shù)將幾何問題代數(shù)化的價(jià)值．對(duì)于代數(shù)角度,學(xué)生在解方程組的過程中可能會(huì)遇到計(jì)算困難,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組的結(jié)構(gòu),簡(jiǎn)化消元計(jì)算的繁瑣過程:

以上兩個(gè)例題是按照復(fù)數(shù)的發(fā)展歷程,穿插在數(shù)學(xué)文化之間的,旨在讓學(xué)生從數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識(shí)兩條線中,感受數(shù)系擴(kuò)充的基本過程和研究數(shù)學(xué)問題的基本思路．

3.3 探究延伸 拓展提升

除了課上根據(jù)學(xué)生對(duì)例題的完成情況,判斷學(xué)習(xí)效果以外,還為學(xué)生留下由例1推廣的課后探究延伸任務(wù):在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)討論關(guān)于x的方程x2+c|x|+d=0(c,d∈R)的根的個(gè)數(shù),為學(xué)有余力的學(xué)生搭建提升的階梯．基于過程評(píng)價(jià),最后提出兩個(gè)拓展性問題:(1)請(qǐng)你談一談解決復(fù)數(shù)問題的一般思路;(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的發(fā)展史,談一談一次數(shù)系的擴(kuò)充一般會(huì)經(jīng)歷哪些關(guān)鍵的步驟．

設(shè)計(jì)意圖歷史造就了復(fù)數(shù)的兩重身份,對(duì)應(yīng)著兩個(gè)視角,形成了兩條線路,而這兩條線路之間又是相互對(duì)應(yīng)和緊密相關(guān)的．復(fù)數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了“提出必要性—構(gòu)建代數(shù)形式—制定運(yùn)算規(guī)則—探尋幾何意義—實(shí)現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值”的過程．這也是數(shù)學(xué)發(fā)展的一般規(guī)律.通過小結(jié),學(xué)生不僅鞏固了相關(guān)知識(shí),更重要的是理解了研究數(shù)學(xué)問題的一般性思路與方法．

4 教學(xué)反思

4.1 大單元觀下教學(xué)要以學(xué)為中心來制定學(xué)習(xí)目標(biāo)

核心素養(yǎng)下的教學(xué)應(yīng)秉承“人—知識(shí)—人”的思路,“知識(shí)”是能夠促進(jìn)人全面發(fā)展的載體,“人”的發(fā)展是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)與歸宿點(diǎn)．新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生發(fā)展為本.復(fù)數(shù)的單元復(fù)習(xí)課,雖只設(shè)置了一個(gè)課時(shí),但應(yīng)設(shè)計(jì)成一個(gè)微觀意義上的整體性課程:使學(xué)生理解數(shù)系擴(kuò)充的基本思路和方法,掌握解決復(fù)數(shù)問題的基本角度和策略,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力;通過代數(shù)和幾何兩個(gè)角度解決復(fù)數(shù)相關(guān)問題,提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng);通過解方程、實(shí)數(shù)與虛數(shù)的對(duì)比分析等具體活動(dòng),使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、方程思想、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．

4.2 大單元觀下教學(xué)要讓知識(shí)和思想方法整合起來

復(fù)數(shù)是充滿文化韻味的數(shù)學(xué)內(nèi)容,絕不能繞開它的發(fā)展過程單純地談解題,因此將知識(shí)按照歷史發(fā)展的順序融入文化之中,既完成了復(fù)習(xí)目標(biāo),又讓學(xué)生經(jīng)歷了復(fù)數(shù)發(fā)展的大致過程,積累了研究數(shù)學(xué)問題的基本經(jīng)驗(yàn),用思想方法帶動(dòng)具體知識(shí)和技能的學(xué)習(xí),讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)研究工作,理解知識(shí)的來龍去脈,領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思想方法．?dāng)?shù)學(xué)概念是零散和分塊的,單元教學(xué)讓它整合起來,聯(lián)結(jié)起來;知識(shí)體系是靜態(tài)的、枯燥的,數(shù)學(xué)思想方法讓它活了起來、動(dòng)了起來,由靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的方法[2]．

4.3 大單元觀下教學(xué)要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的方法

心理學(xué)認(rèn)為:如果知識(shí)結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在統(tǒng)攝和概括的水平上高于新知識(shí),那么這時(shí)利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念學(xué)習(xí)新知識(shí)便成為下位學(xué)習(xí).單元教學(xué)正是站在了更高的位置,將學(xué)生的學(xué)習(xí)從上位學(xué)習(xí)向下位學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變．當(dāng)學(xué)生有了一定的數(shù)學(xué)思想方法的積累后,才能更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容,并挖掘出數(shù)學(xué)體系中潛在的、深層的意義,才能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作出更加深刻的解釋和理解．

大單元教學(xué)理念下的數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí),要求教師不僅要幫助學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,還需要站到更高的地方,以全局的眼光綜合看待教學(xué)內(nèi)容,合理編排整合,使教學(xué)能夠深入到思維層面,啟發(fā)學(xué)生思維,提升學(xué)生素養(yǎng),真正實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生真實(shí)思維過程的“理性重建”,讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)變,深刻理解數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律,掌握數(shù)學(xué)研究的方法．

大單元教學(xué)觀下的章末復(fù)習(xí)課教學(xué)研究與實(shí)踐還剛剛開始,需要在實(shí)踐中勇于創(chuàng)新、不斷探索．只有教師高屋建瓴,構(gòu)建數(shù)學(xué)研究路徑和方法的課堂,在知識(shí)的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性中優(yōu)化學(xué)生關(guān)鍵能力和必備品質(zhì),發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力,才能讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)時(shí)滿懷樂趣、回味無窮,把書由“厚”讀“薄”,把相關(guān)知識(shí)和方法聯(lián)結(jié)起來,融會(huì)貫通[3]．但要真正將章末復(fù)習(xí)課的育人目標(biāo)落到實(shí)處,我們還在路上．